eˣ gegen Potenzen
Bei x = 20 werden drei Zahlen verglichen. Welche ist die größte?
Erklärung: e²⁰ ≈ 4,85 · 10⁸ ist weit größer als 20⁵ = 3,2 · 10⁶ und 20³ = 8 · 10³. Schon bei x = 20 hat eˣ die Potenzen mit Exponent 3 und 5 weit hinter sich gelassen.
Bei x = 30 gilt 30¹⁰ ≈ 5,9 · 10¹⁴ und e³⁰ ≈ 1,1 · 10¹³. Also bleibt x¹⁰ für alle x > 30 größer als eˣ.
Erklärung: Die Kurven kreuzen sich erst bei x ≈ 35,8: Schon bei x = 40 ist e⁴⁰ ≈ 2,4 · 10¹⁷ größer als 40¹⁰ ≈ 1,0 · 10¹⁶. Eine hohe Potenz überholt eˣ nur eine Weile.
Die Graphen von y = x³ und y = eˣ schneiden sich bei x ≈ 1,86 und bei x ≈ 4,54. Ab welcher ganzen Zahl x liegt eˣ dauerhaft über x³?
Erklärung: Nach dem zweiten Schnittpunkt x ≈ 4,54 verläuft eˣ oberhalb. Die erste ganze Zahl dahinter ist 5: e⁵ ≈ 148 > 5³ = 125, während e⁴ ≈ 55 noch unter 4³ = 64 liegt.
Berechne x⁴ und eˣ für x = 8, 9 und 10. Bei welcher dieser Zahlen ist eˣ zum ersten Mal größer als x⁴?
Erklärung: x = 8: e⁸ ≈ 2981 < 8⁴ = 4096. x = 9: e⁹ ≈ 8103 > 9⁴ = 6561. Also x = 9; bei x = 10 ist der Abstand mit 22 026 gegen 10 000 schon größer.
Für x = 5, 10, 20 ist x²/eˣ ≈ 0,17; 0,0045; 0,0000008 (siehe Bild). Wogegen strebt x²/eˣ für x → ∞?
Erklärung: Die Werte werden immer kleiner: eˣ wächst so viel schneller als x², dass der Bruch gegen 0 geht. „1“ hieße Gleichstand, „∞“ würde bedeuten, dass der Zähler gewinnt.
Der Quotient x³/eˣ wird für x → ∞ beliebig groß, weil sowohl x³ als auch eˣ gegen ∞ streben.
Erklärung: Beide Werte wachsen über alle Grenzen, aber eˣ viel schneller. Der Quotient geht gegen 0: bei x = 20 ist er nur 8000 / 4,85 · 10⁸ ≈ 0,00002. „∞ geteilt durch ∞“ ist kein Wert.
Berechne x²/eˣ für x = 10 auf vier Nachkommastellen genau.
Erklärung: 10² / e¹⁰ = 100 / 22 026,5 ≈ 0,00454 ≈ 0,0045.
Ab welcher ganzen Zahl x ≥ 3 ist x²/eˣ dauerhaft kleiner als 0,001?
Erklärung: x = 11: 121 / e¹¹ ≈ 0,0020 ist noch größer. x = 12: 144 / e¹² ≈ 0,00088 ist kleiner, und der Quotient nimmt ab x = 2 weiter ab.
Berechne x³/eˣ für x = 5, 10, 20 und 30 und schließe daraus, was für x → ∞ geschieht. Nutze dies, um x³·eˣ für x → −∞ zu untersuchen (setze t = −x). Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.
Erklärung: Die Tabelle zeigt, dass eˣ jede Potenz dominiert. Die Substitution t = −x verwandelt das Produkt für x → −∞ in einen Quotienten für t → +∞, dessen Grenzwert 0 ist.
Für x = −5, −10, −20 ist x²·eˣ ≈ 0,17; 0,0045; 0,0000008 (siehe Bild). Wogegen strebt x²·eˣ für x → −∞?
Erklärung: Die Potenz x² wird zwar groß, aber eˣ wird für negative x so viel schneller klein, dass das Produkt gegen 0 geht. „∞“ und „−∞“ folgen der Potenz und übersehen den Faktor eˣ.
Das Produkt x · eˣ nähert sich für x → −∞ dem Wert 0, obwohl x gegen −∞ geht.
Erklärung: Der Faktor eˣ geht gegen 0 und gewinnt: x · eˣ → 0 (von unten, denn x ist negativ). Bei x = −10 ist der Wert nur −10 · 0,0000454 ≈ −0,0005.
Berechne x²·eˣ für x = −5 auf drei Nachkommastellen genau.
Erklärung: (−5)² · e^(−5) = 25 · 0,006738 ≈ 0,168.
Der Graph von f(x) = x³·eˣ + 2 nähert sich für x → −∞ einer waagerechten Asymptote y = a. Bestimme a.
Erklärung: Der Teil x³·eˣ geht für x → −∞ gegen 0, übrig bleibt die 2: Die Asymptote ist y = 2. (Der Graph läuft von unten an den Wert heran, weil x³ negativ ist.)
Wogegen strebt 5x⁴/eˣ für x → ∞?
Erklärung: x⁴/eˣ → 0, und ein fester Faktor 5 ändert daran nichts: 5 · 0 = 0. Der Faktor wird nicht zum Grenzwert, und ∞ würde bedeuten, dass der Zähler gewinnt.
Wogegen strebt eˣ/x² für x → ∞?
Erklärung: Der Kehrwert von x²/eˣ (Grenzwert 0) wird beliebig groß: e¹⁰/10² ≈ 220, e²⁰/20² ≈ 1,2 · 10⁶. eˣ gewinnt jetzt im Zähler.
Berechne den Grenzwert von (3x² + 2x)/eˣ für x → ∞.
Erklärung: Beide Summanden 3x²/eˣ und 2x/eˣ gehen gegen 0, denn eˣ wächst schneller als jede Potenz. Der Grenzwert ist 0.
Der Graph von f(x) = 4 − x³/eˣ nähert sich für x → ∞ einer waagerechten Geraden y = a. Bestimme a.
Erklärung: x³/eˣ → 0, also f(x) → 4 − 0 = 4. Die Asymptote ist y = 4.