Welcher Term stimmt mit 2ˣ überein?

Erklärung: 2 = e^(ln 2), also 2ˣ = (e^(ln 2))ˣ = e^(x · ln 2). Bei e^(2x) steht die 2 fälschlich als Faktor im Exponenten (für x = 1 wäre das e² ≈ 7,39 statt 2), und 2 · eˣ ist ein Vielfaches, keine Potenz mit Basis 2.

Es gilt 4ˣ = e^(4x).

Erklärung: Für x = 1 wäre 4¹ = 4, aber e⁴ ≈ 54,6. Richtig ist 4ˣ = e^(x · ln 4) = e^(1,386x). Der Exponent ist ln 4, nicht 4.

Es gilt 3ˣ = e^(k·x). Berechne k auf 0,01 genau.

Erklärung: k = ln 3 ≈ 1,0986 ≈ 1,10. Probe: e^1,0986 = 3.

Schreibe f(x) = 5ˣ als e^(k·x). Bei x = 0 hat e^(k·x) die Tangentensteigung k. Wie steil ist der Graph von f im Punkt P(0 | 1) (auf 0,01 genau)?

Erklärung: 5ˣ = e^(x · ln 5), also k = ln 5 ≈ 1,61. Der Graph ist im Punkt (0 | 1) mit der Steigung 1,61 steiler als eˣ (Steigung 1).

Es gilt (1/2)ˣ = e^(k·x). Welchen Wert hat k?

Erklärung: k = ln(1/2) = −ln 2 ≈ −0,69. Die Basis ist kleiner als 1, der Graph fällt, also ist k negativ. „−0,5“ nimmt den Wert der Basis statt ihres Logarithmus.

Für a = 0,8 ist k = ln a negativ.

Erklärung: Ein Wert zwischen 0 und 1 hat einen negativen Logarithmus: ln 0,8 ≈ −0,22. Der Bestand nimmt ab, k ist negativ.

Berechne k = ln 0,5 auf 0,01 genau.

Erklärung: ln 0,5 = −ln 2 ≈ −0,69.

Ein Medikament wird nach N(t) = 100 · 0,8^t abgebaut (t in Stunden). Schreibe N(t) = 100 · e^(k·t) und gib k auf 0,01 genau an.

Erklärung: k = ln 0,8 ≈ −0,2231 ≈ −0,22. Negatives k: Abklingen. Pro Stunde bleiben 80 % übrig (e^(−0,2231) = 0,8).

Ein Stoff hat die Halbwertszeit 5 Tage. Er zerfällt nach N(t) = N₀ · e^(k·t). Welches k passt?

Erklärung: Nach T = 5 Tagen ist der Bestand halb: e^(5k) = 1/2 ⇒ 5k = −ln 2 ⇒ k = −ln 2 / 5. „−0,2“ setzt k = −1/T, „−7,21“ kehrt den Bruch um.

Der Graph zeigt einen Bestand N(t) mit Startwert 80 (t in Tagen). Bei welchem t schneidet er die gestrichelte Höhe 40, die Hälfte des Startwerts?

Erklärung: Die gestrichelte Höhe 40 ist die Hälfte von N(0) = 80. Der Graph erreicht sie bei t = 3, also ist die Halbwertszeit 3 Tage. Nach 6 Tagen sind nur noch 20 übrig.

Nach zwei Halbwertszeiten ist der Stoff vollständig zerfallen.

Erklärung: Nach jeder Halbwertszeit bleibt die Hälfte des Restbestands: nach T noch 50 %, nach 2T noch 25 %, nach 3T noch 12,5 %. Ganz null wird der Bestand nie.

Ein Stoff hat die Halbwertszeit 10 Tage. Berechne k in N(t) = N₀ · e^(k·t) auf 0,001 genau.

Erklärung: e^(10k) = 1/2 ⇒ k = −ln 2 / 10 ≈ −0,0693 ≈ −0,069.

Cäsium-137 hat die Halbwertszeit 30 Jahre. Wie viel Prozent der ursprünglichen Menge sind nach 90 Jahren noch da?

Erklärung: 90 Jahre sind drei Halbwertszeiten: 100 % → 50 % → 25 % → 12,5 %. Mit k = −ln 2 / 30 gilt ebenso e^(k · 90) = e^(−3 ln 2) = 1/8.

Von einem Stoff sind zu Beginn 80 mg vorhanden, seine Halbwertszeit beträgt 3 Tage. Stelle N(t) = 80 · e^(k·t) auf (t in Tagen), bestimme k, berechne N(10) und gib an, wann nur noch 10 mg übrig sind. Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.

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Erklärung: Aus der Halbwertszeit folgt e^(3k) = 1/2 und damit k = −ln 2 / 3. N(10) = 80 · 2^(−10/3) ≈ 7,94 mg. Für 10 mg = 80/8 brauchen wir drei Halbwertszeiten, also 9 Tage.

Ein Bestand wächst jährlich um 5 %. Welcher Term beschreibt ihn als e-Funktion (t in Jahren)?

Erklärung: Der Faktor pro Jahr ist 1,05, also N₀ · 1,05^t = N₀ · e^(t · ln 1,05) mit k = ln 1,05 ≈ 0,0488. „0,05“ setzt die Wachstumsrate 5 % gleich k, „1,05“ den Faktor gleich k.

Ein Bestand wächst nach N(t) = N₀ · e^(0,03 t). Er wächst dann pro Zeiteinheit um etwas mehr als 3 %.

Erklärung: Der Faktor pro Zeiteinheit ist e^0,03 ≈ 1,0305, also 3,05 % Wachstum, nicht genau 3 %. Erst für kleine k stimmen k und Prozentsatz näherungsweise überein.

Es gilt 1,05^t = e^(k·t). Berechne k auf drei Nachkommastellen genau.

Erklärung: k = ln 1,05 ≈ 0,0488 ≈ 0,049.

Ein Bestand wächst nach N(t) = 500 · e^(0,04t) (t in Jahren). Um wie viel Prozent wächst er pro Jahr (auf 0,01 Prozent genau)?

Erklärung: Wachstumsfaktor pro Jahr: e^0,04 ≈ 1,0408, also +4,08 %. Das ist etwas mehr als die 4 % in k = 0,04.

Aufgabe 1 von 18