Endlich oder periodisch?
Beim schriftlichen Dividieren von 1 : 3 bleibt nach jedem Schritt wieder der Rest 1. Was ergibt 1 : 3?
Erklärung: Der Rest 1 kehrt jedes Mal zurück, also wiederholt sich auch die Ziffer 3 – immer weiter. 0,33 und 0,3 brechen ab und wären nur gerundete Werte: 3 · 0,33 = 0,99 ≠1.
Bei 1 : 4 erreicht man nach zwei Schritten den Rest 0, also ist 1/4 ein endlicher Dezimalbruch.
Erklärung: 10 : 4 = 2 Rest 2, dann 20 : 4 = 5 Rest 0. Beim Rest 0 endet die Rechnung: 1/4 = 0,25.
Bei welcher Division kommt irgendwann der Rest 0?
Erklärung: 3 : 8 = 0,375: Nach drei Stellen ist der Rest 0. Bei 2 : 3 = 0,666… bleibt stets der Rest 2, bei 5 : 6 = 0,8333… stets der Rest 2 nach dem ersten Schritt – beide brechen nie ab.
Bei 1 : 6 folgt nach dem Komma der Schritt 10 : 6. Welcher Rest bleibt?
Erklärung: 10 : 6 = 1 (denn 6 · 1 = 6), und 10 − 6 = 4: Der Rest ist 4.
Die Division 2 : 3 wird fortgesetzt. Welche Ziffer steht an der 10. Stelle nach dem Komma?
Erklärung: In jedem Schritt steht 20 : 3 = 6 mit dem Rest 2 – der Rest kehrt zurück, also ist jede Nachkommastelle eine 6: 0,666666666666… Die 10. Stelle ist eine 6.
Welcher dieser Brüche ergibt einen endlichen Dezimalbruch?
Erklärung: 20 = 2 · 2 · 5 hat nur die Primfaktoren 2 und 5, also lässt sich 3/20 auf Nenner 100 erweitern: 15/100 = 0,15. 6 = 2 · 3 und 9 = 3 · 3 enthalten den Primfaktor 3 – 1/6 = 0,1666… und 5/9 = 0,555… sind periodisch.
Der Bruch 3/12 ist ein periodischer Dezimalbruch, weil im Nenner 12 = 2 · 2 · 3 der Primfaktor 3 vorkommt.
Erklärung: Man muss zuerst kürzen: 3/12 = 1/4, und 4 = 2 · 2 hat nur den Primfaktor 2. Also ist 3/12 = 0,25 endlich. Die 3 im ungekürzten Nenner ist durch den Zähler 3 weggekürzt.
Welcher dieser Brüche ergibt einen periodischen Dezimalbruch?
Erklärung: 15 = 3 · 5 enthält den Primfaktor 3: 7/15 = 0,4666… ist periodisch. 25 = 5 · 5 und 40 = 2 · 2 · 2 · 5 haben nur die Primfaktoren 2 und 5: 7/25 = 0,28 und 7/40 = 0,175 sind endlich.
Kürze 6/15 vollständig. Welche Zahl steht im Nenner des gekürzten Bruchs?
Erklärung: 6/15 = 2/5 (durch 3 gekürzt). Der gekürzte Nenner 5 hat nur den Primfaktor 5: Der Dezimalbruch ist endlich, 0,4.
Unter den Brüchen 1/2, 1/3, 1/4, 1/5, 1/6, 1/7, 1/8, 1/9 und 1/10: Wie viele ergeben einen endlichen Dezimalbruch?
Erklärung: Endlich sind die Nenner 2, 4, 5, 8 und 10 (nur die Primfaktoren 2 und 5): 1/2, 1/4, 1/5, 1/8, 1/10. Periodisch sind 1/3, 1/6, 1/7 und 1/9 – also 5 endliche Brüche.
Entscheide für 7/40 und für 5/12, ob der Dezimalbruch endlich oder periodisch ist. Zerlege dazu jeweils den Nenner in Primfaktoren (prüfe zuerst, ob man kürzen kann). Gib bei dem endlichen Bruch den Dezimalbruch an und rechne ihn auf einem der beiden Wege nach.
Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.
Erklärung: 7/40: 40 = 2³ · 5 – endlich, 7/40 = 175/1000 = 0,175. 5/12: 12 = 2² · 3, nicht kürzbar – wegen der 3 periodisch, 0,41666…
Welcher Bruch ist 0,777… (die 7 wiederholt sich immer weiter)?
Erklärung: Eine wiederholte Ziffer d ist d Neuntel: 1/9 = 0,111…, also 0,777… = 7/9. 7/10 wäre 0,7 (endlich), und 7/7 ist genau 1.
0,999… (die 9 wiederholt sich immer weiter) ist genau so groß wie 1.
Erklärung: Eine wiederholte 9 ist 9/9 = 1. 0,999… und 1 sind zwei Schreibweisen derselben Zahl – zwischen ihnen liegt keine weitere Zahl, die man noch ergänzen könnte.
Der Streifen zeigt 4/9. Welcher Dezimalbruch gehört zu 4/9?
Erklärung: 4/9 = 4 : 9 = 0,444…: der Rest 4 kehrt zurück, und die 4 wiederholt sich. 0,49 und 0,4 sind endlich und damit andere Zahlen.
Schreibe 0,666… als vollständig gekürzten Bruch 2/?. Welche Zahl gehört in den Nenner?
Erklärung: 0,666… = 6/9, und 6/9 = 2/3 (durch 3 gekürzt). Der Nenner ist 3.
Berechne 0,444… + 0,555… (jeweils mit sich wiederholender Ziffer). Gib das Ergebnis als Dezimalbruch ein.
Erklärung: 0,444… = 4/9 und 0,555… = 5/9. Die Summe ist 9/9 = 1. (Stellenweise: 0,999… = 1.)