Ganzzahlige Exponenten
In der Kette wird bei jedem Schritt durch 2 geteilt. Welcher Wert gehört zu 2⁰?
Erklärung: Vor 2⁰ steht 2¹ = 2, und 2 : 2 = 1. Die Null im Exponenten heißt nicht „null Ergebnis“ (0) und auch nicht „die Basis bleibt“ (2).
Welcher dieser Terme hat den Wert 1?
Erklärung: 9⁰ = 1, denn a⁰ = 1 für jede Basis a ≠ 0. 9¹ ist 9, und 0⁹ ist 0 (neunmal der Faktor 0).
Ergänze: 100⁰ = ___
Erklärung: Für jede Basis außer 0 gilt a⁰ = 1, also auch 100⁰ = 1.
Berechne den Wert von 3 · x⁰ + x¹ für x = 8.
Erklärung: 3 · 8⁰ = 3 · 1 = 3 und 8¹ = 8, zusammen 3 + 8 = 11. Wer 8⁰ = 0 rechnet, erhält 8.
Bei jedem Schritt wird durch 2 geteilt. Welcher Wert gehört zu 2⁻³?
Erklärung: 2⁻² = 1/4, halbiert ergibt 1/8. Das Minus im Exponenten macht die Zahl nicht negativ (−8), und es ist auch nicht −2 · 3 (−6): Es bedeutet den Kehrwert von 2³.
5⁻² ist eine negative Zahl.
Erklärung: 5⁻² = 1/5² = 1/25 = 0,04. Eine Potenz mit positiver Basis ist nie negativ, das Minus im Exponenten setzt nur den Kehrwert.
Schreibe 10⁻² als Dezimalzahl.
Erklärung: 10⁻² = 1/10² = 1/100 = 0,01.
Es gilt 1/125 = 5^k. Welche Zahl ist k?
Erklärung: 1/125 = 1/5³ = 5⁻³, also k = −3.
Für Potenzen mit gleicher Basis gilt aᵐ · aⁿ = aᵐ⁺ⁿ. Das soll auch für einen negativen Exponenten gelten. Rechne 2⁻³ · 2³ aus, folgere daraus, wie 2⁻³ als Bruch lautet, und mache die Probe mit der Halbierungskette 8, 4, 2, 1, …
Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.
Erklärung: Das Gesetz verlangt 2⁻³ · 2³ = 2⁰ = 1. Nur der Kehrwert 1/8 ergibt mit 8 das Produkt 1. Die Halbierungskette bestätigt es: 8, 4, 2, 1, 1/2, 1/4, 1/8.
Welcher Term ist gleich x³ · x⁴?
Erklärung: Drei Faktoren x und vier Faktoren x sind zusammen sieben Faktoren: x⁷. Bei gleicher Basis werden die Exponenten addiert (3 + 4), nicht multipliziert (x¹²).
Welcher Term ist gleich x⁷ : x²?
Erklärung: Beim Dividieren wird subtrahiert: 7 − 2 = 5. x⁹ addiert und x¹⁴ multipliziert die Exponenten.
2³ · 2⁴ = 4⁷
Erklärung: 2³ · 2⁴ = 8 · 16 = 128 = 2⁷. Die Basis bleibt 2, nur die Exponenten werden addiert. 4⁷ = 16 384.
Ergänze: a⁴ · a⁶ = a^___
Erklärung: Gleiche Basis, Exponenten addieren: 4 + 6 = 10.
Berechne 2⁵ : 2⁷ als Dezimalzahl.
Erklärung: 2⁵ : 2⁷ = 2⁵⁻⁷ = 2⁻² = 1/4 = 0,25. Kontrolle: 32 : 128 = 0,25.
Welcher Term ist gleich (x²)³?
Erklärung: (x²)³ sind drei Gruppen zu je zwei Faktoren x, also 2 · 3 = 6 Faktoren. x⁵ addiert die Exponenten, x⁸ rechnet 2³.
Welcher Term ist gleich (2x)³?
Erklärung: Der Exponent 3 gilt für beide Faktoren: (2x)³ = 2³ · x³ = 8x³. 2x³ vergisst die 2, 6x multipliziert 2 · 3.
Ergänze: (a³)⁴ = a^___
Erklärung: Potenz einer Potenz: Exponenten multiplizieren, 3 · 4 = 12.
Berechne (2²)³.
Erklärung: (2²)³ = 2⁶ = 64. Kontrolle: 4³ = 64.