Gleichung als Schnittproblem
Die Graphen von y = 6/x und y = 2 schneiden sich im Punkt S. Was ist die Lösung von 6/x = 2?
Erklärung: Die Lösung ist die x-Koordinate von S = (3 | 2), also x = 3. Die 2 ist die y-Koordinate und für beide Graphen gleich; die 6 ist der Zähler.
Die Gleichung 6/x = 2 hat die Lösung x = 3. Welcher Punkt ist der Schnittpunkt von y = 6/x und y = 2?
Erklärung: Die Lösung x = 3 ist die erste Koordinate, der gemeinsame Funktionswert 2 die zweite: (3 | 2). (2 | 3) vertauscht die Koordinaten, (6 | 2) nimmt den Zähler.
Die Graphen von y = 12/x und y = 3 schneiden sich in (a | 3). Welche Zahl ist a?
Erklärung: 12/x = 3 ergibt 12 = 3x und x = 4. Der Schnittpunkt ist (4 | 3), also a = 4.
Welche der Zahlen 1, 2, 3 löst 6/x = x + 1? (Setze ein.)
Erklärung: Für x = 2: 6/2 = 3 und 2 + 1 = 3. Für x = 1 ist 6 ≠2 und für x = 3 ist 2 ≠4. Die Graphen von y = 6/x und y = x + 1 schneiden sich bei x = 2.
Wie viele Lösungen hat 6/x = −2? Die Graphen von y = 6/x und y = −2 sind gezeichnet.
Erklärung: Der untere Ast des Graphen schneidet die Gerade y = −2 genau einmal, bei x = −3. Auch negative Werte gehören zum Graphen, also nicht 0; ein zweiter Schnitt kommt nicht vor.
Wie viele Lösungen hat 6/x = 0?
Erklärung: y = 0 ist die x-Achse, und der Graph von y = 6/x kommt der x-Achse beliebig nahe, berührt sie aber nie. Ein Bruch mit Zähler 6 ist nie 0.
Die Graphen von y = 6/x und y = x haben n Schnittpunkte. Welche Zahl ist n?
Erklärung: Die Gerade y = x geht durch den Ursprung und trifft den rechten Ast (bei x > 0) und den linken Ast (bei x < 0) je einmal. Rechnerisch ergibt 6/x = x die Gleichung x² = 6 mit einer positiven und einer negativen Lösung: n = 2.
Für wie viele der Werte k ∈ {−3, −1, 0, 1, 3} hat 6/x = k keine Lösung?
Erklärung: Für k ≠0 gilt x = 6/k, es gibt genau eine Lösung. Nur für k = 0 gibt es keine. Es ist also genau ein Wert.
Der Graph von y = (x² − 4)/(x − 2) ist eine Gerade mit einer Lücke. An welcher Stelle x ist die Lücke?
Erklärung: Der Nenner x − 2 ist bei x = 2 null. Dort fehlt der Punkt (2 | 4). Die 4 ist der y-Wert der Geraden bei x = 2, und bei −2 ist der Nenner −4.
Welche der Gleichungen hat keine Lösung?
Erklärung: Gekürzt gilt x + 2 = k. Für k = 4 folgt x = 2, dort fehlt der Punkt. Für k = 5 folgt x = 3, für k = 0 folgt x = −2; beide Zahlen liegen in D.
Der Punkt (2 | 4) liegt auf dem Graphen von y = (x² − 4)/(x − 2).
Erklärung: Für x = 2 ist der Term nicht definiert, denn der Nenner ist 0. Die Gerade y = x + 2 geht durch (2 | 4), aber genau dieser Punkt fehlt im Graphen.
Löse (x² − 4)/(x − 2) = 7.
Erklärung: Gekürzt: x + 2 = 7, also x = 5. 5 liegt in D = ℚ \ {2}. Probe: (25 − 4)/3 = 7.
Für welchen Wert k hat (x² − 9)/(x − 3) = k keine Lösung?
Erklärung: Gekürzt gilt x + 3 = k, also x = k − 3. Die Lösung ist verboten, wenn k − 3 = 3 ist, also für k = 6. Der Graph ist die Gerade y = x + 3 mit der Lücke (3 | 6).
Löse (x² − 9)/(x − 3) = 5 rechnerisch mit Definitionsmenge, Kürzen und Probe. Begründe dann mit dem Graphen von y = x + 3 und seiner Lücke, warum (x² − 9)/(x − 3) = 6 keine Lösung hat.
Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.
Erklärung: Nach dem Kürzen ist x + 3 = 5 eine gewöhnliche Gleichung mit x = 2. Bei k = 6 führt sie auf x = 3, aber genau dort fehlt der Punkt im Graphen: Der Schnitt liegt in der Lücke, es gibt keine Lösung.