Gleichungen mit ln

Equations with ln

Mathematik Klasse 12 17 Aufgaben

AnalysisExponentiellNatürlicher LogarithmusLogarithmus

Die Gleichung eˣ = c hat für c > 0 genau die Lösung x = ln c und für c ≤ 0 keine Lösung. Bei e^(2x) = 5 oder 3eˣ = 12 wird zuerst die e-Potenz isoliert, dann ln angewandt und zuletzt nach x aufgelöst; bei Produkten wie eˣ·(x − 2) = 0 gilt der Satz vom Nullprodukt, weil eˣ nie null ist. Der Abschnitt räumt aus, ln(a + b) als ln a + ln b zu rechnen, den Faktor vor x zu vergessen und ln(−2) als Lösung zu schreiben. Er bereitet die Umrechnung von aˣ in e^(kx) und die Nullstellen- und Extremstellensuche im Folgekurs vor.

Umkehren mit ln

Gesucht ist das x, für das eˣ einen Wert c erreicht. Der natürliche Logarithmus ist die Umkehrung:

$e^{x} = c ⟺ x = ln c (c > 0)$

Beispiel: $e^{x} = 5$ hat die Lösung $x = ln 5 \approx 1, 61$ . Ohne ln müsste man raten (e¹ ≈ 2,7 ist zu klein, e² ≈ 7,4 zu groß); ln liefert die Zahl dazwischen direkt. Umgekehrt gilt $ln (e^{x}) = x$ , $ln 1 = 0$ und $ln e = 1$ . Vorsicht: ln zerlegt Produkte in Summen, aber keine Summen: $ln (2 + 3) \neq = ln 2 + ln 3$ .

Verschiebe die Gerade y = c. Wie hängt die x-Koordinate von Q mit c zusammen?

Manchmal keine Lösung

Weil eˣ nur positive Werte annimmt, hat $e^{x} = c$ für $c \leq 0$ keine Lösung, insbesondere nicht $e^{x} = 0$ . Für c > 0 gibt es genau eine Lösung, denn der steigende Graph schneidet die waagerechte Gerade y = c einmal. Schreibe deshalb nie ln(−2) oder ln 0 als Lösung hin. Beispiel: $e^{x} + 5 = 2$ führt auf $e^{x} = - 3$ und hat keine Lösung.

Schiebe c unter die x-Achse. Wann verschwindet der Schnittpunkt Q?

Auflösen und Nullprodukt

Steht mehr um die e-Potenz herum, wird sie zuerst allein gestellt, dann folgt ln:

$e^{2 x} = 9 \Rightarrow 2 x = ln 9 \Rightarrow x = \frac{l n 9}{2} = ln 3 \approx 1, 10$
$3 e^{x} = 12 \Rightarrow e^{x} = 4 \Rightarrow x = ln 4$
$e^{x + 2} = 6 \Rightarrow x + 2 = ln 6 \Rightarrow x = ln 6 - 2 \approx - 0, 21$

Eine Probe schützt vor Rechenfehlern: Mit x ≈ −0,21 ist $x + 2 \approx 1, 79$ und $e^{1, 79}$ ≈ 6. Bei Produkten gilt der Satz vom Nullprodukt. In $e^{x} (x + 3) = 0$ ist der Faktor eˣ nie null, also bleibt nur x + 3 = 0 und damit x = −3. Kommt eˣ auch quadriert vor, hilft die Ersetzung z = eˣ: Aus $e^{2 x} - 3 e^{x} + 2 = 0$ wird $z^{2} - 3 z + 2 = 0$ .

Voraussetzungen (1)

Der Graph von eˣ

Klasse 12

›

Ermöglicht (1)

aˣ auf eˣ zurückführen

Klasse 12

›

Leicht

Multiple Choice #1 25s ▶ Testen

Welche Lösung hat die Gleichung eˣ = 7?

● x = ln 7
○ x = 7/e
○ x = e⁷

ln macht das Potenzieren mit e rückgängig: eˣ = 7 ⇒ x = ln 7 ≈ 1,95. „7/e“ tut so, als wäre e ein Faktor vor x, und e⁷ setzt die 7 in den Exponenten statt sie als Ergebnis zu lesen.

Wahr / Falsch #2 15s ▶ Testen

Es gilt ln(2 + 3) = ln 2 + ln 3.

✓ Falsch

ln 5 ≈ 1,609, aber ln 2 + ln 3 ≈ 0,693 + 1,099 = 1,792. ln wandelt Produkte in Summen um (ln(2 · 3) = ln 2 + ln 3), nicht Summen.

Multiple Choice #3 25s ▶ Testen

Für welche Zahl c hat die Gleichung eˣ = c keine Lösung?

● c = 0
○ c = 0,001
○ c = 1000

eˣ ist immer größer als 0, nimmt aber jeden positiven Wert an: eˣ = 0,001 hat die Lösung x = ln 0,001 ≈ −6,9. Null (und jede negative Zahl) wird nie erreicht.

Wahr / Falsch #4 15s ▶ Testen

Die Gerade y = 4 schneidet den Graphen von f(x) = eˣ in genau einem Punkt.

✓ Wahr

eˣ steigt streng von 0 bis ∞ und nimmt jeden positiven Wert genau einmal an. Der Schnittpunkt liegt bei x = ln 4 ≈ 1,39.

Multiple Choice #5 35s ▶ Testen

Löse e^(2x) = 5. Welche Lösung ist richtig?

● x = (ln 5)/2 ≈ 0,80
○ x = ln 5 ≈ 1,61
○ x = 2 · ln 5 ≈ 3,22

Erst ln anwenden: 2x = ln 5, dann durch 2 teilen: x = (ln 5)/2 ≈ 0,80. Probe: e^(2 · 0,80) = e^1,6 ≈ 4,95. Bei „x = ln 5“ fehlt das Teilen durch 2, bei „2 · ln 5“ wird statt geteilt multipliziert.

Wahr / Falsch #6 15s ▶ Testen

Die Gleichung e^(x − 1) = 3 hat die Lösung x = ln 3 − 1.

✓ Falsch

x − 1 = ln 3 ⇒ x = ln 3 + 1 ≈ 2,10. Die 1 wird zur anderen Seite gebracht, also addiert. Probe: e^(2,10 − 1) = e^1,10 ≈ 3.

Multiple Choice #7 25s ▶ Testen

Welche Nullstellen hat f(x) = eˣ · (x − 2)?

● nur x = 2
○ x = 0 und x = 2
○ keine Nullstelle

Ein Produkt ist null, wenn ein Faktor null ist. x − 2 = 0 gibt x = 2. Der Faktor eˣ ist nie null; wer „eˣ = 0 ⇒ x = 0“ schließt, erfindet eine zweite Nullstelle.

Wahr / Falsch #8 15s ▶ Testen

Die Funktion f(x) = x · eˣ hat genau eine Nullstelle.

✓ Wahr

x · eˣ = 0 verlangt x = 0 oder eˣ = 0. Der zweite Fall kommt nie vor, also bleibt nur x = 0.

Mittel

Lückentext #1 20s ▶ Testen

Ergänze: ln(e⁵) = ___

✓ Antwort: 5

ln ist die Umkehrung von e^(…): ln(e^x) = x, also ln(e⁵) = 5.

Zahleneingabe #2 20s ▶ Testen

Wie viele Lösungen hat die Gleichung eˣ = 12?

✓ Antwort: 1

Die Gerade y = 12 liegt über der x-Achse und schneidet den steigenden Graphen genau einmal, bei x = ln 12 ≈ 2,48.

Zahleneingabe #3 30s ▶ Testen

Löse e^(x + 1) = 10 auf 0,01 genau.

✓ Antwort: 1.3026

x + 1 = ln 10 ≈ 2,3026, also x = ln 10 − 1 ≈ 1,30.

Zahleneingabe #4 25s ▶ Testen

Bestimme die größere Nullstelle von f(x) = (x − 5)(x + 1) · eˣ.

✓ Antwort: 5

Die Nullstellen von (x − 5)(x + 1) sind 5 und −1; der Faktor eˣ liefert keine weitere. Die größere ist 5.

Schwer

Zahleneingabe #1 30s ▶ Testen

Löse eˣ = 20 (auf 0,01 genau).

✓ Antwort: 2.9957

x = ln 20 ≈ 2,9957 ≈ 3,00. Probe: e³ ≈ 20,09 liegt knapp über 20, also ist x knapp unter 3.

Zahleneingabe #2 30s ▶ Testen

Wie viele Lösungen hat die Gleichung eˣ + 3 = 1?

✓ Antwort: 0

Umgeformt: eˣ = 1 − 3 = −2. Ein negativer Wert wird von eˣ nie angenommen, die Gleichung hat keine Lösung.

Zahleneingabe #3 45s ▶ Testen

Ein Bestand wächst nach N(t) = 200 · e^(0,05t) (t in Jahren). Nach wie vielen Jahren erreicht er 500 (auf 0,1 Jahre genau)?

✓ Antwort: 18.326

200 · e^(0,05t) = 500 ⇒ e^(0,05t) = 2,5 ⇒ 0,05t = ln 2,5 ≈ 0,9163 ⇒ t ≈ 18,3. Erst durch 200 teilen, dann ln anwenden.

KI-bewertete Rechnung #4 240s ▶ Testen

Löse die Gleichung e^(2x) − 3·eˣ + 2 = 0. Ersetze dazu z = eˣ, löse nach z und gehe dann zu x zurück. Prüfe jede Lösung durch Einsetzen. Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.

✓ Antwort: Mit z = eˣ ist e^(2x) = z²: z² − 3z + 2 = 0, also (z − 1)(z − 2) = 0, z = 1 oder z = 2. Zurück: eˣ = 1 ⇒ x = 0; eˣ = 2 ⇒ x = ln 2 ≈ 0,693. Probe: x = 0: 1 − 3 + 2 = 0; x = ln 2: 4 − 6 + 2 = 0.

Weil e^(2x) = (eˣ)² ist, wird die Gleichung mit z = eˣ quadratisch. Beide z-Werte sind positiv, also liefern beide eine Lösung für x.

Zahleneingabe #5 40s ▶ Testen

Bestimme die größere Lösung von (eˣ − 4) · (x + 3) = 0 auf 0,01 genau.

✓ Antwort: 1.3863

Faktor 1: eˣ − 4 = 0 ⇒ eˣ = 4 ⇒ x = ln 4 ≈ 1,39. Faktor 2: x + 3 = 0 ⇒ x = −3. Die größere Lösung ist ln 4 ≈ 1,39.