Der Graph von eˣ
Welche der drei Gleichungen hat keine Lösung?
Erklärung: eˣ ist für jedes x positiv. Deshalb kann eˣ nie −2 sein. Auch eˣ = 0,01 ist lösbar (für ein x etwa −4,6): kleine positive Werte werden angenommen, nur 0 und Negatives nicht.
Welchen Wert hat e^(−3) ungefähr?
Erklärung: e^(−3) = 1/e³ ≈ 1/20,09 ≈ 0,05. Ein negativer Exponent macht den Wert nicht negativ (−20,09 wäre −e³), und null wird nie erreicht.
Der Graph von f(x) = eˣ schneidet die x-Achse links vom Ursprung.
Erklärung: Er kommt der x-Achse von oben immer näher, schneidet sie aber nie: eˣ > 0 für alle x. Die Funktion hat keine Nullstelle.
Berechne e^(−2) auf drei Nachkommastellen genau.
Erklärung: e^(−2) = 1/e² = 1/7,389 ≈ 0,135.
Für wie viele reelle Zahlen x gilt eˣ · (x² + 4) = 0?
Erklärung: Ein Produkt ist nur null, wenn ein Faktor null ist. eˣ ist nie null, und x² + 4 ≥ 4 ist es auch nicht. Es gibt keine Lösung.
Der Graph von f(x) = eˣ hat bei x = −5 die Höhe 0,0067 und bei x = −10 die Höhe 0,000045. Welcher Geraden nähert er sich für x → −∞?
Erklärung: Die Höhen werden beliebig klein, bleiben aber positiv: Der Graph schmiegt sich von oben an die x-Achse, die Gerade y = 0. Die Gerade x = 0 ist die y-Achse, und y = 1 ist nur die Höhe bei x = 0.
Der Graph von f(x) = eˣ steigt auch für negative x, nur sehr flach.
Erklärung: Wegen f′(x) = eˣ > 0 steigt der Graph überall. Für negative x steigt er nur sehr flach (bei x = −3 hat die Tangente die Steigung 0,05). Ein Wechsel von fallend zu steigend wie bei der Parabel tritt nicht auf.
Für x → −∞ nähert sich eˣ dem Wert ___
Erklärung: Die Höhen e^(−10) ≈ 0,000045, e^(−20) ≈ 0,000000002 … werden beliebig klein: eˣ → 0, ohne 0 zu erreichen.
Bestimme die kleinste ganze Zahl x, für die eˣ > 1000 gilt.
Erklärung: e⁶ ≈ 403 ist noch kleiner als 1000, e⁷ ≈ 1097 ist größer. Weil eˣ streng steigt, gilt es dann für alle größeren x.
Welche Gerade berührt den Graphen von f(x) = eˣ im Punkt P(0 | 1)?
Erklärung: Die Steigung ist f′(0) = e⁰ = 1, und die Gerade geht durch P(0 | 1): y = 1 · x + 1. Mit Steigung e wäre e · x + 1 falsch (e ist die Basis, nicht die Steigung), und y = x geht nicht durch P.
Der Graph von f(x) = eˣ verläuft oberhalb der Tangente y = x + 1, außer im Berührpunkt P.
Erklärung: Der Graph ist nach oben gekrümmt: Er entfernt sich auf beiden Seiten von P von der Tangente nach oben. Deshalb gilt eˣ ≥ x + 1 für alle x.
Die Tangente an y = eˣ im Punkt P(0 | 1) hat die Gleichung y = x + ___
Erklärung: Steigung 1 und Achsenabschnitt 1, weil P(0 | 1) auf der Tangente liegt: y = x + 1.
Die Tangente y = x + 1 an y = eˣ bei x = 0 liefert für kleine x eine Näherung. Berechne so einen Näherungswert für e^(0,1).
Erklärung: Tangente an der Stelle 0,1: y = 0,1 + 1 = 1,1. Der genaue Wert e^(0,1) = 1,105… liegt knapp darüber, weil der Graph über der Tangente verläuft.
Die Tangente an f(x) = eˣ im Punkt P(2 | e²) schneidet die x-Achse an einer Stelle N. Wo liegt N?
Erklärung: Die Tangente schneidet die x-Achse immer genau eine Einheit links vom Fußpunkt des Berührpunkts: bei x₀ − 1 = 1. Bei x = 2 läge N unter P (Senkrechte), bei x = 3 rechts davon.
Die Tangente an f(x) = eˣ an der Stelle x = 3 hat die Steigung 3e².
Erklärung: Die Steigung ist f′(3) = e³ ≈ 20,09. 3e² ≈ 22,17 entsteht, wenn man die Potenzregel auf den Exponenten anwendet (Fehler).
Die Tangente an y = eˣ im Punkt P(5 | e⁵) schneidet die x-Achse bei x = ?
Erklärung: Die Tangente schneidet die x-Achse bei x₀ − 1 = 5 − 1 = 4.
Bestimme den y-Achsenabschnitt der Tangente an y = eˣ im Punkt P(1 | e).
Erklärung: Steigung e, Gleichung y = e · (x − 1) + e = e · x. Die Tangente geht durch den Ursprung; ihr y-Achsenabschnitt ist 0. Das passt zur Nullstelle x₀ − 1 = 0 der Tangente.
Die Tangente an f(x) = eˣ im Punkt P(x₀ | e^(x₀)) schneidet die x-Achse an der Stelle N. Bestimme die Tangentengleichung, setze y = 0 und zeige, dass N bei x₀ − 1 liegt. Gib die Tangente für x₀ = 2 an. Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.
Erklärung: Weil f′ = f ist, steckt e^(x₀) in Steigung und Höhe zugleich; nach dem Ausklammern bleibt nur x − x₀ + 1 = 0. Die Subtangente hat immer die Länge 1.