Stetigkeit abschnittsweiser Funktionen
Es sei f(x) = x² für x ≤ 1 und f(x) = 3 − x für x > 1. Welchen Wert hat f(1)?
Erklärung: Die Bedingung x ≤ 1 schließt die Stelle 1 ein, also gilt die Formel x²: f(1) = 1. Die Formel 3 − x würde 2 liefern, gilt aber erst für x > 1. Auf jeder Stelle gilt genau eine Formel, f(1) ist definiert.
Der abgebildete Graph gehört zu einer Funktion mit x² für x ≤ 1. Welche Formel beschreibt den rechten Teil (x > 1)?
Erklärung: Der rechte Teil fällt, er geht durch (2 | 1) und (3 | 0): Das passt zu 3 − x. x − 1 würde steigen, und x² gilt schon links von der Nahtstelle.
Es sei f(x) = 2x für x < 0 und f(x) = x² + 1 für x ≥ 0. Berechne f(0).
Erklärung: Die Bedingung x ≥ 0 schließt die 0 ein: f(0) = 0² + 1 = 1. Die Formel 2x liefert dort 0, gilt aber nur für x < 0.
Ein Parkhaus verlangt K(t) = 5 (in €) für t ≤ 2 Stunden und K(t) = 5 + 3 · (t − 2) für t > 2. Was kostet eine Parkdauer von 4 Stunden (in €)?
Erklärung: Wegen t = 4 > 2 gilt die untere Formel: K(4) = 5 + 3 · (4 − 2) = 5 + 6 = 11.
Bei welcher dieser Beschreibungen ist der Graph an der Stelle x = 2 nicht stetig?
Erklärung: Ein Sprung ändert die Höhe: Der Stift muss von 3 nach 4 versetzt werden. Ein abrupter Richtungswechsel auf gleicher Höhe ist ein Knick, und ein steiler Anstieg ist zusammenhängend: beides lässt sich in einem Zug zeichnen.
Der Graph gehört zu f(x) = x + 1 für x ≤ 2 und f(x) = 2x für x > 2. Wie verhält sich f an der Stelle x = 2?
Erklärung: Links endet der Graph bei (2 | 3), rechts beginnt er bei (2 | 4): ein Sprung um 1. Dass f(2) definiert ist, sagt nichts über den Anschluss, und ein Knick hätte keine Lücke.
Die Abbildung zeigt einen Porto-Tarif in Abhängigkeit vom Gewicht. An wie vielen Stellen ist der Graph nicht stetig?
Erklärung: Der Graph hat vier waagrechte Stufen und dazwischen drei Sprünge, bei x = 1, 2 und 3. An diesen drei Stellen müsste man den Stift absetzen.
Es sei f(x) = x + 1 für x ≤ 2 und f(x) = 2x für x > 2. Um wie viel springt der Graph an der Stelle x = 2?
Erklärung: Links ist f(2) = 2 + 1 = 3, rechts geht der Graph mit 2 · 2 = 4 weiter. Der Sprung ist 4 − 3 = 1.
Der Graph von f(x) = |x| hat bei x = 0 einen Knick. Ist f bei x = 0 stetig?
Erklärung: Stetig bedeutet: kein Sprung, nicht: glatt. |x| ist −x für x < 0 und x für x ≥ 0; beide Teile treffen sich bei (0 | 0). Ein Knick ändert die Richtung, nicht die Höhe.
Der Graph gehört zu f(x) = −x für x ≤ 0 und f(x) = 2x für x > 0. Wie verhält sich f an der Stelle x = 0?
Erklärung: Beide Teile treffen sich in (0 | 0): −0 = 0 und 2 · 0 = 0. Es gibt keine Lücke, nur eine Richtungsänderung. Damit ist f stetig.
Die Betragsfunktion ist |x| = −x für x < 0 und |x| = x für x ≥ 0. Wie groß ist der Sprung an der Stelle x = 0?
Erklärung: Beide Terme haben bei x = 0 den Wert 0: −0 = 0 und 0 = 0. Der Sprung ist 0, es gibt nur einen Knick.
Der Graph von g(x) = |x − 4| hat einen Knick, aber keinen Sprung. Bei welchem x liegt der Knick?
Erklärung: Der Knick liegt dort, wo der Term im Betrag 0 wird: x − 4 = 0, also x = 4. Dort treffen sich die Teile 4 − x und x − 4 im Wert 0.
Es sei f(x) = 2x für x ≤ 3 und f(x) = x + 3 für x > 3. Was gilt an der Nahtstelle x = 3?
Erklärung: An der Nahtstelle vergleicht man die beiden Terme an derselben Stelle x = 3: beide liefern 6, die Stücke schließen aneinander an. Dass die Terme verschieden sind, und dass f(4) ≠f(3) ist, gilt auch bei stetigen Graphen.
Der abgebildete Graph besteht aus zwei Stücken, die an der Nahtstelle x = 1 aufeinandertreffen. Wie groß ist der Sprung an dieser Stelle?
Erklärung: Links endet der Graph bei (1 | 1) (gefüllter Punkt), rechts beginnt er bei (1 | 2) (offener Kreis). Der Sprung ist 2 − 1 = 1. Die 2 ist nur der rechte Wert, und 3 ist die Stelle, an der der rechte Ast die x-Achse schneidet.
Bei f(x) = x² für x ≤ 3 und f(x) = 4x − 3 für x > 3 liefern die beiden Teilterme an der Stelle 3 denselben Wert.
Erklärung: Man setzt dieselbe Stelle in beide Terme ein: 3² = 9 und 4 · 3 − 3 = 9. Die Stücke schließen aneinander an, es gibt keinen Sprung.
Es sei f(x) = x² für x ≤ 2 und f(x) = 2x für x > 2. Setze x = 2 in beide Teilterme ein und berechne die Differenz x² − 2x an dieser Stelle.
Erklärung: x² = 4 und 2x = 4 an der Stelle 2, die Differenz ist 0: Die Stücke schließen aneinander an, es gibt keinen Sprung.
Es sei f(x) = 2x für x ≤ 3 und f(x) = x + c für x > 3. Für welches c hat der Graph an der Nahtstelle x = 3 keinen Sprung?
Erklärung: Links liefert 2x den Wert 6, rechts liefert x + c den Wert 3 + c. Gleichsetzen: 3 + c = 6, also c = 3.
Gegeben ist f(x) = x² für x ≤ 1 und f(x) = c − x für x > 1. Berechne beide Teilterme an der Nahtstelle x = 1 und bestimme c so, dass der Graph keinen Sprung hat. Zeichne den Graphen für dieses c im Bereich −1 ≤ x ≤ 3 mit einer Wertetabelle und begründe, ob er an der Nahtstelle einen Knick hat.
Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.
Erklärung: Bei x = 1 liefert der linke Term 1 und der rechte c − 1; für c = 2 sind beide gleich, der Graph schließt an. Die Richtung ändert sich dort trotzdem: ein Knick, aber kein Sprung.