Verschieben und Strecken

Shifting and stretching

Mathematik Klasse 12 18 Aufgaben
AnalysisExponentiellAsymptotenFunktionen

Im Term a·e^(x − c) + d verschiebt d den Graphen und seine Asymptote nach oben (y = d), c verschiebt ihn nach rechts, a streckt ihn in y-Richtung und spiegelt ihn für a < 0 an der x-Achse; e^(−x) ist das Spiegelbild von eˣ an der y-Achse. Der Abschnitt räumt aus, dass die Asymptote bei y = 0 bleibt und dass (x − c) nach links schiebt (Zazkis, Liljedahl und Gadowsky 2003). Er bereitet die Untersuchung von Funktionen a·e^(bx) + d und das Lösen zugehöriger Gleichungen vor.

Nach oben und unten

Ein Summand d verschiebt den ganzen Graphen von eˣ um d nach oben, bei negativem d nach unten: . Mit dem Graphen wandert die Asymptote: Sie liegt jetzt bei , nicht bei y = 0. Alle Funktionswerte sind größer als d, und der y-Achsenabschnitt ist . Bei ist die Asymptote y = 4 und f(0) = 5; der Graph schneidet die x-Achse dann nie.

Verändere d. Wohin wandert die Asymptote, und was passiert mit dem y-Achsenabschnitt?

Nach links und rechts

Steht x − c im Exponenten, , dann ist die Klammer erst bei x = c gleich null: Der Punkt (0 | 1) von eˣ liegt jetzt bei (c | 1). Der Graph wandert bei c > 0 nach rechts, denn das Vorzeichen in der Klammer wirkt entgegengesetzt, wie bei der Parabel. Wegen ist die Verschiebung nach rechts zugleich eine Streckung: Der Graph von e^(x−4) ist der von eˣ, auf das 0,018-Fache gestaucht. Die Asymptote bleibt .

Verändere c. Auf welcher Seite liegt der Punkt R, wenn c positiv ist?

Strecken und Spiegeln

Ein Faktor a streckt in y-Richtung: hat den y-Achsenabschnitt a, die Asymptote y = 0 und für a < 0 einen Graphen unterhalb der x-Achse (Spiegelung an ihr). Steht im Exponenten, wird an der y-Achse gespiegelt: fällt, bleibt positiv und nähert sich für x → ∞ der x-Achse. Alles zusammen: . Beispiel : um 2 nach rechts, mit 3 gestreckt, um 1 nach oben; der Punkt (0 | 1) landet bei (2 | 4), die Asymptote ist y = 1.

Stelle a und s in a·e^(s·x) ein. Was ändert sich bei negativem a, was bei s = −1?

Voraussetzungen (1)

Der Graph von eˣ
Klasse 12
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Leicht
Multiple Choice #1 25s ▶ Testen

Welche Gerade ist die waagerechte Asymptote des Graphen von f(x) = eˣ − 3?

  • ● y = −3
  • ○ y = 0
  • ○ y = 3
Der Summand −3 verschiebt den ganzen Graphen um 3 nach unten, also auch die Asymptote: von y = 0 nach y = −3. y = 3 wäre die Asymptote von eˣ + 3.
Multiple Choice #2 30s ▶ Testen

Welcher Term gehört zu diesem Graphen?

  • ● eˣ + 2
  • ○ eˣ − 2
  • ○ e^(x + 2)
Der Graph schmiegt sich links an die Gerade y = 2 und schneidet die y-Achse bei 3 = e⁰ + 2. Bei eˣ − 2 läge die Asymptote bei y = −2, und e^(x + 2) hätte y = 0 als Asymptote (nur nach links verschoben).
Multiple Choice #3 25s ▶ Testen

Durch welchen Punkt geht der Graph von f(x) = e^(x − 2)?

  • ● (2 | 1)
  • ○ (−2 | 1)
  • ○ (0 | 2)
Die Klammer x − 2 ist bei x = 2 gleich null, und e⁰ = 1: f(2) = 1. Der Graph von eˣ ist um 2 nach rechts gerutscht. (−2 | 1) gehört zu e^(x + 2).
Multiple Choice #4 30s ▶ Testen

Welcher Term gehört zum durchgezogenen Graphen (gestrichelt: eˣ)?

  • ● e^(x − 3)
  • ○ e^(x + 3)
  • ○ eˣ − 3
Der durchgezogene Graph liegt 3 Einheiten weiter rechts: Seine Höhe 1 erreicht er bei x = 3, weil dort x − 3 = 0 ist. e^(x + 3) läge links von eˣ, und eˣ − 3 ist nach unten verschoben.
Multiple Choice #5 30s ▶ Testen

Welcher Term gehört zu diesem Graphen?

  • ● 3eˣ
  • ○ eˣ + 3
  • ○ e^(3x)
Der Graph schneidet die y-Achse bei 3 = 3 · e⁰ und nähert sich links der x-Achse (y = 0). Bei eˣ + 3 läge die Asymptote bei y = 3 und der Achsenabschnitt bei 4; e^(3x) hat den Achsenabschnitt 1.
Multiple Choice #6 25s ▶ Testen

Welcher Punkt liegt auf dem Graphen von f(x) = −2eˣ?

  • ● (0 | −2)
  • ○ (0 | 2)
  • ○ (−2 | 0)
f(0) = −2 · e⁰ = −2. Das Minus spiegelt den Graphen an der x-Achse, deshalb liegt er unter der Achse. (0 | 2) gehört zu 2eˣ, und (−2 | 0) wäre eine Nullstelle, die es nicht gibt.
Wahr / Falsch #7 15s ▶ Testen

Der Graph von f(x) = 2eˣ − 2 liegt vollständig oberhalb der x-Achse.

✓ Falsch
Wegen der Verschiebung um 2 nach unten gilt f(0) = 0 und f(−1) = 2e^(−1) − 2 ≈ −1,26 < 0: Links von 0 verläuft der Graph unter der Achse. Die Asymptote ist y = −2.
Multiple Choice #8 30s ▶ Testen

Welcher Term gehört zu diesem Graphen?

  • ● e^(−x)
  • ○ −eˣ
  • ○ eˣ − 1
Der Graph geht durch Y(0 | 1) und fällt: Höhe 1 bei x = 0, für wachsende x immer kleiner. Das ist e^(−x). −eˣ ginge durch (0 | −1) und läge unter der Achse, eˣ − 1 steigt.
Wahr / Falsch #9 15s ▶ Testen

Der Punkt (2 | e²) liegt auf dem Graphen von eˣ. Dann liegt der Punkt (−2 | e²) auf dem Graphen von e^(−x).

✓ Wahr
e^(−(−2)) = e² : Setzt man −2 in e^(−x) ein, erhält man e². Der Graph von e^(−x) ist das Spiegelbild des Graphen von eˣ an der y-Achse.
Mittel
Zahleneingabe #1 15s ▶ Testen

Bestimme den y-Achsenabschnitt von f(x) = eˣ − 5.

✓ Antwort: -4
f(0) = e⁰ − 5 = 1 − 5 = −4.
Zahleneingabe #2 15s ▶ Testen

Berechne f(1) für f(x) = e^(x − 1).

✓ Antwort: 1
f(1) = e^(1 − 1) = e⁰ = 1.
Zahleneingabe #3 20s ▶ Testen

Berechne f(1) für f(x) = 2eˣ auf 0,01 genau.

✓ Antwort: 5.44
f(1) = 2 · e ≈ 2 · 2,7183 ≈ 5,44.
Zahleneingabe #4 20s ▶ Testen

Berechne f(−1) für f(x) = e^(−x) auf 0,01 genau.

✓ Antwort: 2.72
f(−1) = e^(−(−1)) = e¹ ≈ 2,72. Das Minus im Exponenten kehrt das Vorzeichen von x um, der Wert selbst bleibt positiv.
Schwer
Zahleneingabe #1 30s ▶ Testen

Für welchen Wert von d hat f(x) = eˣ + d die Nullstelle x = 0?

✓ Antwort: -1
f(0) = e⁰ + d = 1 + d. Es soll 0 sein, also d = −1. Dann ist die Asymptote y = −1, und der Graph schneidet die x-Achse im Ursprung.
Zahleneingabe #2 30s ▶ Testen

Es gilt e^(x − 2) = e^(−2) · eˣ, der verschobene Graph ist also auch ein gestreckter. Berechne den Faktor e^(−2) auf drei Nachkommastellen genau.

✓ Antwort: 0.135
e^(−2) = 1/e² ≈ 1/7,389 ≈ 0,135. Die Verschiebung um 2 nach rechts staucht die Höhen von eˣ auf 13,5 %.
Zahleneingabe #3 30s ▶ Testen

Der Graph von f(x) = a · eˣ geht durch den Punkt P(1 | 5,44). Bestimme a (ganzzahlig).

✓ Antwort: 2
Einsetzen: 5,44 = a · e¹, also a = 5,44 / 2,718 ≈ 2. Die Streckung um a zeigt sich am y-Achsenabschnitt f(0) = a.
KI-bewertete Rechnung #4 240s ▶ Testen

Der Graph von f(x) = 2·e^(x − 1) − 3 entsteht aus dem Graphen von eˣ in drei Schritten. Beschreibe sie, gib die waagerechte Asymptote an und berechne f(0) und f(1). Skizziere den Graphen mit dem Bildpunkt von (0 | 1). Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.

✓ Antwort: Schritte: (1) um 1 nach rechts: e^(x−1); (2) mit 2 strecken: 2e^(x−1); (3) um 3 nach unten. Asymptote y = −3. f(1) = 2e⁰ − 3 = −1 (Bildpunkt von (0 | 1) ist (1 | −1)). f(0) = 2e^(−1) − 3 ≈ 0,74 − 3 ≈ −2,26.
Erst die Klammer (Verschiebung nach rechts), dann der Faktor 2 (Streckung in y-Richtung), zuletzt −3 (Verschiebung nach unten). Der Punkt (0 | 1) wandert nach (1 | 1) → (1 | 2) → (1 | −1).
Zahleneingabe #5 30s ▶ Testen

Berechne f(1) für f(x) = e^(−x) + 2 auf 0,01 genau.

✓ Antwort: 2.37
f(1) = e^(−1) + 2 ≈ 0,3679 + 2 ≈ 2,37. Für x → ∞ nähert sich der Graph der Asymptote y = 2 von oben.