Verschieben und Strecken
Welche Gerade ist die waagerechte Asymptote des Graphen von f(x) = eˣ − 3?
Erklärung: Der Summand −3 verschiebt den ganzen Graphen um 3 nach unten, also auch die Asymptote: von y = 0 nach y = −3. y = 3 wäre die Asymptote von eˣ + 3.
Welcher Term gehört zu diesem Graphen?
Erklärung: Der Graph schmiegt sich links an die Gerade y = 2 und schneidet die y-Achse bei 3 = e⁰ + 2. Bei eˣ − 2 läge die Asymptote bei y = −2, und e^(x + 2) hätte y = 0 als Asymptote (nur nach links verschoben).
Bestimme den y-Achsenabschnitt von f(x) = eˣ − 5.
Erklärung: f(0) = e⁰ − 5 = 1 − 5 = −4.
Für welchen Wert von d hat f(x) = eˣ + d die Nullstelle x = 0?
Erklärung: f(0) = e⁰ + d = 1 + d. Es soll 0 sein, also d = −1. Dann ist die Asymptote y = −1, und der Graph schneidet die x-Achse im Ursprung.
Durch welchen Punkt geht der Graph von f(x) = e^(x − 2)?
Erklärung: Die Klammer x − 2 ist bei x = 2 gleich null, und e⁰ = 1: f(2) = 1. Der Graph von eˣ ist um 2 nach rechts gerutscht. (−2 | 1) gehört zu e^(x + 2).
Welcher Term gehört zum durchgezogenen Graphen (gestrichelt: eˣ)?
Erklärung: Der durchgezogene Graph liegt 3 Einheiten weiter rechts: Seine Höhe 1 erreicht er bei x = 3, weil dort x − 3 = 0 ist. e^(x + 3) läge links von eˣ, und eˣ − 3 ist nach unten verschoben.
Berechne f(1) für f(x) = e^(x − 1).
Erklärung: f(1) = e^(1 − 1) = e⁰ = 1.
Es gilt e^(x − 2) = e^(−2) · eˣ, der verschobene Graph ist also auch ein gestreckter. Berechne den Faktor e^(−2) auf drei Nachkommastellen genau.
Erklärung: e^(−2) = 1/e² ≈ 1/7,389 ≈ 0,135. Die Verschiebung um 2 nach rechts staucht die Höhen von eˣ auf 13,5 %.
Welcher Term gehört zu diesem Graphen?
Erklärung: Der Graph schneidet die y-Achse bei 3 = 3 · e⁰ und nähert sich links der x-Achse (y = 0). Bei eˣ + 3 läge die Asymptote bei y = 3 und der Achsenabschnitt bei 4; e^(3x) hat den Achsenabschnitt 1.
Welcher Punkt liegt auf dem Graphen von f(x) = −2eˣ?
Erklärung: f(0) = −2 · e⁰ = −2. Das Minus spiegelt den Graphen an der x-Achse, deshalb liegt er unter der Achse. (0 | 2) gehört zu 2eˣ, und (−2 | 0) wäre eine Nullstelle, die es nicht gibt.
Der Graph von f(x) = 2eˣ − 2 liegt vollständig oberhalb der x-Achse.
Erklärung: Wegen der Verschiebung um 2 nach unten gilt f(0) = 0 und f(−1) = 2e^(−1) − 2 ≈ −1,26 < 0: Links von 0 verläuft der Graph unter der Achse. Die Asymptote ist y = −2.
Berechne f(1) für f(x) = 2eˣ auf 0,01 genau.
Erklärung: f(1) = 2 · e ≈ 2 · 2,7183 ≈ 5,44.
Der Graph von f(x) = a · eˣ geht durch den Punkt P(1 | 5,44). Bestimme a (ganzzahlig).
Erklärung: Einsetzen: 5,44 = a · e¹, also a = 5,44 / 2,718 ≈ 2. Die Streckung um a zeigt sich am y-Achsenabschnitt f(0) = a.
Der Graph von f(x) = 2·e^(x − 1) − 3 entsteht aus dem Graphen von eˣ in drei Schritten. Beschreibe sie, gib die waagerechte Asymptote an und berechne f(0) und f(1). Skizziere den Graphen mit dem Bildpunkt von (0 | 1). Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.
Erklärung: Erst die Klammer (Verschiebung nach rechts), dann der Faktor 2 (Streckung in y-Richtung), zuletzt −3 (Verschiebung nach unten). Der Punkt (0 | 1) wandert nach (1 | 1) → (1 | 2) → (1 | −1).
Welcher Term gehört zu diesem Graphen?
Erklärung: Der Graph geht durch Y(0 | 1) und fällt: Höhe 1 bei x = 0, für wachsende x immer kleiner. Das ist e^(−x). −eˣ ginge durch (0 | −1) und läge unter der Achse, eˣ − 1 steigt.
Der Punkt (2 | e²) liegt auf dem Graphen von eˣ. Dann liegt der Punkt (−2 | e²) auf dem Graphen von e^(−x).
Erklärung: e^(−(−2)) = e² : Setzt man −2 in e^(−x) ein, erhält man e². Der Graph von e^(−x) ist das Spiegelbild des Graphen von eˣ an der y-Achse.
Berechne f(−1) für f(x) = e^(−x) auf 0,01 genau.
Erklärung: f(−1) = e^(−(−1)) = e¹ ≈ 2,72. Das Minus im Exponenten kehrt das Vorzeichen von x um, der Wert selbst bleibt positiv.
Berechne f(1) für f(x) = e^(−x) + 2 auf 0,01 genau.
Erklärung: f(1) = e^(−1) + 2 ≈ 0,3679 + 2 ≈ 2,37. Für x → ∞ nähert sich der Graph der Asymptote y = 2 von oben.