Was der Taschenrechner anzeigt
Der Rechner zeigt 1 : 6 = 0,166666667. Welcher Wert ist der genaue Wert von 1 : 6?
Erklärung: Die Rechnung 1 : 6 liefert den Rest 4 immer wieder, also wiederholt sich die 6. Die Anzeige hat nur 9 Nachkommastellen und rundet die letzte: Aus der nächsten 6 wird die 7. 0,17 wäre noch gröber gerundet.
Bei 2 : 3 zeigt der Rechner 0,666666667. Die letzte 7 gehört zur echten Ziffernfolge von 2/3.
Erklärung: Der genaue Wert ist 0,666… mit lauter 6en. Die letzte 7 entsteht nur, weil die Anzeige nach neun Stellen rundet: Die nächste Ziffer ist eine 6, also wird aufgerundet.
Der genaue Wert von 5 : 6 ist 0,8333… (die 3 wiederholt sich). Was zeigt ein Rechner mit 9 Nachkommastellen an?
Erklärung: Nach der 9. Stelle folgt wieder eine 3 – die Nachbarziffer ist kleiner als 5, also wird abgerundet: 0,833333333. 0,833333334 würde aufrunden, 0,833333330 hängt eine Null an.
Der genaue Wert von 1 : 6 ist 0,1666… Runde ihn auf 5 Nachkommastellen.
Erklärung: Die 5. Stelle ist eine 6, die Nachbarziffer dahinter ebenfalls 6 – also wird aufgerundet: 0,16667.
Der genaue Wert von 7/9 ist 0,777… Was zeigt ein Rechner an, der auf 3 Nachkommastellen rundet?
Erklärung: Die Nachbarziffer hinter der 3. Stelle ist eine 7, also wird aufgerundet: 0,777… ≈ 0,778.
Der Rechner zeigt 1 : 7 = 0,142857143. Welcher Dezimalbruch ist der genaue Wert von 1 : 7?
Erklärung: 1 : 7 hat den Nenner 7 – periodisch. Der Block 142857 wiederholt sich; nach 9 Stellen folgt 8, also rundet die Anzeige die letzte 2 zu 3 auf. 0,142857143 wäre ein endlicher, anderer Wert.
Bei 3 : 8 zeigt der Rechner 0,375. Das ist der genaue Wert von 3/8.
Erklärung: 3/8 = 0,375: Der Nenner 8 = 2 · 2 · 2 hat nur den Primfaktor 2, der Dezimalbruch ist endlich. Die Anzeige bricht nach drei Stellen ab – nichts ist gerundet.
Welche dieser Anzeigen gehört zu einem periodischen Dezimalbruch?
Erklärung: 0,714285714 füllt alle 9 Stellen und wiederholt den Block 714285 (5 : 7). 0,4375 = 7/16 und 0,52 = 13/25 brechen ab – endliche Dezimalbrüche.
Bei 1 : 7 = 0,142857142857… wiederholt sich ein Ziffernblock. Aus wie vielen Ziffern besteht der Block?
Erklärung: Der Block 142857 hat 6 Ziffern, danach beginnt er von vorn: 142857 142857 …
Bei 1 : 7 = 0,142857 142857 … wiederholt sich der Block 142857. Welche Ziffer steht an der 8. Stelle nach dem Komma?
Erklärung: Die 7. Stelle ist die 1 (der Block beginnt von vorn), die 8. Stelle ist die zweite Ziffer des Blocks: 4.
Ein Taschenrechner zeigt 1 : 7 = 0,142857143. Erkläre, was in dieser Anzeige gerundet ist, und gib den genauen Dezimalbruch an (mit dem sich wiederholenden Ziffernblock). Begründe mit der Primfaktorzerlegung des Nenners, dass 1/7 periodisch sein muss.
Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.
Erklärung: Die letzte Stelle der Anzeige ist gerundet; der Block 142857 wiederholt sich. 7 ist ein Primfaktor außer 2 und 5, deshalb ist 1/7 periodisch.
Der Rechner zeigt 1 : 3 = 0,333333333. Was ergibt 3 · 0,333333333 genau?
Erklärung: 3 · 0,333333333 = 0,999999999: Es fehlt ein Milliardstel an der 1, weil die Anzeige die 3en nach neun Stellen abschneidet. Nur 3 · 1/3 ergibt genau 1.
3 · 1/3 = 1 gilt genau, auch wenn der Rechner für 3 · 0,333333333 den Wert 0,999999999 liefert.
Erklärung: Mit dem Bruch bleibt nichts weggeschnitten: 3 · 1/3 = 3/3 = 1. Die Abweichung entsteht erst, wenn man mit der abgebrochenen Dezimalzahl weiterrechnet.
Das Ergebnis von 6 · 1/6 soll genau sein. Wie rechnet man am besten?
Erklärung: Nur mit dem Bruch ist das Ergebnis genau: 6/6 = 1. Die Anzeige 0,166666667 ist aufgerundet (1,000000002), und 0,17 ist noch gröber (1,02).
Berechne genau: 9 · 0,111111111 (neun Nachkommastellen).
Erklärung: 9 · 0,111111111 = 0,999999999. (Mit dem Bruch: 9 · 1/9 = 1 – der Unterschied entsteht durch die abgebrochene Dezimalzahl.)
Der Rechner zeigt 1 : 7 = 0,142857143. Berechne genau: 7 · 0,142857143.
Erklärung: 7 · 0,142857143 = 1,000000001. Die Anzeige war aufgerundet (die 3 am Ende), deshalb liegt das Ergebnis knapp über 1. Mit dem Bruch: 7 · 1/7 = 1 genau.