Von ℕ über ℤ zu ℚ
Zu welchen Zahlbereichen gehört die Zahl −4?
Erklärung: −4 liegt links von 0 und gehört damit nicht zu ℕ. Es ist eine ganze Zahl und – als −4/1 – auch eine rationale. „ℕ, ℤ und ℚ“ zählt die negative Zahl fälschlich zu den natürlichen; „nur ℤ“ übersieht, dass jede ganze Zahl ein Bruch mit Nenner 1 ist.
Die Punkte A, B und C sind die Zahlen 7, −2 und 1/2 (in anderer Reihenfolge). Welcher Punkt ist 1/2?
Erklärung: 1/2 ist keine ganze Zahl, gehört also nur zu ℚ – das ist der Punkt im äußeren Bereich, B. C im innersten Bereich ist 7 (natürlich), A ist −2 (ganz, aber nicht natürlich).
5 ist eine rationale Zahl, denn 5 = 5/1.
Erklärung: Jede ganze Zahl lässt sich als Bruch mit dem Nenner 1 schreiben: 5 = 5/1, −4 = −4/1. Damit liegt sie in ℚ.
Jede ganze Zahl lässt sich als Bruch mit Nenner 1 schreiben: −6 = ?/1. Welche Zahl gehört in den Zähler?
Erklärung: −6 = −6/1: Der Nenner 1 teilt das Ganze nicht, der Zähler ist die Zahl selbst.
Wie viele der Zahlen 7, −2, 1/2, 10/5, −3/4, 9/2 und 12/4 sind ganze Zahlen?
Erklärung: Gekürzt: 10/5 = 2 und 12/4 = 3 sind ganze Zahlen, ebenso 7 und −2. 1/2, −3/4 und 9/2 (= 4,5) sind es nicht. Es sind also 4 ganze Zahlen.
Wie viele verschiedene Zahlen stellen die Brüche 1/2, 2/4, 3/6 und 4/8 dar?
Erklärung: Alle vier Brüche haben gekürzt den Wert 1/2 – sie liegen am selben Punkt der Zahlengeraden. Es ist eine Zahl mit vier Namen; vier verschiedene Zahlen wären es nur, wenn man Zähler und Nenner einzeln ansähe.
Welcher Bruch liegt am selben Punkt der Zahlengeraden wie 2/3?
Erklärung: 4/6 entsteht durch Erweitern von 2/3 mit 2 und liegt am selben Punkt. 3/4 entsteht, wenn man zu Zähler und Nenner 1 addiert, 2/6 erweitert nur den Nenner – beides sind andere Zahlen.
Der Punkt P hat auf dieser Zahlengeraden nur genau eine Bruchschreibweise.
Erklärung: P liegt bei 3/6, gekürzt 1/2, erweitert 2/4, 4/8 und so weiter – zur selben Zahl gehören unendlich viele Bruchschreibweisen.
Für welche Zahl gilt 2/5 = 6/?
Erklärung: Der Zähler wird mit 3 erweitert (2 · 3 = 6), also auch der Nenner: 5 · 3 = 15. 6/15 ist eine andere Schreibweise derselben Zahl 2/5.
Wie viele der Brüche 2/6, 3/9, 4/12, 5/12 und 10/30 stellen dieselbe Zahl dar wie 1/3?
Erklärung: Gekürzt: 2/6 = 1/3, 3/9 = 1/3, 4/12 = 1/3, 10/30 = 1/3. Nur 5/12 ist eine andere Zahl. Das sind 4 Brüche.
Was ist der Nachfolger von 3/4 unter den rationalen Zahlen?
Erklärung: 4/5 ist größer als 3/4, aber zwischen 3/4 und 4/5 liegt noch 7/9 (und dazwischen noch weitere). Zu jedem größeren Bruch gibt es einen kleineren, der noch größer als 3/4 ist – also keinen nächsten.
Der Ausschnitt reicht von 1/2 bis 3/4. Der Punkt M liegt genau in der Mitte. Welche Zahl gehört zu M?
Erklärung: 1/2 = 4/8 und 3/4 = 6/8, die Mitte ist 5/8. 2/3 entsteht, wenn man Zähler und Nenner einzeln mittelt ((1+3)/(2+4)); 5/4 ist die Summe von 1/2 und 3/4, nicht ihre Mitte.
Zwischen 1/3 und 1/2 liegt kein weiterer Bruch.
Erklärung: 1/3 = 4/12 und 1/2 = 6/12: Dazwischen liegt 5/12. Erweitert man noch feiner (Vierundzwanzigstel), findet man weitere Brüche dazwischen – immer feiner.
Welche ganze Zahl ist der Vorgänger von −3?
Erklärung: In den ganzen Zahlen hat jede Zahl einen Vorgänger: −3 − 1 = −4. In den rationalen Zahlen gibt es das nicht.
Die Zahl in der Mitte zwischen 1/4 und 1/2 ist ?/8. Welche Zahl gehört in den Zähler?
Erklärung: 1/4 = 2/8 und 1/2 = 4/8; die Zahl in der Mitte ist 3/8.
a) Ordne die Zahlen 12/4, −5, 3/4, 7 und −1/2 jeweils den Zahlbereichen ℕ, ℤ und ℚ zu (mehrere sind möglich) und kürze, wo nötig. b) Zeige, dass zwischen 1/3 und 1/2 mindestens ein weiterer Bruch liegt: Erweitere beide auf einen gemeinsamen Nenner, gib einen Bruch dazwischen an und erkläre in einem Satz, warum es keinen Nachfolger von 1/3 gibt.
Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.
Erklärung: Zwischen 4/12 und 6/12 liegt 5/12; mit Nenner 24 liegen noch mehr dazwischen. Weil man immer weiter erweitern kann, gibt es zu keinem Bruch einen nächsten.