Von ℕ über ℤ zu ℚ

From ℕ via ℤ to ℚ

Mathematik Klasse 6 16 Aufgaben

Rationale ZahlenZahlenmengenGanze Zahlen

Die natürlichen Zahlen sind in den ganzen Zahlen enthalten, diese in den rationalen: ℕ ⊂ ℤ ⊂ ℚ. Jede ganze Zahl ist auch ein Bruch (5 = 5/1). Die Station zeigt zwei wesentliche Unterschiede: In ℕ und ℤ hat jede Zahl genau eine Schreibweise, in ℚ unendlich viele (1/2 = 2/4 = 3/6); in ℕ und ℤ gibt es Vorgänger und Nachfolger, in ℚ nicht – zwischen zwei Brüchen liegt immer noch einer. Sie räumt aus, dass gleichwertige Brüche verschiedene Zahlen seien und dass es „den nächsten Bruch“ gebe. Sie bereitet das Rechnen in ℚ und später die reellen Zahlen vor.

Die Zahlengerade zeigt, wie die Zahlen ineinanderliegen: Die natürlichen Zahlen ℕ (1, 2, 3, …) sind in den ganzen Zahlen ℤ enthalten, diese in den rationalen Zahlen ℚ – allen Brüchen samt ihren negativen. Man schreibt $N \subset Z \subset Q$ . Jede ganze Zahl ist auch ein Bruch mit dem Nenner 1: $5 = \frac{5}{1}$ , $- 2 = \frac{- 2}{1}$ . Ob ein Bruch eine ganze Zahl ist, sieht man nach dem Kürzen: $\frac{12}{4} = 3$ ist ganz, $\frac{9}{2}$ nicht.

ℕ liegt in ℤ, ℤ liegt in ℚ: 7 ist natürlich, −2 ist ganz, aber nicht natürlich, 1/2 ist nur rational.

Eindeutigkeit. In ℕ und ℤ hat jede Zahl genau eine Schreibweise. In ℚ hat jede Zahl unendlich viele: $\frac{1}{2} = \frac{2}{4} = \frac{3}{6}$ ist eine Zahl mit vielen Namen – ein einziger Punkt der Zahlengeraden.

Vorgänger und Nachfolger. Zu 7 gibt es den Nachfolger 8, zu −3 den Vorgänger −4. Bei Brüchen gibt es das nicht: Zwischen zwei Brüchen liegt immer noch ein weiterer, zum Beispiel ihre Mitte.

Verschiebe A und B. Liegt die Mitte M immer auf einem Zwölftelstrich?

Voraussetzungen (1)

Brüche auf der Zahlengeraden

Klasse 6

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Leicht

Multiple Choice #1 20s ▶ Testen

Zu welchen Zahlbereichen gehört die Zahl −4?

● ℤ und ℚ
○ ℕ, ℤ und ℚ
○ nur ℤ

−4 liegt links von 0 und gehört damit nicht zu ℕ. Es ist eine ganze Zahl und – als −4/1 – auch eine rationale. „ℕ, ℤ und ℚ“ zählt die negative Zahl fälschlich zu den natürlichen; „nur ℤ“ übersieht, dass jede ganze Zahl ein Bruch mit Nenner 1 ist.

Multiple Choice #2 20s ▶ Testen

Die Punkte A, B und C sind die Zahlen 7, −2 und 1/2 (in anderer Reihenfolge). Welcher Punkt ist 1/2?

● B
○ A
○ C

1/2 ist keine ganze Zahl, gehört also nur zu ℚ – das ist der Punkt im äußeren Bereich, B. C im innersten Bereich ist 7 (natürlich), A ist −2 (ganz, aber nicht natürlich).

Wahr / Falsch #3 15s ▶ Testen

5 ist eine rationale Zahl, denn 5 = 5/1.

✓ Wahr

Jede ganze Zahl lässt sich als Bruch mit dem Nenner 1 schreiben: 5 = 5/1, −4 = −4/1. Damit liegt sie in ℚ.

Multiple Choice #4 20s ▶ Testen

Wie viele verschiedene Zahlen stellen die Brüche 1/2, 2/4, 3/6 und 4/8 dar?

● eine
○ zwei
○ vier

Alle vier Brüche haben gekürzt den Wert 1/2 – sie liegen am selben Punkt der Zahlengeraden. Es ist eine Zahl mit vier Namen; vier verschiedene Zahlen wären es nur, wenn man Zähler und Nenner einzeln ansähe.

Multiple Choice #5 20s ▶ Testen

Welcher Bruch liegt am selben Punkt der Zahlengeraden wie 2/3?

● 4/6
○ 3/4
○ 2/6

4/6 entsteht durch Erweitern von 2/3 mit 2 und liegt am selben Punkt. 3/4 entsteht, wenn man zu Zähler und Nenner 1 addiert, 2/6 erweitert nur den Nenner – beides sind andere Zahlen.

Wahr / Falsch #6 15s ▶ Testen

Der Punkt P hat auf dieser Zahlengeraden nur genau eine Bruchschreibweise.

✓ Falsch

P liegt bei 3/6, gekürzt 1/2, erweitert 2/4, 4/8 und so weiter – zur selben Zahl gehören unendlich viele Bruchschreibweisen.

Multiple Choice #7 20s ▶ Testen

Was ist der Nachfolger von 3/4 unter den rationalen Zahlen?

● Es gibt keinen Nachfolger.
○ 4/5
○ 1

4/5 ist größer als 3/4, aber zwischen 3/4 und 4/5 liegt noch 7/9 (und dazwischen noch weitere). Zu jedem größeren Bruch gibt es einen kleineren, der noch größer als 3/4 ist – also keinen nächsten.

Multiple Choice #8 20s ▶ Testen

Der Ausschnitt reicht von 1/2 bis 3/4. Der Punkt M liegt genau in der Mitte. Welche Zahl gehört zu M?

● 5/8
○ 2/3
○ 5/4

1/2 = 4/8 und 3/4 = 6/8, die Mitte ist 5/8. 2/3 entsteht, wenn man Zähler und Nenner einzeln mittelt ((1+3)/(2+4)); 5/4 ist die Summe von 1/2 und 3/4, nicht ihre Mitte.

Wahr / Falsch #9 15s ▶ Testen

Zwischen 1/3 und 1/2 liegt kein weiterer Bruch.

✓ Falsch

1/3 = 4/12 und 1/2 = 6/12: Dazwischen liegt 5/12. Erweitert man noch feiner (Vierundzwanzigstel), findet man weitere Brüche dazwischen – immer feiner.

Mittel

Zahleneingabe #1 30s ▶ Testen

Jede ganze Zahl lässt sich als Bruch mit Nenner 1 schreiben: −6 = ?/1. Welche Zahl gehört in den Zähler?

✓ Antwort: -6

−6 = −6/1: Der Nenner 1 teilt das Ganze nicht, der Zähler ist die Zahl selbst.

Zahleneingabe #2 30s ▶ Testen

Für welche Zahl gilt 2/5 = 6/?

✓ Antwort: 15

Der Zähler wird mit 3 erweitert (2 · 3 = 6), also auch der Nenner: 5 · 3 = 15. 6/15 ist eine andere Schreibweise derselben Zahl 2/5.

Zahleneingabe #3 30s ▶ Testen

Welche ganze Zahl ist der Vorgänger von −3?

✓ Antwort: -4

In den ganzen Zahlen hat jede Zahl einen Vorgänger: −3 − 1 = −4. In den rationalen Zahlen gibt es das nicht.

Schwer

Zahleneingabe #1 30s ▶ Testen

Wie viele der Zahlen 7, −2, 1/2, 10/5, −3/4, 9/2 und 12/4 sind ganze Zahlen?

✓ Antwort: 4

Gekürzt: 10/5 = 2 und 12/4 = 3 sind ganze Zahlen, ebenso 7 und −2. 1/2, −3/4 und 9/2 (= 4,5) sind es nicht. Es sind also 4 ganze Zahlen.

Zahleneingabe #2 30s ▶ Testen

Wie viele der Brüche 2/6, 3/9, 4/12, 5/12 und 10/30 stellen dieselbe Zahl dar wie 1/3?

✓ Antwort: 4

Gekürzt: 2/6 = 1/3, 3/9 = 1/3, 4/12 = 1/3, 10/30 = 1/3. Nur 5/12 ist eine andere Zahl. Das sind 4 Brüche.

Zahleneingabe #3 30s ▶ Testen

Die Zahl in der Mitte zwischen 1/4 und 1/2 ist ?/8. Welche Zahl gehört in den Zähler?

✓ Antwort: 3

1/4 = 2/8 und 1/2 = 4/8; die Zahl in der Mitte ist 3/8.

KI-bewertete Rechnung #4 240s ▶ Testen

a) Ordne die Zahlen 12/4, −5, 3/4, 7 und −1/2 jeweils den Zahlbereichen ℕ, ℤ und ℚ zu (mehrere sind möglich) und kürze, wo nötig. b) Zeige, dass zwischen 1/3 und 1/2 mindestens ein weiterer Bruch liegt: Erweitere beide auf einen gemeinsamen Nenner, gib einen Bruch dazwischen an und erkläre in einem Satz, warum es keinen Nachfolger von 1/3 gibt. Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.

✓ Antwort: a) 12/4 = 3 und 7 gehören zu ℕ, ℤ und ℚ; −5 gehört zu ℤ und ℚ; 3/4 und −1/2 gehören nur zu ℚ. b) 1/3 = 4/12 und 1/2 = 6/12, dazwischen liegt 5/12. Zwischen 1/3 und 5/12 kann man wieder einen Bruch finden (Nenner 72: 25/72 liegt zwischen 24/72 und 30/72) – man kann immer weiter teilen, also gibt es keinen nächsten Bruch nach 1/3.

Zwischen 4/12 und 6/12 liegt 5/12; mit Nenner 24 liegen noch mehr dazwischen. Weil man immer weiter erweitern kann, gibt es zu keinem Bruch einen nächsten.