Die Zahl e

The number e

Mathematik Klasse 12 16 Aufgaben
AnalysisExponentiellEulersche ZahlAbleitungen

Bei f(x) = aˣ ist die Tangentensteigung an jeder Stelle ein fester Bruchteil des Funktionswerts: 0,69 bei a = 2, 1,10 bei a = 3. Die Basis, bei der dieser Faktor genau 1 ist, heißt e ≈ 2,718; für sie gilt (eˣ)′ = eˣ. Der Abschnitt räumt zwei Fehlvorstellungen aus: Steigung und Höhe seien unabhängig voneinander, und die Potenzregel liefere (eˣ)′ = x·e^(x − 1). Er bereitet Tangenten und Verlauf von eˣ, die Umrechnung von aˣ in e^(kx) (der Faktor ist ln a) sowie Produkt- und Kettenregel im Folgekurs vor.

Steigung und Bestand

Wie steil ist der Graph von ? Die Tangente ist flach, wo der Graph niedrig liegt, und steil, wo er hoch liegt. Im Differenzenquotienten steckt der Funktionswert selbst:

Der Faktor hängt nicht von x ab; für ist er etwa 0,69. Die Steigung von 2ˣ ist also überall etwa 0,69 mal der Funktionswert: bei x = 0 (Höhe 1) rund 0,69, bei x = 4 (Höhe 16) rund 11,1. Bei 3ˣ ist der Faktor 1,10.

Wähle die Basis a und die Stelle x₀. Verdoppelt sich mit dem Funktionswert auch die Steigung?

Die besondere Basis

Jede Basis a hat ihren eigenen Faktor: a = 2 gibt 0,69, a = 3 gibt 1,10. Dazwischen liegt eine Basis mit dem Faktor genau 1, bei ihr ist die Steigung überall gleich dem Funktionswert. Sie heißt Eulersche Zahl e mit ; die Nachkommastellen brechen nie ab. Im Punkt (0 | 1) hat der Graph von eˣ die Steigung 1, seine Tangente ist dort die Gerade .

Verändere die Basis a, bis die Tangente die gestrichelte Gerade y = x + 1 deckt. Bei welchem a passiert das?

Die Ableitung von eˣ

Ist die Steigung überall so groß wie der Funktionswert, dann stimmt die Ableitung mit der Funktion überein:

Bei x = 1 ist der Graph e ≈ 2,72 hoch, und die Tangente ist ebenfalls 2,72 steil. Ein Faktor bleibt beim Ableiten stehen, ein Summand fällt weg: . Vorsicht: Die Potenzregel gilt für die Variable in der Basis. Bei eˣ steht x im Exponenten, deshalb ist die Ableitung nicht .

Bewege den Punkt P mit dem Regler. Vergleiche f(x₀) und f′(x₀): Wann unterscheiden sie sich?

Ermöglicht (2)

Der Graph von eˣ
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Die Grundableitungen
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Leicht
Multiple Choice #1 30s ▶ Testen

Für f(x) = 2ˣ ist die Tangente an der Stelle x = 1 etwa 1,39 steil. Wie steil ist sie ungefähr an der Stelle x = 2, wo der Funktionswert doppelt so groß ist?

  • ● 2,77
  • ○ 1,39
  • ○ 2,39
Bei 2ˣ ist die Steigung stets etwa 0,69 mal der Funktionswert. f(2) = 4 ist doppelt so groß wie f(1) = 2, also ist auch die Steigung doppelt so groß: 2 · 1,39 ≈ 2,77. „1,39“ hielte die Steigung konstant, „2,39“ addiert nur 1.
Wahr / Falsch #2 15s ▶ Testen

Beim Graphen von f(x) = 2ˣ ist die Tangente an der Stelle x = −1 flacher als an der Stelle x = 1.

✓ Wahr
Die Steigung ist bei 2ˣ ein fester Bruchteil des Funktionswerts. f(−1) = 0,5 ist kleiner als f(1) = 2, also ist die Tangente bei x = −1 flacher (etwa 0,35 gegen 1,39).
Multiple Choice #3 30s ▶ Testen

Man misst die Tangentensteigung von aˣ im Punkt (0 | 1): a = 2 gibt 0,69; a = 2,5 gibt 0,92; a = 2,7 gibt 0,99; a = 3 gibt 1,10. Welche Basis kommt der Steigung 1 am nächsten?

  • ● 2,7
  • ○ 3
  • ○ 2,5
Der Abstand zu 1 ist bei a = 2,7 nur 0,01, bei a = 3 dagegen 0,10 und bei a = 2,5 gleich 0,08. Die Basis mit genau der Steigung 1 ist e ≈ 2,718 — sie liegt bei 2,7.
Wahr / Falsch #4 15s ▶ Testen

Für die Basis a = 3 ist die Tangente im Punkt (0 | 1) steiler als die Gerade y = x + 1.

✓ Wahr
Die Gerade y = x + 1 hat die Steigung 1. Bei a = 3 misst man im Punkt (0 | 1) die Steigung 1,10 — größer als 1. Erst bei a = e ≈ 2,718 stimmt die Tangente mit der Geraden überein.
Multiple Choice #5 20s ▶ Testen

Wie lautet die Ableitung von f(x) = eˣ?

  • ● f′(x) = eˣ
  • ○ f′(x) = x · e^(x − 1)
  • ○ f′(x) = e
Bei eˣ ist die Steigung an jeder Stelle gleich dem Funktionswert: f′(x) = eˣ. Die Potenzregel gilt nur für x im Grundterm (xⁿ), nicht für x im Exponenten; und e allein wäre eine Konstante.
Multiple Choice #6 30s ▶ Testen

P liegt auf dem Graphen von f(x) = eˣ bei x = 2. Wie steil ist die Tangente in P (auf 0,01 genau)?

  • ● 7,39
  • ○ 5,44
  • ○ 2,72
Steigung = Funktionswert: f′(2) = f(2) = e² ≈ 7,39. Die Zahl 5,44 ist 2 · e (die Potenzregel fälschlich auf x im Exponenten angewandt), 2,72 ist e selbst.
Wahr / Falsch #7 15s ▶ Testen

Die Ableitung von f(x) = eˣ + 3 ist f′(x) = eˣ + 3.

✓ Falsch
Die Konstante 3 verschiebt den Graphen nur nach oben und ändert seine Steigung nicht: (eˣ + 3)′ = eˣ. Der Funktionswert eˣ + 3 ist also größer als die Steigung.
Multiple Choice #8 25s ▶ Testen

Der Graph von f(x) = eˣ hat im Punkt Q die Höhe 5. Wie steil ist die Tangente in Q?

  • ● 5
  • ○ 1
  • ○ 2,72
Bei eˣ ist die Steigung gleich der Höhe: f′ = f = 5. Die Steigung 1 gilt nur an der Stelle x = 0, und 2,72 wäre die Steigung in der Höhe e.
Mittel
Zahleneingabe #1 25s ▶ Testen

Am Graphen von f(x) = 2ˣ misst man bei x = 3 den Funktionswert 8 und die Tangentensteigung 5,55. Berechne das Verhältnis Steigung : Funktionswert (auf 0,01 genau).

✓ Antwort: 0.69
Steigung : Funktionswert = 5,55 : 8 ≈ 0,69. An jeder anderen Stelle von 2ˣ ergibt sich dasselbe Verhältnis, nur die beiden Werte ändern sich.
Zahleneingabe #2 15s ▶ Testen

Die Zahl e ist die Basis, bei der die Tangente im Punkt (0 | 1) die Steigung 1 hat. Gib e auf zwei Nachkommastellen genau an.

✓ Antwort: 2.72
e = 2,71828… ; auf zwei Nachkommastellen gerundet 2,72.
Zahleneingabe #3 20s ▶ Testen

Berechne f′(2) für f(x) = eˣ (auf 0,01 genau).

✓ Antwort: 7.39
f′(x) = eˣ, also f′(2) = e² ≈ 7,389 ≈ 7,39.
Schwer
Zahleneingabe #1 30s ▶ Testen

Für f(x) = 3ˣ gilt f′(x) ≈ 1,10 · f(x). Wie steil ist der Graph an der Stelle x = 2 (auf 0,1 genau)?

✓ Antwort: 9.9
f(2) = 3² = 9, also f′(2) ≈ 1,10 · 9 = 9,9. Die Steigung ist hier fast so groß wie der Funktionswert selbst.
Zahleneingabe #2 40s ▶ Testen

Bei a = 2,7 misst man f′(0) = 0,99, bei a = 2,8 misst man f′(0) = 1,03. Bei welchem a ergibt sich f′(0) = 1, wenn du zwischen den beiden Werten linear interpolierst (auf 0,01 genau)?

✓ Antwort: 2.725
Von a = 2,7 nach 2,8 wächst die Steigung um 0,04. Bis 1 fehlen 0,01, das ist ein Viertel: a ≈ 2,7 + 0,25 · 0,1 = 2,725, also etwa 2,72 bis 2,73 — nah an e ≈ 2,718.
Zahleneingabe #3 30s ▶ Testen

Berechne f′(0) für f(x) = 3eˣ − 2x.

✓ Antwort: 1
Faktor- und Summenregel: f′(x) = 3 · eˣ − 2. An der Stelle 0 ist e⁰ = 1, also f′(0) = 3 − 2 = 1.
KI-bewertete Rechnung #4 240s ▶ Testen

Für f(x) = 2ˣ ist der Differenzenquotient mit Schrittweite h = 0,001 an der Stelle x gleich (2^(x+h) − 2ˣ) / h. Klammere 2ˣ aus, berechne den verbleibenden Faktor und schließe daraus auf die Steigung von f an den Stellen x = 0 und x = 3. Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.

✓ Antwort: (2^(x+h) − 2ˣ)/h = 2ˣ · (2^h − 1)/h. Für h = 0,001 ist (2^0,001 − 1)/0,001 ≈ 0,6934, unabhängig von x. Also f′(x) ≈ 0,693 · 2ˣ: bei x = 0 etwa 0,69 (2⁰ = 1) und bei x = 3 etwa 0,693 · 8 ≈ 5,55.
Wegen 2^(x+h) = 2ˣ · 2^h steckt x nur im Faktor 2ˣ; der Rest (2^h − 1)/h ≈ 0,693 ist eine Zahl. Die Steigung ist also immer 0,693 mal der Funktionswert.
KI-bewertete Rechnung #5 240s ▶ Testen

Bestimme die Gleichung der Tangente an den Graphen von f(x) = 2eˣ − 3 im Punkt mit x = 0: Berührpunkt, Ableitung, Steigung und Tangentengleichung. Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.

✓ Antwort: f(0) = 2·e⁰ − 3 = −1, also Berührpunkt (0 | −1). f′(x) = 2eˣ, f′(0) = 2. Tangente: y = 2x − 1.
Der Berührpunkt ist (0 | f(0)) = (0 | −1). Die Ableitung 2eˣ liefert an der Stelle 0 die Steigung 2. Punkt-Steigungs-Form: y = 2x + (−1).