Die Zahl e
Für f(x) = 2ˣ ist die Tangente an der Stelle x = 1 etwa 1,39 steil. Wie steil ist sie ungefähr an der Stelle x = 2, wo der Funktionswert doppelt so groß ist?
Erklärung: Bei 2ˣ ist die Steigung stets etwa 0,69 mal der Funktionswert. f(2) = 4 ist doppelt so groß wie f(1) = 2, also ist auch die Steigung doppelt so groß: 2 · 1,39 ≈ 2,77. „1,39“ hielte die Steigung konstant, „2,39“ addiert nur 1.
Beim Graphen von f(x) = 2ˣ ist die Tangente an der Stelle x = −1 flacher als an der Stelle x = 1.
Erklärung: Die Steigung ist bei 2ˣ ein fester Bruchteil des Funktionswerts. f(−1) = 0,5 ist kleiner als f(1) = 2, also ist die Tangente bei x = −1 flacher (etwa 0,35 gegen 1,39).
Am Graphen von f(x) = 2ˣ misst man bei x = 3 den Funktionswert 8 und die Tangentensteigung 5,55. Berechne das Verhältnis Steigung : Funktionswert (auf 0,01 genau).
Erklärung: Steigung : Funktionswert = 5,55 : 8 ≈ 0,69. An jeder anderen Stelle von 2ˣ ergibt sich dasselbe Verhältnis, nur die beiden Werte ändern sich.
Für f(x) = 3ˣ gilt f′(x) ≈ 1,10 · f(x). Wie steil ist der Graph an der Stelle x = 2 (auf 0,1 genau)?
Erklärung: f(2) = 3² = 9, also f′(2) ≈ 1,10 · 9 = 9,9. Die Steigung ist hier fast so groß wie der Funktionswert selbst.
Man misst die Tangentensteigung von aˣ im Punkt (0 | 1): a = 2 gibt 0,69; a = 2,5 gibt 0,92; a = 2,7 gibt 0,99; a = 3 gibt 1,10. Welche Basis kommt der Steigung 1 am nächsten?
Erklärung: Der Abstand zu 1 ist bei a = 2,7 nur 0,01, bei a = 3 dagegen 0,10 und bei a = 2,5 gleich 0,08. Die Basis mit genau der Steigung 1 ist e ≈ 2,718 — sie liegt bei 2,7.
Für die Basis a = 3 ist die Tangente im Punkt (0 | 1) steiler als die Gerade y = x + 1.
Erklärung: Die Gerade y = x + 1 hat die Steigung 1. Bei a = 3 misst man im Punkt (0 | 1) die Steigung 1,10 — größer als 1. Erst bei a = e ≈ 2,718 stimmt die Tangente mit der Geraden überein.
Die Zahl e ist die Basis, bei der die Tangente im Punkt (0 | 1) die Steigung 1 hat. Gib e auf zwei Nachkommastellen genau an.
Erklärung: e = 2,71828… ; auf zwei Nachkommastellen gerundet 2,72.
Bei a = 2,7 misst man f′(0) = 0,99, bei a = 2,8 misst man f′(0) = 1,03. Bei welchem a ergibt sich f′(0) = 1, wenn du zwischen den beiden Werten linear interpolierst (auf 0,01 genau)?
Erklärung: Von a = 2,7 nach 2,8 wächst die Steigung um 0,04. Bis 1 fehlen 0,01, das ist ein Viertel: a ≈ 2,7 + 0,25 · 0,1 = 2,725, also etwa 2,72 bis 2,73 — nah an e ≈ 2,718.
Wie lautet die Ableitung von f(x) = eˣ?
Erklärung: Bei eˣ ist die Steigung an jeder Stelle gleich dem Funktionswert: f′(x) = eˣ. Die Potenzregel gilt nur für x im Grundterm (xⁿ), nicht für x im Exponenten; und e allein wäre eine Konstante.
P liegt auf dem Graphen von f(x) = eˣ bei x = 2. Wie steil ist die Tangente in P (auf 0,01 genau)?
Erklärung: Steigung = Funktionswert: f′(2) = f(2) = e² ≈ 7,39. Die Zahl 5,44 ist 2 · e (die Potenzregel fälschlich auf x im Exponenten angewandt), 2,72 ist e selbst.
Die Ableitung von f(x) = eˣ + 3 ist f′(x) = eˣ + 3.
Erklärung: Die Konstante 3 verschiebt den Graphen nur nach oben und ändert seine Steigung nicht: (eˣ + 3)′ = eˣ. Der Funktionswert eˣ + 3 ist also größer als die Steigung.
Der Graph von f(x) = eˣ hat im Punkt Q die Höhe 5. Wie steil ist die Tangente in Q?
Erklärung: Bei eˣ ist die Steigung gleich der Höhe: f′ = f = 5. Die Steigung 1 gilt nur an der Stelle x = 0, und 2,72 wäre die Steigung in der Höhe e.
Berechne f′(2) für f(x) = eˣ (auf 0,01 genau).
Erklärung: f′(x) = eˣ, also f′(2) = e² ≈ 7,389 ≈ 7,39.
Berechne f′(0) für f(x) = 3eˣ − 2x.
Erklärung: Faktor- und Summenregel: f′(x) = 3 · eˣ − 2. An der Stelle 0 ist e⁰ = 1, also f′(0) = 3 − 2 = 1.
Für f(x) = 2ˣ ist der Differenzenquotient mit Schrittweite h = 0,001 an der Stelle x gleich (2^(x+h) − 2ˣ) / h. Klammere 2ˣ aus, berechne den verbleibenden Faktor und schließe daraus auf die Steigung von f an den Stellen x = 0 und x = 3. Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.
Erklärung: Wegen 2^(x+h) = 2ˣ · 2^h steckt x nur im Faktor 2ˣ; der Rest (2^h − 1)/h ≈ 0,693 ist eine Zahl. Die Steigung ist also immer 0,693 mal der Funktionswert.
Bestimme die Gleichung der Tangente an den Graphen von f(x) = 2eˣ − 3 im Punkt mit x = 0: Berührpunkt, Ableitung, Steigung und Tangentengleichung. Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.
Erklärung: Der Berührpunkt ist (0 | f(0)) = (0 | −1). Die Ableitung 2eˣ liefert an der Stelle 0 die Steigung 2. Punkt-Steigungs-Form: y = 2x + (−1).