Gleichung als Schnittproblem

Equation as an intersection problem

Mathematik Klasse 8 14 Aufgaben
AlgebraGleichungenGraphen

Eine Bruchgleichung f(x) = g(x) lässt sich als Schnittproblem lesen: Ihre Lösungen sind die x-Koordinaten der Schnittpunkte der Graphen von f und g, die Anzahl der Lösungen ist die Anzahl der Schnittpunkte. Ist der Nenner an einer Stelle null, fehlt dort ein Punkt im Graphen, und diese Stelle kann keine Lösung sein. Der Abschnitt räumt aus, die y-Koordinate als Lösung anzugeben und eine Scheinlösung in der Lücke zu behalten. Er bereitet Schnittpunkte von Graphen in Jahrgangsstufe 9 und 10 sowie Asymptoten vor.

Lösung ablesen

Eine Gleichung wie hat ein Bild: Der Graph von y = 6/x wird von der Geraden y = k geschnitten. Die Lösung ist die x-Koordinate des Schnittpunkts, nicht sein y-Wert. Bei k = 2 liegt S bei (3 | 2), also x = 3. Die Zahl der Schnittpunkte ist die Zahl der Lösungen: Für jedes k ≠ 0 genau eine, für k = 0 keine. Für k = 6 etwa ist x = 1, denn 6/1 = 6.

Verändere k. Wo liegt die Lösung, und wann gibt es keinen Schnittpunkt?

Die Lücke

Ist der Nenner an einer Stelle null, fehlt dort ein Punkt im Graphen. ist die Gerade y = x + 2, doch bei x = 2 hat sie die Lücke (2 | 4), im Bild der rosa Punkt. Für (x² − 4)/(x − 2) = 4 folgt gekürzt x = 2, und genau dort fehlt der Punkt. Ein Schnitt in der Lücke zählt nicht: keine Lösung. Das ist derselbe Gedanke wie bei der Scheinlösung, nur als Bild.

Schiebe k auf 4. Was passiert mit dem Schnittpunkt S und der Lücke?

Voraussetzungen (1)

Bruchgleichungen lösen
Klasse 8
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Leicht
Multiple Choice #1 20s ▶ Testen

Die Graphen von y = 6/x und y = 2 schneiden sich im Punkt S. Was ist die Lösung von 6/x = 2?

  • ● 3
  • ○ 2
  • ○ 6
Die Lösung ist die x-Koordinate von S = (3 | 2), also x = 3. Die 2 ist die y-Koordinate und für beide Graphen gleich; die 6 ist der Zähler.
Multiple Choice #2 20s ▶ Testen

Die Gleichung 6/x = 2 hat die Lösung x = 3. Welcher Punkt ist der Schnittpunkt von y = 6/x und y = 2?

  • ● (3 | 2)
  • ○ (2 | 3)
  • ○ (6 | 2)
Die Lösung x = 3 ist die erste Koordinate, der gemeinsame Funktionswert 2 die zweite: (3 | 2). (2 | 3) vertauscht die Koordinaten, (6 | 2) nimmt den Zähler.
Multiple Choice #3 20s ▶ Testen

Wie viele Lösungen hat 6/x = −2? Die Graphen von y = 6/x und y = −2 sind gezeichnet.

  • ● 1
  • ○ 0
  • ○ 2
Der untere Ast des Graphen schneidet die Gerade y = −2 genau einmal, bei x = −3. Auch negative Werte gehören zum Graphen, also nicht 0; ein zweiter Schnitt kommt nicht vor.
Multiple Choice #4 20s ▶ Testen

Wie viele Lösungen hat 6/x = 0?

  • ● 0
  • ○ 1
  • ○ 2
y = 0 ist die x-Achse, und der Graph von y = 6/x kommt der x-Achse beliebig nahe, berührt sie aber nie. Ein Bruch mit Zähler 6 ist nie 0.
Multiple Choice #5 20s ▶ Testen

Der Graph von y = (x² − 4)/(x − 2) ist eine Gerade mit einer Lücke. An welcher Stelle x ist die Lücke?

  • ● 2
  • ○ 4
  • ○ −2
Der Nenner x − 2 ist bei x = 2 null. Dort fehlt der Punkt (2 | 4). Die 4 ist der y-Wert der Geraden bei x = 2, und bei −2 ist der Nenner −4.
Multiple Choice #6 20s ▶ Testen

Welche der Gleichungen hat keine Lösung?

  • ● (x² − 4)/(x − 2) = 4
  • ○ (x² − 4)/(x − 2) = 5
  • ○ (x² − 4)/(x − 2) = 0
Gekürzt gilt x + 2 = k. Für k = 4 folgt x = 2, dort fehlt der Punkt. Für k = 5 folgt x = 3, für k = 0 folgt x = −2; beide Zahlen liegen in D.
Wahr / Falsch #7 15s ▶ Testen

Der Punkt (2 | 4) liegt auf dem Graphen von y = (x² − 4)/(x − 2).

✓ Falsch
Für x = 2 ist der Term nicht definiert, denn der Nenner ist 0. Die Gerade y = x + 2 geht durch (2 | 4), aber genau dieser Punkt fehlt im Graphen.
Mittel
Zahleneingabe #1 30s ▶ Testen

Die Graphen von y = 12/x und y = 3 schneiden sich in (a | 3). Welche Zahl ist a?

✓ Antwort: 4
12/x = 3 ergibt 12 = 3x und x = 4. Der Schnittpunkt ist (4 | 3), also a = 4.
Zahleneingabe #2 30s ▶ Testen

Die Graphen von y = 6/x und y = x haben n Schnittpunkte. Welche Zahl ist n?

✓ Antwort: 2
Die Gerade y = x geht durch den Ursprung und trifft den rechten Ast (bei x > 0) und den linken Ast (bei x < 0) je einmal. Rechnerisch ergibt 6/x = x die Gleichung x² = 6 mit einer positiven und einer negativen Lösung: n = 2.
Zahleneingabe #3 30s ▶ Testen

Löse (x² − 4)/(x − 2) = 7.

✓ Antwort: 5
Gekürzt: x + 2 = 7, also x = 5. 5 liegt in D = ℚ \ {2}. Probe: (25 − 4)/3 = 7.
Schwer
Zahleneingabe #1 30s ▶ Testen

Welche der Zahlen 1, 2, 3 löst 6/x = x + 1? (Setze ein.)

✓ Antwort: 2
Für x = 2: 6/2 = 3 und 2 + 1 = 3. Für x = 1 ist 6 ≠ 2 und für x = 3 ist 2 ≠ 4. Die Graphen von y = 6/x und y = x + 1 schneiden sich bei x = 2.
Zahleneingabe #2 30s ▶ Testen

Für wie viele der Werte k ∈ {−3, −1, 0, 1, 3} hat 6/x = k keine Lösung?

✓ Antwort: 1
Für k ≠ 0 gilt x = 6/k, es gibt genau eine Lösung. Nur für k = 0 gibt es keine. Es ist also genau ein Wert.
Zahleneingabe #3 30s ▶ Testen

Für welchen Wert k hat (x² − 9)/(x − 3) = k keine Lösung?

✓ Antwort: 6
Gekürzt gilt x + 3 = k, also x = k − 3. Die Lösung ist verboten, wenn k − 3 = 3 ist, also für k = 6. Der Graph ist die Gerade y = x + 3 mit der Lücke (3 | 6).
KI-bewertete Rechnung #4 240s ▶ Testen

Löse (x² − 9)/(x − 3) = 5 rechnerisch mit Definitionsmenge, Kürzen und Probe. Begründe dann mit dem Graphen von y = x + 3 und seiner Lücke, warum (x² − 9)/(x − 3) = 6 keine Lösung hat. Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.

✓ Antwort: D = ℚ \ {3}. Gekürzt: x + 3 = 5, also x = 2 ∈ D; Probe: (4 − 9)/(2 − 3) = 5. Für = 6: x + 3 = 6 gibt x = 3, das ist nicht in D. Graph: Die Gerade y = x + 3 hat bei x = 3 die Lücke (3 | 6); die Gerade y = 6 trifft sie nur dort, also nirgends.
Nach dem Kürzen ist x + 3 = 5 eine gewöhnliche Gleichung mit x = 2. Bei k = 6 führt sie auf x = 3, aber genau dort fehlt der Punkt im Graphen: Der Schnitt liegt in der Lücke, es gibt keine Lösung.