Gleichungen mit ln
Welche Lösung hat die Gleichung eˣ = 7?
Erklärung: ln macht das Potenzieren mit e rückgängig: eˣ = 7 ⇒ x = ln 7 ≈ 1,95. „7/e“ tut so, als wäre e ein Faktor vor x, und e⁷ setzt die 7 in den Exponenten statt sie als Ergebnis zu lesen.
Es gilt ln(2 + 3) = ln 2 + ln 3.
Erklärung: ln 5 ≈ 1,609, aber ln 2 + ln 3 ≈ 0,693 + 1,099 = 1,792. ln wandelt Produkte in Summen um (ln(2 · 3) = ln 2 + ln 3), nicht Summen.
Ergänze: ln(e⁵) = ___
Erklärung: ln ist die Umkehrung von e^(…): ln(e^x) = x, also ln(e⁵) = 5.
Löse eˣ = 20 (auf 0,01 genau).
Erklärung: x = ln 20 ≈ 2,9957 ≈ 3,00. Probe: e³ ≈ 20,09 liegt knapp über 20, also ist x knapp unter 3.
Für welche Zahl c hat die Gleichung eˣ = c keine Lösung?
Erklärung: eˣ ist immer größer als 0, nimmt aber jeden positiven Wert an: eˣ = 0,001 hat die Lösung x = ln 0,001 ≈ −6,9. Null (und jede negative Zahl) wird nie erreicht.
Die Gerade y = 4 schneidet den Graphen von f(x) = eˣ in genau einem Punkt.
Erklärung: eˣ steigt streng von 0 bis ∞ und nimmt jeden positiven Wert genau einmal an. Der Schnittpunkt liegt bei x = ln 4 ≈ 1,39.
Wie viele Lösungen hat die Gleichung eˣ = 12?
Erklärung: Die Gerade y = 12 liegt über der x-Achse und schneidet den steigenden Graphen genau einmal, bei x = ln 12 ≈ 2,48.
Wie viele Lösungen hat die Gleichung eˣ + 3 = 1?
Erklärung: Umgeformt: eˣ = 1 − 3 = −2. Ein negativer Wert wird von eˣ nie angenommen, die Gleichung hat keine Lösung.
Löse e^(2x) = 5. Welche Lösung ist richtig?
Erklärung: Erst ln anwenden: 2x = ln 5, dann durch 2 teilen: x = (ln 5)/2 ≈ 0,80. Probe: e^(2 · 0,80) = e^1,6 ≈ 4,95. Bei „x = ln 5“ fehlt das Teilen durch 2, bei „2 · ln 5“ wird statt geteilt multipliziert.
Die Gleichung e^(x − 1) = 3 hat die Lösung x = ln 3 − 1.
Erklärung: x − 1 = ln 3 ⇒ x = ln 3 + 1 ≈ 2,10. Die 1 wird zur anderen Seite gebracht, also addiert. Probe: e^(2,10 − 1) = e^1,10 ≈ 3.
Löse e^(x + 1) = 10 auf 0,01 genau.
Erklärung: x + 1 = ln 10 ≈ 2,3026, also x = ln 10 − 1 ≈ 1,30.
Ein Bestand wächst nach N(t) = 200 · e^(0,05t) (t in Jahren). Nach wie vielen Jahren erreicht er 500 (auf 0,1 Jahre genau)?
Erklärung: 200 · e^(0,05t) = 500 ⇒ e^(0,05t) = 2,5 ⇒ 0,05t = ln 2,5 ≈ 0,9163 ⇒ t ≈ 18,3. Erst durch 200 teilen, dann ln anwenden.
Löse die Gleichung e^(2x) − 3·eˣ + 2 = 0. Ersetze dazu z = eˣ, löse nach z und gehe dann zu x zurück. Prüfe jede Lösung durch Einsetzen. Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.
Erklärung: Weil e^(2x) = (eˣ)² ist, wird die Gleichung mit z = eˣ quadratisch. Beide z-Werte sind positiv, also liefern beide eine Lösung für x.
Welche Nullstellen hat f(x) = eˣ · (x − 2)?
Erklärung: Ein Produkt ist null, wenn ein Faktor null ist. x − 2 = 0 gibt x = 2. Der Faktor eˣ ist nie null; wer „eˣ = 0 ⇒ x = 0“ schließt, erfindet eine zweite Nullstelle.
Die Funktion f(x) = x · eˣ hat genau eine Nullstelle.
Erklärung: x · eˣ = 0 verlangt x = 0 oder eˣ = 0. Der zweite Fall kommt nie vor, also bleibt nur x = 0.
Bestimme die größere Nullstelle von f(x) = (x − 5)(x + 1) · eˣ.
Erklärung: Die Nullstellen von (x − 5)(x + 1) sind 5 und −1; der Faktor eˣ liefert keine weitere. Die größere ist 5.
Bestimme die größere Lösung von (eˣ − 4) · (x + 3) = 0 auf 0,01 genau.
Erklärung: Faktor 1: eˣ − 4 = 0 ⇒ eˣ = 4 ⇒ x = ln 4 ≈ 1,39. Faktor 2: x + 3 = 0 ⇒ x = −3. Die größere Lösung ist ln 4 ≈ 1,39.