Der Graph von eˣ

The graph of eˣ

Mathematik Klasse 12 18 Aufgaben

AnalysisExponentiellAsymptotenAbleitungen

Der Graph von eˣ verläuft ganz oberhalb der x-Achse, steigt überall streng und nähert sich für x → −∞ der Asymptote y = 0, ohne sie zu erreichen. Die Tangente im Punkt (0 | 1) ist y = x + 1; allgemein schneidet die Tangente im Punkt (x₀ | e^(x₀)) die x-Achse bei x₀ − 1. Der Abschnitt klärt, dass eˣ nie null und nie negativ wird und dass e^(−3) klein, aber nicht negativ ist. Er bereitet die Verschiebungen des Graphen, das Lösen von eˣ = c mit ln und die Untersuchung von Verknüpfungen mit eˣ im Folgekurs vor.

Werte und Verlauf

Einige Werte: $e^{0} = 1$ , $e^{1} \approx 2, 72$ , $e^{2} \approx 7, 39$ und nach links $e^{- 1} \approx 0, 37$ , $e^{- 4} \approx 0, 018$ . Ein negativer Exponent macht den Wert klein, nicht negativ: $e^{x} > 0$ für jedes x. Der Graph liegt ganz oberhalb der x-Achse, und $e^{x} = 0$ hat keine Lösung, also gibt es keine Nullstelle. Wegen $f^{'} (x) = e^{x} > 0$ steigt der Graph überall. Nach links wird er immer flacher und schmiegt sich an die x-Achse, die Asymptote $y = 0$ , ohne sie zu erreichen; nach rechts wächst er über alle Grenzen. Wer eˣ = 0 oder eˣ = −1 lösen will, sucht deshalb vergeblich.

Schiebe den Punkt P nach links. Wie klein wird f(x₀), und wird es je null?

Tangenten an den Graphen

Im Punkt P(0 | 1) hat die Tangente die Steigung $f^{'} (0) = e^{0} = 1$ , also die Gleichung $y = x + 1$ ; der Graph liegt oberhalb von ihr. Allgemein hat die Tangente im Punkt $P (x_{0} ∣ e^{x_{0}})$ die Steigung $e^{x_{0}}$ :

$y = e^{x_{0}} (x - x_{0} + 1)$

Setzt man y = 0, dann bleibt wegen $e^{x_{0}} \neq = 0$ nur $x = x_{0} - 1$ : Die Tangente trifft die x-Achse immer genau eine Einheit links vom Fußpunkt von P. Der Grund: Höhe und Steigung sind bei eˣ gleich groß, also legt die Tangente auf dem Weg von P zur x-Achse waagerecht genau $e^{x_{0}} : e^{x_{0}} = 1$ zurück. Für $x_{0} = 4$ schneidet sie die x-Achse bei x = 3.

Bewege den Punkt P und beobachte den Abstand NF. Verändert er sich?

Voraussetzungen (1)

Die Zahl e

Klasse 12

›

Ermöglicht (2)

Gleichungen mit ln

Klasse 12

›

Verschieben und Strecken

Klasse 12

›

Leicht

Multiple Choice #1 25s ▶ Testen

Welche der drei Gleichungen hat keine Lösung?

● eˣ = −2
○ eˣ = 0,01
○ eˣ = 5

eˣ ist für jedes x positiv. Deshalb kann eˣ nie −2 sein. Auch eˣ = 0,01 ist lösbar (für ein x etwa −4,6): kleine positive Werte werden angenommen, nur 0 und Negatives nicht.

Multiple Choice #2 20s ▶ Testen

Welchen Wert hat e^(−3) ungefähr?

● 0,05
○ −20,09
○ 0

e^(−3) = 1/e³ ≈ 1/20,09 ≈ 0,05. Ein negativer Exponent macht den Wert nicht negativ (−20,09 wäre −e³), und null wird nie erreicht.

Wahr / Falsch #3 15s ▶ Testen

Der Graph von f(x) = eˣ schneidet die x-Achse links vom Ursprung.

✓ Falsch

Er kommt der x-Achse von oben immer näher, schneidet sie aber nie: eˣ > 0 für alle x. Die Funktion hat keine Nullstelle.

Multiple Choice #4 30s ▶ Testen

Der Graph von f(x) = eˣ hat bei x = −5 die Höhe 0,0067 und bei x = −10 die Höhe 0,000045. Welcher Geraden nähert er sich für x → −∞?

● y = 0
○ x = 0
○ y = 1

Die Höhen werden beliebig klein, bleiben aber positiv: Der Graph schmiegt sich von oben an die x-Achse, die Gerade y = 0. Die Gerade x = 0 ist die y-Achse, und y = 1 ist nur die Höhe bei x = 0.

Wahr / Falsch #5 15s ▶ Testen

Der Graph von f(x) = eˣ steigt auch für negative x, nur sehr flach.

✓ Wahr

Wegen f′(x) = eˣ > 0 steigt der Graph überall. Für negative x steigt er nur sehr flach (bei x = −3 hat die Tangente die Steigung 0,05). Ein Wechsel von fallend zu steigend wie bei der Parabel tritt nicht auf.

Multiple Choice #6 30s ▶ Testen

Welche Gerade berührt den Graphen von f(x) = eˣ im Punkt P(0 | 1)?

● y = x + 1
○ y = e · x + 1
○ y = x

Die Steigung ist f′(0) = e⁰ = 1, und die Gerade geht durch P(0 | 1): y = 1 · x + 1. Mit Steigung e wäre e · x + 1 falsch (e ist die Basis, nicht die Steigung), und y = x geht nicht durch P.

Wahr / Falsch #7 15s ▶ Testen

Der Graph von f(x) = eˣ verläuft oberhalb der Tangente y = x + 1, außer im Berührpunkt P.

✓ Wahr

Der Graph ist nach oben gekrümmt: Er entfernt sich auf beiden Seiten von P von der Tangente nach oben. Deshalb gilt eˣ ≥ x + 1 für alle x.

Multiple Choice #8 35s ▶ Testen

Die Tangente an f(x) = eˣ im Punkt P(2 | e²) schneidet die x-Achse an einer Stelle N. Wo liegt N?

● bei x = 1
○ bei x = 2
○ bei x = 3

Die Tangente schneidet die x-Achse immer genau eine Einheit links vom Fußpunkt des Berührpunkts: bei x₀ − 1 = 1. Bei x = 2 läge N unter P (Senkrechte), bei x = 3 rechts davon.

Wahr / Falsch #9 15s ▶ Testen

Die Tangente an f(x) = eˣ an der Stelle x = 3 hat die Steigung 3e².

✓ Falsch

Die Steigung ist f′(3) = e³ ≈ 20,09. 3e² ≈ 22,17 entsteht, wenn man die Potenzregel auf den Exponenten anwendet (Fehler).

Mittel

Zahleneingabe #1 20s ▶ Testen

Berechne e^(−2) auf drei Nachkommastellen genau.

✓ Antwort: 0.135

e^(−2) = 1/e² = 1/7,389 ≈ 0,135.

Lückentext #2 20s ▶ Testen

Für x → −∞ nähert sich eˣ dem Wert ___

✓ Antwort: 0

Die Höhen e^(−10) ≈ 0,000045, e^(−20) ≈ 0,000000002 … werden beliebig klein: eˣ → 0, ohne 0 zu erreichen.

Lückentext #3 20s ▶ Testen

Die Tangente an y = eˣ im Punkt P(0 | 1) hat die Gleichung y = x + ___

✓ Antwort: 1

Steigung 1 und Achsenabschnitt 1, weil P(0 | 1) auf der Tangente liegt: y = x + 1.

Zahleneingabe #4 15s ▶ Testen

Die Tangente an y = eˣ im Punkt P(5 | e⁵) schneidet die x-Achse bei x = ?

✓ Antwort: 4

Die Tangente schneidet die x-Achse bei x₀ − 1 = 5 − 1 = 4.

Schwer

Zahleneingabe #1 30s ▶ Testen

Für wie viele reelle Zahlen x gilt eˣ · (x² + 4) = 0?

✓ Antwort: 0

Ein Produkt ist nur null, wenn ein Faktor null ist. eˣ ist nie null, und x² + 4 ≥ 4 ist es auch nicht. Es gibt keine Lösung.

Zahleneingabe #2 40s ▶ Testen

Bestimme die kleinste ganze Zahl x, für die eˣ > 1000 gilt.

✓ Antwort: 7

e⁶ ≈ 403 ist noch kleiner als 1000, e⁷ ≈ 1097 ist größer. Weil eˣ streng steigt, gilt es dann für alle größeren x.

Zahleneingabe #3 30s ▶ Testen

Die Tangente y = x + 1 an y = eˣ bei x = 0 liefert für kleine x eine Näherung. Berechne so einen Näherungswert für e^(0,1).

✓ Antwort: 1.1

Tangente an der Stelle 0,1: y = 0,1 + 1 = 1,1. Der genaue Wert e^(0,1) = 1,105… liegt knapp darüber, weil der Graph über der Tangente verläuft.

Zahleneingabe #4 35s ▶ Testen

Bestimme den y-Achsenabschnitt der Tangente an y = eˣ im Punkt P(1 | e).

✓ Antwort: 0

Steigung e, Gleichung y = e · (x − 1) + e = e · x. Die Tangente geht durch den Ursprung; ihr y-Achsenabschnitt ist 0. Das passt zur Nullstelle x₀ − 1 = 0 der Tangente.

KI-bewertete Rechnung #5 240s ▶ Testen

Die Tangente an f(x) = eˣ im Punkt P(x₀ | e^(x₀)) schneidet die x-Achse an der Stelle N. Bestimme die Tangentengleichung, setze y = 0 und zeige, dass N bei x₀ − 1 liegt. Gib die Tangente für x₀ = 2 an. Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.

✓ Antwort: f′(x₀) = e^(x₀). Tangente: y = e^(x₀) · (x − x₀) + e^(x₀) = e^(x₀) · (x − x₀ + 1). y = 0 gilt genau für x − x₀ + 1 = 0, weil e^(x₀) ≠ 0, also x = x₀ − 1. Für x₀ = 2: y = e² · (x − 1) ≈ 7,39x − 7,39.

Weil f′ = f ist, steckt e^(x₀) in Steigung und Höhe zugleich; nach dem Ausklammern bleibt nur x − x₀ + 1 = 0. Die Subtangente hat immer die Länge 1.