Endlich oder periodisch?

Terminating or repeating?

Mathematik Klasse 6 16 Aufgaben
DezimalzahlenPeriodischDivision

Bei der Division Zähler durch Nenner bleibt entweder irgendwann der Rest 0 (endlicher Dezimalbruch) oder ein Rest kehrt zurück und mit ihm die Ziffern (periodischer Dezimalbruch). Die Station zeigt, dass der Nenner des vollständig gekürzten Bruchs entscheidet: Enthält er nur die Primfaktoren 2 und 5, lässt er sich auf 10, 100, 1000 erweitern; sonst wiederholt sich die Ziffernfolge. Sie räumt 1/3 = 0,3 und das Entscheiden am ungekürzten Nenner aus (3/12 ist endlich) und schreibt rein periodische Dezimalbrüche der Periodenlänge 1 als Bruch (0,777… = 7/9). Sie bereitet das Deuten der Rechneranzeige vor.

Die Reste entscheiden

Wer 1 : 4 schriftlich rechnet, erreicht nach zwei Schritten den Rest 0: 0,25. Der Dezimalbruch ist endlich. Bei 1 : 3 bleibt dagegen jedes Mal der Rest 1: Die Rechnung wiederholt sich, und mit ihr die Ziffer 3. Das ist ein periodischer Dezimalbruch, geschrieben ; die Periode ist 3. Beim Teilen durch n gibt es nur die Reste 0 bis n − 1: Entweder wird der Rest 0 erreicht, oder ein Rest kehrt zurück.

Zwei schriftliche Divisionen: 1 : 4 endet nach 20 : 4 = 5 mit dem Rest 0; bei 1 : 3 ist in jedem Schritt 10 : 3 = 3 mit dem Rest 1 1 : 4 = 0,25 10 : 4 = 2 Rest 2 20 : 4 = 5 Rest 0 1 : 3 = 0,333… 10 : 3 = 3 Rest 1 10 : 3 = 3 Rest 1 10 : 3 = 3 Rest 1 …
Links endet die Rechnung beim Rest 0, rechts kehrt der Rest 1 immer wieder.

Der Nenner entscheidet

Ob die Division abbricht, sieht man am Nenner. Ein endlicher Dezimalbruch hat den Nenner 10, 100, 1000 … – und diese Zahlen bestehen nur aus den Primfaktoren 2 und 5. Lässt sich der Nenner nur aus 2 und 5 bauen, geht es auf: 7/20 mit 20 = 2 · 2 · 5 ist 0,35. Kommt ein anderer Primfaktor vor, bleibt ein Rest: 1/6 mit 6 = 2 · 3 ist periodisch, 0,1666… Es zählt der Nenner des vollständig gekürzten Bruchs: 3/12 = 1/4 ist endlich, obwohl 12 = 2 · 2 · 3 eine 3 enthält.

Nenner von 2 bis 25 mit ihren Primfaktoren; grün: nur die Primfaktoren 2 und 5, der Bruch 1/n ist ein endlicher Dezimalbruch; violett: ein anderer Primfaktor kommt vor, periodisch 2 prim 3 prim 4 2·2 5 prim 6 2·3 7 prim 8 2·2·2 9 3·3 10 2·5 11 prim 12 2·2·3 13 prim 14 2·7 15 3·5 16 2·2·2·2 17 prim 18 2·3·3 19 prim 20 2·2·5 21 3·7 22 2·11 23 prim 24 2·2·2·3 25 5·5 endlich periodisch
Nenner von 2 bis 25 mit ihren Primfaktoren: grün, wenn nur 2 und 5 vorkommen.

Periode 1 zurück zum Bruch

Auch der Rückweg gelingt, wenn sich nur eine Ziffer d wiederholt: 1 : 9 = 0,111… Der Rest 1 kehrt bei 1 : 9 immer wieder, deshalb ist 1/9 genau 0,111… Damit ist

also 0,777… = 7/9 und 0,333… = 3/9 = 1/3. Für d = 9 ist 9/9 = 1: 0,999… und 1 sind dieselbe Zahl. Man liest die Regel so: 0,777… ist siebenmal 0,111…, also 7 · 1/9.

Wähle die Ziffer d. Wie viele Neuntel sind gefärbt? Der Chip rundet auf 3 Stellen – wie lautet der genaue Dezimalbruch?

Voraussetzungen (1)

Vom Bruch zum Dezimalbruch
Klasse 6
›

Ermöglicht (1)

Was der Taschenrechner anzeigt
Klasse 6
›
Leicht
Multiple Choice #1 20s ▶ Testen

Beim schriftlichen Dividieren von 1 : 3 bleibt nach jedem Schritt wieder der Rest 1. Was ergibt 1 : 3?

  • ● 0,333… (die 3 wiederholt sich immer weiter)
  • ○ 0,33 (nach zwei Stellen ist Schluss)
  • ○ 0,3 (nach einer Stelle ist Schluss)
Der Rest 1 kehrt jedes Mal zurück, also wiederholt sich auch die Ziffer 3 – immer weiter. 0,33 und 0,3 brechen ab und wären nur gerundete Werte: 3 · 0,33 = 0,99 ≠ 1.
Wahr / Falsch #2 15s ▶ Testen

Bei 1 : 4 erreicht man nach zwei Schritten den Rest 0, also ist 1/4 ein endlicher Dezimalbruch.

✓ Wahr
10 : 4 = 2 Rest 2, dann 20 : 4 = 5 Rest 0. Beim Rest 0 endet die Rechnung: 1/4 = 0,25.
Multiple Choice #3 20s ▶ Testen

Bei welcher Division kommt irgendwann der Rest 0?

  • ● 3 : 8
  • ○ 2 : 3
  • ○ 5 : 6
3 : 8 = 0,375: Nach drei Stellen ist der Rest 0. Bei 2 : 3 = 0,666… bleibt stets der Rest 2, bei 5 : 6 = 0,8333… stets der Rest 2 nach dem ersten Schritt – beide brechen nie ab.
Multiple Choice #4 20s ▶ Testen

Welcher dieser Brüche ergibt einen endlichen Dezimalbruch?

  • ● 3/20
  • ○ 1/6
  • ○ 5/9
20 = 2 · 2 · 5 hat nur die Primfaktoren 2 und 5, also lässt sich 3/20 auf Nenner 100 erweitern: 15/100 = 0,15. 6 = 2 · 3 und 9 = 3 · 3 enthalten den Primfaktor 3 – 1/6 = 0,1666… und 5/9 = 0,555… sind periodisch.
Wahr / Falsch #5 15s ▶ Testen

Der Bruch 3/12 ist ein periodischer Dezimalbruch, weil im Nenner 12 = 2 · 2 · 3 der Primfaktor 3 vorkommt.

✓ Falsch
Man muss zuerst kürzen: 3/12 = 1/4, und 4 = 2 · 2 hat nur den Primfaktor 2. Also ist 3/12 = 0,25 endlich. Die 3 im ungekürzten Nenner ist durch den Zähler 3 weggekürzt.
Multiple Choice #6 20s ▶ Testen

Welcher dieser Brüche ergibt einen periodischen Dezimalbruch?

  • ● 7/15
  • ○ 7/25
  • ○ 7/40
15 = 3 · 5 enthält den Primfaktor 3: 7/15 = 0,4666… ist periodisch. 25 = 5 · 5 und 40 = 2 · 2 · 2 · 5 haben nur die Primfaktoren 2 und 5: 7/25 = 0,28 und 7/40 = 0,175 sind endlich.
Multiple Choice #7 20s ▶ Testen

Welcher Bruch ist 0,777… (die 7 wiederholt sich immer weiter)?

  • ● 7/9
  • ○ 7/10
  • ○ 7/7
Eine wiederholte Ziffer d ist d Neuntel: 1/9 = 0,111…, also 0,777… = 7/9. 7/10 wäre 0,7 (endlich), und 7/7 ist genau 1.
Wahr / Falsch #8 15s ▶ Testen

0,999… (die 9 wiederholt sich immer weiter) ist genau so groß wie 1.

✓ Wahr
Eine wiederholte 9 ist 9/9 = 1. 0,999… und 1 sind zwei Schreibweisen derselben Zahl – zwischen ihnen liegt keine weitere Zahl, die man noch ergänzen könnte.
Multiple Choice #9 20s ▶ Testen

Der Streifen zeigt 4/9. Welcher Dezimalbruch gehört zu 4/9?

  • ● 0,444… (die 4 wiederholt sich immer weiter)
  • ○ 0,49 (nach zwei Stellen ist Schluss)
  • ○ 0,4 (nach einer Stelle ist Schluss)
4/9 = 4 : 9 = 0,444…: der Rest 4 kehrt zurück, und die 4 wiederholt sich. 0,49 und 0,4 sind endlich und damit andere Zahlen.
Mittel
Zahleneingabe #1 30s ▶ Testen

Bei 1 : 6 folgt nach dem Komma der Schritt 10 : 6. Welcher Rest bleibt?

✓ Antwort: 4
10 : 6 = 1 (denn 6 · 1 = 6), und 10 − 6 = 4: Der Rest ist 4.
Zahleneingabe #2 30s ▶ Testen

Kürze 6/15 vollständig. Welche Zahl steht im Nenner des gekürzten Bruchs?

✓ Antwort: 5
6/15 = 2/5 (durch 3 gekürzt). Der gekürzte Nenner 5 hat nur den Primfaktor 5: Der Dezimalbruch ist endlich, 0,4.
Zahleneingabe #3 30s ▶ Testen

Schreibe 0,666… als vollständig gekürzten Bruch 2/?. Welche Zahl gehört in den Nenner?

✓ Antwort: 3
0,666… = 6/9, und 6/9 = 2/3 (durch 3 gekürzt). Der Nenner ist 3.
Schwer
Zahleneingabe #1 30s ▶ Testen

Die Division 2 : 3 wird fortgesetzt. Welche Ziffer steht an der 10. Stelle nach dem Komma?

✓ Antwort: 6
In jedem Schritt steht 20 : 3 = 6 mit dem Rest 2 – der Rest kehrt zurück, also ist jede Nachkommastelle eine 6: 0,666666666666… Die 10. Stelle ist eine 6.
Zahleneingabe #2 30s ▶ Testen

Unter den Brüchen 1/2, 1/3, 1/4, 1/5, 1/6, 1/7, 1/8, 1/9 und 1/10: Wie viele ergeben einen endlichen Dezimalbruch?

✓ Antwort: 5
Endlich sind die Nenner 2, 4, 5, 8 und 10 (nur die Primfaktoren 2 und 5): 1/2, 1/4, 1/5, 1/8, 1/10. Periodisch sind 1/3, 1/6, 1/7 und 1/9 – also 5 endliche Brüche.
KI-bewertete Rechnung #3 240s ▶ Testen

Entscheide für 7/40 und für 5/12, ob der Dezimalbruch endlich oder periodisch ist. Zerlege dazu jeweils den Nenner in Primfaktoren (prüfe zuerst, ob man kürzen kann). Gib bei dem endlichen Bruch den Dezimalbruch an und rechne ihn auf einem der beiden Wege nach. Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.

✓ Antwort: 7/40: nicht kürzbar; 40 = 2 · 2 · 2 · 5 hat nur die Primfaktoren 2 und 5 – endlich. Erweitern auf 1000: 7/40 = 175/1000 = 0,175 (40 · 25 = 1000). Kontrolle: 7 : 40 = 0,175. 5/12: nicht kürzbar (5 und 12 sind teilerfremd); 12 = 2 · 2 · 3 enthält den Primfaktor 3 – periodisch (5 : 12 = 0,41666…).
7/40: 40 = 2³ · 5 – endlich, 7/40 = 175/1000 = 0,175. 5/12: 12 = 2² · 3, nicht kürzbar – wegen der 3 periodisch, 0,41666…
Zahleneingabe #4 30s ▶ Testen

Berechne 0,444… + 0,555… (jeweils mit sich wiederholender Ziffer). Gib das Ergebnis als Dezimalbruch ein.

✓ Antwort: 1
0,444… = 4/9 und 0,555… = 5/9. Die Summe ist 9/9 = 1. (Stellenweise: 0,999… = 1.)