Ganzzahlige Exponenten

Integer exponents

Mathematik Klasse 8 18 Aufgaben

AlgebraPotenzenExponenten

Eine Potenz mit ganzzahligem Exponenten entsteht, wenn die Kette 8, 4, 2, … immer weiter halbiert wird: Dann ist a⁰ = 1 und a⁻ⁿ = 1/aⁿ. Die Gesetze aᵐ · aⁿ = aᵐ⁺ⁿ, aᵐ : aⁿ = aᵐ⁻ⁿ und (aᵐ)ⁿ = aᵐ·ⁿ gelten dann auch für negative Exponenten. Der Abschnitt räumt aus, dass x⁻² eine negative Zahl sei, dass a⁰ = 0 gelte und dass Exponenten beim Multiplizieren multipliziert werden. Er bereitet das Kürzen von Potenzen in Bruchtermen und die Funktion y = a/x = a · x⁻¹ vor.

Null und negative Exponenten

Ganzzahlige Exponenten setzen ein Muster fort. In der Kette 8, 4, 2, … wird jedes Mal durch 2 geteilt, und der Exponent sinkt um 1. Der nächste Schritt liefert $2^{0} = 1$ . Das gilt für jede Basis außer 0: $a^{0} = 1$ . Es ist nicht 0, denn nach 2¹ = 2 kommt 2 : 2 = 1. Probiere es mit 5: 125, 25, 5, dann kommt 5 : 5 = 1.

Jeder Schritt teilt durch 2 und senkt den Exponenten um 1.

Die Kette geht weiter: 2⁻¹ = 1/2, 2⁻² = 1/4, 2⁻³ = 1/8. Der Wert schrumpft, wird aber nie negativ. Das Minus im Exponenten bedeutet den Kehrwert: $a^{- n} = \frac{1}{a ^{n}}$ . Ein Beispiel aus dem Alltag: 10⁻² m ist ein hundertstel Meter, also 0,01 m, ein Zentimeter. Auch ein Bruchterm lässt sich so schreiben: 1/x² ist x⁻².

Schiebe x nach links unter 0. Wie verändert sich 2ˣ, und wird es negativ?

Potenzen verknüpfen

Was ist x³ · x⁴? Zähle die Faktoren: drei plus vier sind sieben, also $x^{3} \cdot x^{4} = x^{7}$ . Bei gleicher Basis werden die Exponenten addiert, beim Dividieren subtrahiert: $x^{7} : x^{2} = x^{5}$ . Das gilt auch für negative Exponenten, etwa $x^{- 2} \cdot x^{5} = x^{3}$ . Die Basen werden nie multipliziert: 2³ · 2⁴ = 2⁷, nicht 4⁷. Beim Dividieren gilt die Reihenfolge Zähler-Exponent minus Nenner-Exponent.

Sieben Faktoren x stehen in der Rechnung, die Gruppen werden zusammengelegt.

Nun zur Potenz einer Potenz: $(x^{2})^{3}$ sind drei Gruppen zu je zwei Faktoren x, zusammen sechs: $(x^{2})^{3} = x^{2 \cdot 3} = x^{6}$ . Hier werden die Exponenten multipliziert. Steht ein Produkt in der Klammer, gilt der Exponent für jeden Faktor: $(2 x)^{3} = 2^{3} x^{3} = 8 x^{3}$ . Bei einer Summe gilt das nicht: (x + 2)² ist nicht x² + 4. Zähle nach: Drei Gruppen zu je zwei Faktoren sind sechs Faktoren, nicht fünf und nicht acht.

Leicht

Multiple Choice #1 20s ▶ Testen

In der Kette wird bei jedem Schritt durch 2 geteilt. Welcher Wert gehört zu 2⁰?

● 1
○ 0
○ 2

Vor 2⁰ steht 2¹ = 2, und 2 : 2 = 1. Die Null im Exponenten heißt nicht „null Ergebnis“ (0) und auch nicht „die Basis bleibt“ (2).

Multiple Choice #2 20s ▶ Testen

Welcher dieser Terme hat den Wert 1?

● 9⁰
○ 9¹
○ 0⁹

9⁰ = 1, denn a⁰ = 1 für jede Basis a ≠ 0. 9¹ ist 9, und 0⁹ ist 0 (neunmal der Faktor 0).

Multiple Choice #3 20s ▶ Testen

Bei jedem Schritt wird durch 2 geteilt. Welcher Wert gehört zu 2⁻³?

● 1/8
○ −8
○ −6

2⁻² = 1/4, halbiert ergibt 1/8. Das Minus im Exponenten macht die Zahl nicht negativ (−8), und es ist auch nicht −2 · 3 (−6): Es bedeutet den Kehrwert von 2³.

Wahr / Falsch #4 15s ▶ Testen

5⁻² ist eine negative Zahl.

✓ Falsch

5⁻² = 1/5² = 1/25 = 0,04. Eine Potenz mit positiver Basis ist nie negativ, das Minus im Exponenten setzt nur den Kehrwert.

Multiple Choice #5 20s ▶ Testen

Welcher Term ist gleich x³ · x⁴?

● x⁷
○ x¹²
○ 2x⁷

Drei Faktoren x und vier Faktoren x sind zusammen sieben Faktoren: x⁷. Bei gleicher Basis werden die Exponenten addiert (3 + 4), nicht multipliziert (x¹²).

Multiple Choice #6 20s ▶ Testen

Welcher Term ist gleich x⁷ : x²?

● x⁵
○ x⁹
○ x¹⁴

Beim Dividieren wird subtrahiert: 7 − 2 = 5. x⁹ addiert und x¹⁴ multipliziert die Exponenten.

Wahr / Falsch #7 15s ▶ Testen

2³ · 2⁴ = 4⁷

✓ Falsch

2³ · 2⁴ = 8 · 16 = 128 = 2⁷. Die Basis bleibt 2, nur die Exponenten werden addiert. 4⁷ = 16 384.

Multiple Choice #8 20s ▶ Testen

Welcher Term ist gleich (x²)³?

● x⁶
○ x⁵
○ x⁸

(x²)³ sind drei Gruppen zu je zwei Faktoren x, also 2 · 3 = 6 Faktoren. x⁵ addiert die Exponenten, x⁸ rechnet 2³.

Multiple Choice #9 20s ▶ Testen

Welcher Term ist gleich (2x)³?

● 8x³
○ 2x³
○ 6x

Der Exponent 3 gilt für beide Faktoren: (2x)³ = 2³ · x³ = 8x³. 2x³ vergisst die 2, 6x multipliziert 2 · 3.

Mittel

Lückentext #1 20s ▶ Testen

Ergänze: 100⁰ = ___

✓ Antwort: 1

Für jede Basis außer 0 gilt a⁰ = 1, also auch 100⁰ = 1.

Zahleneingabe #2 30s ▶ Testen

Schreibe 10⁻² als Dezimalzahl.

✓ Antwort: 0.01

10⁻² = 1/10² = 1/100 = 0,01.

Lückentext #3 20s ▶ Testen

Ergänze: a⁴ · a⁶ = a^___

✓ Antwort: 10

Gleiche Basis, Exponenten addieren: 4 + 6 = 10.

Lückentext #4 20s ▶ Testen

Ergänze: (a³)⁴ = a^___

✓ Antwort: 12

Potenz einer Potenz: Exponenten multiplizieren, 3 · 4 = 12.

Schwer

Zahleneingabe #1 30s ▶ Testen

Berechne den Wert von 3 · x⁰ + x¹ für x = 8.

✓ Antwort: 11

3 · 8⁰ = 3 · 1 = 3 und 8¹ = 8, zusammen 3 + 8 = 11. Wer 8⁰ = 0 rechnet, erhält 8.

Zahleneingabe #2 30s ▶ Testen

Es gilt 1/125 = 5^k. Welche Zahl ist k?

✓ Antwort: -3

1/125 = 1/5³ = 5⁻³, also k = −3.

KI-bewertete Rechnung #3 240s ▶ Testen

Für Potenzen mit gleicher Basis gilt aᵐ · aⁿ = aᵐ⁺ⁿ. Das soll auch für einen negativen Exponenten gelten. Rechne 2⁻³ · 2³ aus, folgere daraus, wie 2⁻³ als Bruch lautet, und mache die Probe mit der Halbierungskette 8, 4, 2, 1, … Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.

✓ Antwort: 2⁻³ · 2³ = 2⁻³⁺³ = 2⁰ = 1. Also muss 2⁻³ die Zahl sein, die mit 8 multipliziert 1 ergibt: 2⁻³ = 1/8. Probe: 8, 4, 2, 1, 1/2, 1/4, 1/8 — nach 2⁰ = 1 folgen 2⁻¹, 2⁻² und 2⁻³ = 1/8.

Das Gesetz verlangt 2⁻³ · 2³ = 2⁰ = 1. Nur der Kehrwert 1/8 ergibt mit 8 das Produkt 1. Die Halbierungskette bestätigt es: 8, 4, 2, 1, 1/2, 1/4, 1/8.

Zahleneingabe #4 30s ▶ Testen

Berechne 2⁵ : 2⁷ als Dezimalzahl.

✓ Antwort: 0.25

2⁵ : 2⁷ = 2⁵⁻⁷ = 2⁻² = 1/4 = 0,25. Kontrolle: 32 : 128 = 0,25.

Zahleneingabe #5 30s ▶ Testen

Berechne (2²)³.

✓ Antwort: 64

(2²)³ = 2⁶ = 64. Kontrolle: 4³ = 64.