Was der Taschenrechner anzeigt

What the calculator shows

Mathematik Klasse 6 16 Aufgaben
DezimalzahlenTaschenrechnerRundenPeriodisch

Ein Taschenrechner hat nur Platz für neun oder zehn Stellen und rundet die letzte: Bei 1 : 6 zeigt er 0,166666667, obwohl der genaue Wert 0,1666… periodisch ist. Die Station macht die Anzeige lesbar: Sie erkennt gerundete Endziffern, einen sich wiederholenden Ziffernblock als Hinweis auf einen periodischen Bruch (1 : 7 = 0,142857143) und rechnet mit dem Bruch weiter, wenn es genau sein soll (3 · 1/3 = 1, aber 3 · 0,333333333 = 0,999999999). Sie räumt aus, die Anzeige für den genauen Wert zu halten. Sie bereitet das Rechnen mit gerundeten Werten und Überschlägen vor.

Der Rechner zeigt bei 1 : 6 die Anzeige 0,166666667. Stimmt das? Diese Anzeige hat nur Platz für 9 Nachkommastellen und rundet die letzte: Der genaue Wert ist 0,1666… mit der Periode 6, und weil die nächste Ziffer wieder eine 6 ist, wird aus der letzten 6 eine 7. Ebenso ergibt 2 : 3 die Anzeige 0,666666667, aber 1 : 3 zeigt 0,333333333 (die nächste Ziffer ist eine 3, also wird abgerundet).

Füllen die Ziffern die ganze Anzeige und beginnt sich ein Ziffernblock zu wiederholen, ist der Bruch periodisch: Bei 5 : 7 zeigt der Rechner 0,714285714 – der Block 714285 beginnt von vorn. Genauso bei 1 : 7 = 0,142857143: Der Block 142857 wiederholt sich, nur die letzte Ziffer ist gerundet. Ein endlicher Dezimalbruch wie 3 : 8 = 0,375 bricht dagegen ab.

Rechnet man mit der Anzeige weiter, summieren sich die Rundungen:

Soll das Ergebnis genau sein, rechnet man mit dem Bruch. Im Alltag genügen gerundete Werte meist; beim Vergleich sehr ähnlicher Zahlen oder beim Weiterrechnen nicht. Merke: Die Anzeige ist ein Näherungswert, der Bruch ist der genaue Wert.

Wähle den Nenner n. Woran erkennst du, ob die Anzeige von 1 : n abbricht oder sich wiederholt?

Voraussetzungen (2)

Dezimalbrüche runden
Klasse 6
›
Endlich oder periodisch?
Klasse 6
›
Leicht
Multiple Choice #1 20s ▶ Testen

Der Rechner zeigt 1 : 6 = 0,166666667. Welcher Wert ist der genaue Wert von 1 : 6?

  • ● 0,1666… (die 6 wiederholt sich immer weiter)
  • ○ 0,166666667 (genau neun Stellen, dann Schluss)
  • ○ 0,17 (auf Hundertstel gerundet)
Die Rechnung 1 : 6 liefert den Rest 4 immer wieder, also wiederholt sich die 6. Die Anzeige hat nur 9 Nachkommastellen und rundet die letzte: Aus der nächsten 6 wird die 7. 0,17 wäre noch gröber gerundet.
Wahr / Falsch #2 15s ▶ Testen

Bei 2 : 3 zeigt der Rechner 0,666666667. Die letzte 7 gehört zur echten Ziffernfolge von 2/3.

✓ Falsch
Der genaue Wert ist 0,666… mit lauter 6en. Die letzte 7 entsteht nur, weil die Anzeige nach neun Stellen rundet: Die nächste Ziffer ist eine 6, also wird aufgerundet.
Multiple Choice #3 20s ▶ Testen

Der genaue Wert von 5 : 6 ist 0,8333… (die 3 wiederholt sich). Was zeigt ein Rechner mit 9 Nachkommastellen an?

  • ● 0,833333333
  • ○ 0,833333334
  • ○ 0,833333330
Nach der 9. Stelle folgt wieder eine 3 – die Nachbarziffer ist kleiner als 5, also wird abgerundet: 0,833333333. 0,833333334 würde aufrunden, 0,833333330 hängt eine Null an.
Multiple Choice #4 20s ▶ Testen

Der Rechner zeigt 1 : 7 = 0,142857143. Welcher Dezimalbruch ist der genaue Wert von 1 : 7?

  • ● 0,142857142857… (der Block 142857 wiederholt sich)
  • ○ 0,142857143 (genau neun Stellen, dann Schluss)
  • ○ 0,1428571 (genau sieben Stellen, dann Schluss)
1 : 7 hat den Nenner 7 – periodisch. Der Block 142857 wiederholt sich; nach 9 Stellen folgt 8, also rundet die Anzeige die letzte 2 zu 3 auf. 0,142857143 wäre ein endlicher, anderer Wert.
Wahr / Falsch #5 15s ▶ Testen

Bei 3 : 8 zeigt der Rechner 0,375. Das ist der genaue Wert von 3/8.

✓ Wahr
3/8 = 0,375: Der Nenner 8 = 2 · 2 · 2 hat nur den Primfaktor 2, der Dezimalbruch ist endlich. Die Anzeige bricht nach drei Stellen ab – nichts ist gerundet.
Multiple Choice #6 20s ▶ Testen

Welche dieser Anzeigen gehört zu einem periodischen Dezimalbruch?

  • ● 0,714285714
  • ○ 0,4375
  • ○ 0,52
0,714285714 füllt alle 9 Stellen und wiederholt den Block 714285 (5 : 7). 0,4375 = 7/16 und 0,52 = 13/25 brechen ab – endliche Dezimalbrüche.
Multiple Choice #7 20s ▶ Testen

Der Rechner zeigt 1 : 3 = 0,333333333. Was ergibt 3 · 0,333333333 genau?

  • ● 0,999999999
  • ○ 1
  • ○ 0,333333333
3 · 0,333333333 = 0,999999999: Es fehlt ein Milliardstel an der 1, weil die Anzeige die 3en nach neun Stellen abschneidet. Nur 3 · 1/3 ergibt genau 1.
Wahr / Falsch #8 15s ▶ Testen

3 · 1/3 = 1 gilt genau, auch wenn der Rechner für 3 · 0,333333333 den Wert 0,999999999 liefert.

✓ Wahr
Mit dem Bruch bleibt nichts weggeschnitten: 3 · 1/3 = 3/3 = 1. Die Abweichung entsteht erst, wenn man mit der abgebrochenen Dezimalzahl weiterrechnet.
Multiple Choice #9 20s ▶ Testen

Das Ergebnis von 6 · 1/6 soll genau sein. Wie rechnet man am besten?

  • ● mit dem Bruch: 6 · 1/6 = 6/6 = 1
  • ○ mit der Anzeige: 6 · 0,166666667 = 1,000000002
  • ○ mit 0,17: 6 · 0,17 = 1,02
Nur mit dem Bruch ist das Ergebnis genau: 6/6 = 1. Die Anzeige 0,166666667 ist aufgerundet (1,000000002), und 0,17 ist noch gröber (1,02).
Mittel
Zahleneingabe #1 30s ▶ Testen

Der genaue Wert von 1 : 6 ist 0,1666… Runde ihn auf 5 Nachkommastellen.

✓ Antwort: 0.16667
Die 5. Stelle ist eine 6, die Nachbarziffer dahinter ebenfalls 6 – also wird aufgerundet: 0,16667.
Zahleneingabe #2 30s ▶ Testen

Bei 1 : 7 = 0,142857142857… wiederholt sich ein Ziffernblock. Aus wie vielen Ziffern besteht der Block?

✓ Antwort: 6
Der Block 142857 hat 6 Ziffern, danach beginnt er von vorn: 142857 142857 …
Zahleneingabe #3 30s ▶ Testen

Berechne genau: 9 · 0,111111111 (neun Nachkommastellen).

✓ Antwort: 0.999999999
9 · 0,111111111 = 0,999999999. (Mit dem Bruch: 9 · 1/9 = 1 – der Unterschied entsteht durch die abgebrochene Dezimalzahl.)
Schwer
Zahleneingabe #1 30s ▶ Testen

Der genaue Wert von 7/9 ist 0,777… Was zeigt ein Rechner an, der auf 3 Nachkommastellen rundet?

✓ Antwort: 0.778
Die Nachbarziffer hinter der 3. Stelle ist eine 7, also wird aufgerundet: 0,777… ≈ 0,778.
Zahleneingabe #2 30s ▶ Testen

Bei 1 : 7 = 0,142857 142857 … wiederholt sich der Block 142857. Welche Ziffer steht an der 8. Stelle nach dem Komma?

✓ Antwort: 4
Die 7. Stelle ist die 1 (der Block beginnt von vorn), die 8. Stelle ist die zweite Ziffer des Blocks: 4.
KI-bewertete Rechnung #3 240s ▶ Testen

Ein Taschenrechner zeigt 1 : 7 = 0,142857143. Erkläre, was in dieser Anzeige gerundet ist, und gib den genauen Dezimalbruch an (mit dem sich wiederholenden Ziffernblock). Begründe mit der Primfaktorzerlegung des Nenners, dass 1/7 periodisch sein muss. Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.

✓ Antwort: Genau: 1/7 = 0,142857 142857 … mit dem Block 142857 (Periodenlänge 6). Die Anzeige hat 9 Nachkommastellen: 0,142857142 und danach folgt die Ziffer 8 – die Nachbarziffer ist mindestens 5, also wird die letzte 2 zu 3 aufgerundet. Der Nenner 7 ist selbst eine Primzahl und enthält keinen der Primfaktoren 2 oder 5; 1/7 lässt sich nicht auf Nenner 10, 100, 1000 … erweitern, also ist der Dezimalbruch periodisch.
Die letzte Stelle der Anzeige ist gerundet; der Block 142857 wiederholt sich. 7 ist ein Primfaktor außer 2 und 5, deshalb ist 1/7 periodisch.
Zahleneingabe #4 30s ▶ Testen

Der Rechner zeigt 1 : 7 = 0,142857143. Berechne genau: 7 · 0,142857143.

✓ Antwort: 1.000000001
7 · 0,142857143 = 1,000000001. Die Anzeige war aufgerundet (die 3 am Ende), deshalb liegt das Ergebnis knapp über 1. Mit dem Bruch: 7 · 1/7 = 1 genau.