aˣ auf eˣ zurückführen

Rewriting aˣ with base e

Mathematik Klasse 12 18 Aufgaben

AnalysisExponentiellNatürlicher LogarithmusWachstumsmodelle

Jede Exponentialfunktion aˣ lässt sich als e^(kx) mit k = ln a schreiben: 2ˣ = e^(0,693x). Das Vorzeichen von k entscheidet über Wachstum (k > 0) oder Abklingen (k < 0). Aus der Halbwertszeit T folgt k = −ln 2 / T, aus einem Wachstum von p % pro Zeiteinheit k = ln(1 + p/100). Der Abschnitt räumt aus, dass 4ˣ = e^(4x) gelte, dass k gleich dem Prozentsatz sei und dass nach zwei Halbwertszeiten nichts mehr übrig sei (Confrey und Smith 1994: Wachstum als wiederholtes Multiplizieren). Er bereitet die Modellierung von Wachstum und Abklingen im Sachkontext im Folgekurs vor.

Von aˣ zu e^(kx)

Jede Basis $a > 0$ lässt sich als Potenz von e schreiben: $a = e^{l n a}$ . Damit ist

$a^{x} = (e^{l n a})^{x} = e^{k x} mit k = ln a$

Zum Beispiel $1 0^{x} = e^{2, 303 x}$ . Der Graph von $e^{k x}$ ist der von eˣ, in x-Richtung mit dem Faktor 1/k gestreckt (für k > 1 also gestaucht); im Punkt (0 | 1) hat er deshalb die Steigung k. Das ist der Faktor vom Anfang, Steigung durch Funktionswert: 0,69 für a = 2, 1,10 für a = 3, und für a = 10 wären es 2,30. Für $a < 1$ ist ln a negativ und der Graph fällt (Abklingen); für a > 1 wächst er.

Stelle a ein und suche das k, bei dem sich beide Kurven decken. Was fällt an k und der Steigung bei 0 auf?

Halbwertszeit

Ein zerfallender Bestand halbiert sich in gleichen Zeitabständen T, der Halbwertszeit: $N (t) = N_{0} \cdot (\frac{1}{2})^{t / T}$ . In der e-Form $N (t) = N_{0} e^{k t}$ heißt das $e^{k T} = \frac{1}{2}$ , also

$k = - \frac{ln 2}{T}$

Bei T = 6 Tagen ist k ≈ −0,116. Nach 2T bleibt ein Viertel, nach 3T ein Achtel: Der Bestand wird nie null; nach 12 Tagen sind es noch 25 % der Startmenge. Für die Verdopplungszeit gilt entsprechend $k = \frac{l n 2}{T}$ .

Verändere T. Welche Werte liest du bei t = T, 2T und 3T ab?

Prozent pro Zeiteinheit

Wächst ein Bestand pro Jahr um p %, so ist der Faktor $a = 1 + \frac{p}{100}$ und $k = ln a$ . Bei 8 % ist $a = 1, 08$ und $k = ln 1, 08 \approx 0, 0770$ , nicht 0,08. Umgekehrt wächst $e^{k t}$ pro Zeiteinheit um den Faktor $e^{k}$ , also um $(e^{k} - 1) \cdot 100 %$ : Bei k = 0,10 sind das 10,52 %. Für kleine k liegen k und der Prozentsatz nah beieinander, gleich sind sie nie.

Voraussetzungen (1)

Gleichungen mit ln

Klasse 12

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Leicht

Multiple Choice #1 30s ▶ Testen

Welcher Term stimmt mit 2ˣ überein?

● e^(x · ln 2)
○ e^(2x)
○ 2 · eˣ

2 = e^(ln 2), also 2ˣ = (e^(ln 2))ˣ = e^(x · ln 2). Bei e^(2x) steht die 2 fälschlich als Faktor im Exponenten (für x = 1 wäre das e² ≈ 7,39 statt 2), und 2 · eˣ ist ein Vielfaches, keine Potenz mit Basis 2.

Wahr / Falsch #2 15s ▶ Testen

Es gilt 4ˣ = e^(4x).

✓ Falsch

Für x = 1 wäre 4¹ = 4, aber e⁴ ≈ 54,6. Richtig ist 4ˣ = e^(x · ln 4) = e^(1,386x). Der Exponent ist ln 4, nicht 4.

Multiple Choice #3 30s ▶ Testen

Es gilt (1/2)ˣ = e^(k·x). Welchen Wert hat k?

● k = −0,69
○ k = 0,69
○ k = −0,5

k = ln(1/2) = −ln 2 ≈ −0,69. Die Basis ist kleiner als 1, der Graph fällt, also ist k negativ. „−0,5“ nimmt den Wert der Basis statt ihres Logarithmus.

Wahr / Falsch #4 15s ▶ Testen

Für a = 0,8 ist k = ln a negativ.

✓ Wahr

Ein Wert zwischen 0 und 1 hat einen negativen Logarithmus: ln 0,8 ≈ −0,22. Der Bestand nimmt ab, k ist negativ.

Multiple Choice #5 35s ▶ Testen

Ein Stoff hat die Halbwertszeit 5 Tage. Er zerfällt nach N(t) = N₀ · e^(k·t). Welches k passt?

● k = −ln 2 / 5 ≈ −0,139
○ k = −1/5 = −0,2
○ k = −5 / ln 2 ≈ −7,21

Nach T = 5 Tagen ist der Bestand halb: e^(5k) = 1/2 ⇒ 5k = −ln 2 ⇒ k = −ln 2 / 5. „−0,2“ setzt k = −1/T, „−7,21“ kehrt den Bruch um.

Multiple Choice #6 30s ▶ Testen

Der Graph zeigt einen Bestand N(t) mit Startwert 80 (t in Tagen). Bei welchem t schneidet er die gestrichelte Höhe 40, die Hälfte des Startwerts?

● 3 Tage
○ 6 Tage
○ 1,5 Tage

Die gestrichelte Höhe 40 ist die Hälfte von N(0) = 80. Der Graph erreicht sie bei t = 3, also ist die Halbwertszeit 3 Tage. Nach 6 Tagen sind nur noch 20 übrig.

Wahr / Falsch #7 15s ▶ Testen

Nach zwei Halbwertszeiten ist der Stoff vollständig zerfallen.

✓ Falsch

Nach jeder Halbwertszeit bleibt die Hälfte des Restbestands: nach T noch 50 %, nach 2T noch 25 %, nach 3T noch 12,5 %. Ganz null wird der Bestand nie.

Multiple Choice #8 35s ▶ Testen

Ein Bestand wächst jährlich um 5 %. Welcher Term beschreibt ihn als e-Funktion (t in Jahren)?

● N(t) = N₀ · e^(0,0488 t)
○ N(t) = N₀ · e^(0,05 t)
○ N(t) = N₀ · e^(1,05 t)

Der Faktor pro Jahr ist 1,05, also N₀ · 1,05^t = N₀ · e^(t · ln 1,05) mit k = ln 1,05 ≈ 0,0488. „0,05“ setzt die Wachstumsrate 5 % gleich k, „1,05“ den Faktor gleich k.

Wahr / Falsch #9 15s ▶ Testen

Ein Bestand wächst nach N(t) = N₀ · e^(0,03 t). Er wächst dann pro Zeiteinheit um etwas mehr als 3 %.

✓ Wahr

Der Faktor pro Zeiteinheit ist e^0,03 ≈ 1,0305, also 3,05 % Wachstum, nicht genau 3 %. Erst für kleine k stimmen k und Prozentsatz näherungsweise überein.

Mittel

Zahleneingabe #1 20s ▶ Testen

Es gilt 3ˣ = e^(k·x). Berechne k auf 0,01 genau.

✓ Antwort: 1.0986

k = ln 3 ≈ 1,0986 ≈ 1,10. Probe: e^1,0986 = 3.

Zahleneingabe #2 15s ▶ Testen

Berechne k = ln 0,5 auf 0,01 genau.

✓ Antwort: -0.6931

ln 0,5 = −ln 2 ≈ −0,69.

Zahleneingabe #3 30s ▶ Testen

Ein Stoff hat die Halbwertszeit 10 Tage. Berechne k in N(t) = N₀ · e^(k·t) auf 0,001 genau.

✓ Antwort: -0.0693

e^(10k) = 1/2 ⇒ k = −ln 2 / 10 ≈ −0,0693 ≈ −0,069.

Zahleneingabe #4 20s ▶ Testen

Es gilt 1,05^t = e^(k·t). Berechne k auf drei Nachkommastellen genau.

✓ Antwort: 0.0488

k = ln 1,05 ≈ 0,0488 ≈ 0,049.

Schwer

Zahleneingabe #1 35s ▶ Testen

Schreibe f(x) = 5ˣ als e^(k·x). Bei x = 0 hat e^(k·x) die Tangentensteigung k. Wie steil ist der Graph von f im Punkt P(0 | 1) (auf 0,01 genau)?

✓ Antwort: 1.6094

5ˣ = e^(x · ln 5), also k = ln 5 ≈ 1,61. Der Graph ist im Punkt (0 | 1) mit der Steigung 1,61 steiler als eˣ (Steigung 1).

Zahleneingabe #2 35s ▶ Testen

Ein Medikament wird nach N(t) = 100 · 0,8^t abgebaut (t in Stunden). Schreibe N(t) = 100 · e^(k·t) und gib k auf 0,01 genau an.

✓ Antwort: -0.2231

k = ln 0,8 ≈ −0,2231 ≈ −0,22. Negatives k: Abklingen. Pro Stunde bleiben 80 % übrig (e^(−0,2231) = 0,8).

Zahleneingabe #3 30s ▶ Testen

Cäsium-137 hat die Halbwertszeit 30 Jahre. Wie viel Prozent der ursprünglichen Menge sind nach 90 Jahren noch da?

✓ Antwort: 12.5

90 Jahre sind drei Halbwertszeiten: 100 % → 50 % → 25 % → 12,5 %. Mit k = −ln 2 / 30 gilt ebenso e^(k · 90) = e^(−3 ln 2) = 1/8.

KI-bewertete Rechnung #4 240s ▶ Testen

Von einem Stoff sind zu Beginn 80 mg vorhanden, seine Halbwertszeit beträgt 3 Tage. Stelle N(t) = 80 · e^(k·t) auf (t in Tagen), bestimme k, berechne N(10) und gib an, wann nur noch 10 mg übrig sind. Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.

✓ Antwort: Bedingung: N(3) = 40 ⇒ e^(3k) = 1/2 ⇒ k = −ln 2 / 3 ≈ −0,231. N(10) = 80 · e^(−0,231 · 10) ≈ 7,94 mg. 10 mg: e^(kt) = 1/8 ⇒ t = ln(1/8) / k = −3 ln 2 / (−ln 2 / 3) = 9 Tage (drei Halbierungen 80 → 40 → 20 → 10).

Aus der Halbwertszeit folgt e^(3k) = 1/2 und damit k = −ln 2 / 3. N(10) = 80 · 2^(−10/3) ≈ 7,94 mg. Für 10 mg = 80/8 brauchen wir drei Halbwertszeiten, also 9 Tage.

Zahleneingabe #5 40s ▶ Testen

Ein Bestand wächst nach N(t) = 500 · e^(0,04t) (t in Jahren). Um wie viel Prozent wächst er pro Jahr (auf 0,01 Prozent genau)?

✓ Antwort: 4.08

Wachstumsfaktor pro Jahr: e^0,04 ≈ 1,0408, also +4,08 %. Das ist etwas mehr als die 4 % in k = 0,04.