eˣ gegen Potenzen

eˣ versus powers

Mathematik Klasse 12 17 Aufgaben
AnalysisExponentiellGrenzwerteAsymptoten

Für große x wächst eˣ schneller als jede Potenz xⁿ: Der Quotient xⁿ/eˣ strebt für x → +∞ gegen 0, und das Produkt xⁿ·eˣ strebt für x → −∞ gegen 0. Ein größeres n verschiebt den Überholpunkt nur nach rechts (x³: 4,5; x⁴: 8,6; x¹⁰: 35,8). Der Abschnitt räumt aus, dass „∞ durch ∞“ gleich 1 sei, dass eine hohe Potenz gewinne, weil sie bei x = 30 vorn liegt, und dass „nähert sich 0“ bedeute „wird 0“ (Tall und Vinner 1981). Er bereitet die Asymptoten und Grenzwerte von Verknüpfungen mit eˣ im Folgekurs vor.

Das Wettrennen

Wer wächst schneller: eˣ oder eine Potenz xⁿ? Für n = 3 liegt eˣ ab x ≈ 4,5 dauerhaft vorn: . Bei x⁵ dauert es bis x ≈ 12,7 und bei x¹⁰ bis 35,8. Ein größerer Exponent verzögert das Überholen, verhindert es aber nicht: Zu jedem n gibt es ein x, ab dem eˣ dauerhaft über xⁿ liegt. Man sagt, eˣ wächst schneller als jede Potenz.

Wähle n = 1, 2 oder 3. Wo überholt eˣ die Potenz, und wo liegt bei n = 3 der zweite Kreuzungspunkt?

Der Quotient

Genauer sieht man es am Quotienten . Für steigt er zunächst (Höchstwert 1,34 bei x = 3), dann gewinnt der Nenner und er fällt gegen 0: bei x = 15 ist er nur noch etwa 0,001. Die Werte machen den Grenzwert plausibel, ohne ihn zu beweisen:

„∞ durch ∞“ ist kein Wert; entscheidend ist, wer schneller wächst. Ein fester Faktor ändert nichts: , ebenso . Der Kehrwert geht dagegen gegen ∞.

Graph von x³/eˣ für 0 ≤ x ≤ 20 0 0,5 1 1,5 0 5 10 15 20 x³/eˣ x
Der Quotient x³/eˣ steigt kurz an und fällt dann gegen 0.

Nach links: x → −∞

Für x → −∞ wird eˣ selbst klein. Mit t = −x ist , und das geht für t → ∞ gegen 0:

Bei x = −8 hat den Wert −0,0027. Der Graph von liegt links unterhalb der x-Achse und nähert sich ihr von unten: Die x-Achse ist die waagerechte Asymptote. Entsprechend hat links die Asymptote y = −1.

Graph von x·eˣ für −10 ≤ x ≤ 0 −0,5 −0,25 0 0,25 −10 −8 −6 −4 −2 0 x·eˣ x
Der Graph von x·eˣ schmiegt sich links von unten an die x-Achse.
Leicht
Multiple Choice #1 30s ▶ Testen

Bei x = 20 werden drei Zahlen verglichen. Welche ist die größte?

  • ● e²⁰ ≈ 485 000 000
  • ○ 20⁵ = 3 200 000
  • ○ 20³ = 8 000
e²⁰ ≈ 4,85 · 10⁸ ist weit größer als 20⁵ = 3,2 · 10⁶ und 20³ = 8 · 10³. Schon bei x = 20 hat eˣ die Potenzen mit Exponent 3 und 5 weit hinter sich gelassen.
Wahr / Falsch #2 15s ▶ Testen

Bei x = 30 gilt 30¹⁰ ≈ 5,9 · 10¹⁴ und e³⁰ ≈ 1,1 · 10¹³. Also bleibt x¹⁰ für alle x > 30 größer als eˣ.

✓ Falsch
Die Kurven kreuzen sich erst bei x ≈ 35,8: Schon bei x = 40 ist e⁴⁰ ≈ 2,4 · 10¹⁷ größer als 40¹⁰ ≈ 1,0 · 10¹⁶. Eine hohe Potenz überholt eˣ nur eine Weile.
Multiple Choice #3 30s ▶ Testen

Für x = 5, 10, 20 ist x²/eˣ ≈ 0,17; 0,0045; 0,0000008 (siehe Bild). Wogegen strebt x²/eˣ für x → ∞?

  • ● 0
  • ○ 1
  • ○ ∞
Die Werte werden immer kleiner: eˣ wächst so viel schneller als x², dass der Bruch gegen 0 geht. „1“ hieße Gleichstand, „∞“ würde bedeuten, dass der Zähler gewinnt.
Wahr / Falsch #4 15s ▶ Testen

Der Quotient x³/eˣ wird für x → ∞ beliebig groß, weil sowohl x³ als auch eˣ gegen ∞ streben.

✓ Falsch
Beide Werte wachsen über alle Grenzen, aber eˣ viel schneller. Der Quotient geht gegen 0: bei x = 20 ist er nur 8000 / 4,85 · 10⁸ ≈ 0,00002. „∞ geteilt durch ∞“ ist kein Wert.
Multiple Choice #5 30s ▶ Testen

Für x = −5, −10, −20 ist x²·eˣ ≈ 0,17; 0,0045; 0,0000008 (siehe Bild). Wogegen strebt x²·eˣ für x → −∞?

  • ● 0
  • ○ ∞
  • ○ −∞
Die Potenz x² wird zwar groß, aber eˣ wird für negative x so viel schneller klein, dass das Produkt gegen 0 geht. „∞“ und „−∞“ folgen der Potenz und übersehen den Faktor eˣ.
Wahr / Falsch #6 15s ▶ Testen

Das Produkt x · eˣ nähert sich für x → −∞ dem Wert 0, obwohl x gegen −∞ geht.

✓ Wahr
Der Faktor eˣ geht gegen 0 und gewinnt: x · eˣ → 0 (von unten, denn x ist negativ). Bei x = −10 ist der Wert nur −10 · 0,0000454 ≈ −0,0005.
Multiple Choice #7 25s ▶ Testen

Wogegen strebt 5x⁴/eˣ für x → ∞?

  • ● 0
  • ○ 5
  • ○ ∞
x⁴/eˣ → 0, und ein fester Faktor 5 ändert daran nichts: 5 · 0 = 0. Der Faktor wird nicht zum Grenzwert, und ∞ würde bedeuten, dass der Zähler gewinnt.
Multiple Choice #8 25s ▶ Testen

Wogegen strebt eˣ/x² für x → ∞?

  • ● ∞
  • ○ 0
  • ○ 1
Der Kehrwert von x²/eˣ (Grenzwert 0) wird beliebig groß: e¹⁰/10² ≈ 220, e²⁰/20² ≈ 1,2 · 10⁶. eˣ gewinnt jetzt im Zähler.
Mittel
Zahleneingabe #1 30s ▶ Testen

Die Graphen von y = x³ und y = eˣ schneiden sich bei x ≈ 1,86 und bei x ≈ 4,54. Ab welcher ganzen Zahl x liegt eˣ dauerhaft über x³?

✓ Antwort: 5
Nach dem zweiten Schnittpunkt x ≈ 4,54 verläuft eˣ oberhalb. Die erste ganze Zahl dahinter ist 5: e⁵ ≈ 148 > 5³ = 125, während e⁴ ≈ 55 noch unter 4³ = 64 liegt.
Zahleneingabe #2 25s ▶ Testen

Berechne x²/eˣ für x = 10 auf vier Nachkommastellen genau.

✓ Antwort: 0.0045
10² / e¹⁰ = 100 / 22 026,5 ≈ 0,00454 ≈ 0,0045.
Zahleneingabe #3 25s ▶ Testen

Berechne x²·eˣ für x = −5 auf drei Nachkommastellen genau.

✓ Antwort: 0.168
(−5)² · e^(−5) = 25 · 0,006738 ≈ 0,168.
Zahleneingabe #4 25s ▶ Testen

Berechne den Grenzwert von (3x² + 2x)/eˣ für x → ∞.

✓ Antwort: 0
Beide Summanden 3x²/eˣ und 2x/eˣ gehen gegen 0, denn eˣ wächst schneller als jede Potenz. Der Grenzwert ist 0.
Schwer
Zahleneingabe #1 45s ▶ Testen

Berechne x⁴ und eˣ für x = 8, 9 und 10. Bei welcher dieser Zahlen ist eˣ zum ersten Mal größer als x⁴?

✓ Antwort: 9
x = 8: e⁸ ≈ 2981 < 8⁴ = 4096. x = 9: e⁹ ≈ 8103 > 9⁴ = 6561. Also x = 9; bei x = 10 ist der Abstand mit 22 026 gegen 10 000 schon größer.
Zahleneingabe #2 45s ▶ Testen

Ab welcher ganzen Zahl x ≥ 3 ist x²/eˣ dauerhaft kleiner als 0,001?

✓ Antwort: 12
x = 11: 121 / e¹¹ ≈ 0,0020 ist noch größer. x = 12: 144 / e¹² ≈ 0,00088 ist kleiner, und der Quotient nimmt ab x = 2 weiter ab.
KI-bewertete Rechnung #3 240s ▶ Testen

Berechne x³/eˣ für x = 5, 10, 20 und 30 und schließe daraus, was für x → ∞ geschieht. Nutze dies, um x³·eˣ für x → −∞ zu untersuchen (setze t = −x). Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.

✓ Antwort: x = 5: 125/148,4 ≈ 0,84; x = 10: 1000/22026 ≈ 0,045; x = 20: 8000/4,85·10⁸ ≈ 1,6·10⁻⁵; x = 30: 27000/1,07·10¹³ ≈ 2,5·10⁻⁹. Die Werte werden rasch kleiner: x³/eˣ → 0. Mit t = −x gilt x³·eˣ = −t³/eᵗ; für x → −∞ geht t → +∞, also −t³/eᵗ → 0 (von unten).
Die Tabelle zeigt, dass eˣ jede Potenz dominiert. Die Substitution t = −x verwandelt das Produkt für x → −∞ in einen Quotienten für t → +∞, dessen Grenzwert 0 ist.
Zahleneingabe #4 30s ▶ Testen

Der Graph von f(x) = x³·eˣ + 2 nähert sich für x → −∞ einer waagerechten Asymptote y = a. Bestimme a.

✓ Antwort: 2
Der Teil x³·eˣ geht für x → −∞ gegen 0, übrig bleibt die 2: Die Asymptote ist y = 2. (Der Graph läuft von unten an den Wert heran, weil x³ negativ ist.)
Zahleneingabe #5 30s ▶ Testen

Der Graph von f(x) = 4 − x³/eˣ nähert sich für x → ∞ einer waagerechten Geraden y = a. Bestimme a.

✓ Antwort: 4
x³/eˣ → 0, also f(x) → 4 − 0 = 4. Die Asymptote ist y = 4.