Stetigkeit abschnittsweiser Funktionen

Continuity of piecewise functions

Mathematik Klasse 11 18 Aufgaben

FunktionenStetigkeitGraphen

Eine Funktion darf aus mehreren Formeln bestehen, die je auf einem Bereich gelten; die Bedingung (≤ oder <) sagt, welche Formel an der Nahtstelle gilt. Anschaulich ist sie dort stetig, wenn man den Graphen ohne Absetzen zeichnen kann, also wenn beide Teilterme an der Nahtstelle denselben Wert liefern. Der Abschnitt räumt aus, eine Funktion müsse durch eine einzige Formel gegeben sein (Vinner und Dreyfus 1989: Bilder des Funktionsbegriffs), und dass stetig „glatt“ bedeute: |x| hat einen Knick und ist stetig (Tall und Vinner 1981). Er bereitet die Frage vor, wo eine Funktion differenzierbar ist, und Tarife und Modelle mit Sprüngen.

Zwei Formeln, ein Graph

Eine Funktion darf abschnittsweise definiert sein: Verschiedene Terme gelten auf verschiedenen Bereichen, zum Beispiel

f (x) = {x^{2} c - x f \overset{u}{¨} r x \leq 1 f \overset{u}{¨} r x > 1

Welche Formel an einer Stelle gilt, sagt die Bedingung: Bei x = 1 gilt wegen $\leq$ die obere, also $f (1) = 1$ . Der Graph besteht aus zwei Stücken, die an der Nahtstelle x = 1 aufeinandertreffen. Ob sie zusammenpassen, prüft man, indem man x = 1 in beide Terme einsetzt: links $1^{2} = 1$ , rechts $c - 1$ . Sind die Werte gleich, schließt der Graph an; das gilt für $c = 2$ . So sind auch Tarife wie Porto oder Parkgebühren definiert, oft mit Sprüngen.

Ändere c. Bei welchem c fällt der offene Kreis mit dem gefüllten Punkt zusammen?

Sprung und Knick

Anschaulich ist ein Graph an einer Stelle stetig, wenn man ihn dort ohne Absetzen des Stiftes zeichnen kann. Ein Sprung ändert die Höhe; dort ist der Graph nicht stetig. Ein Knick ändert nur die Richtung: $∣ x ∣$ , also $- x$ für $x \leq 0$ und $x$ für $x > 0$ , hat bei 0 einen Knick, aber keinen Sprung. Stetig heißt also nicht glatt. Auch eine Funktion aus zwei Formeln kann stetig sein, wenn die Stücke an der Nahtstelle zusammenpassen.

Ändere m und k. Welcher Regler erzeugt einen Knick, welcher einen Sprung?

Leicht

Multiple Choice #1 20s ▶ Testen

Es sei f(x) = x² für x ≤ 1 und f(x) = 3 − x für x > 1. Welchen Wert hat f(1)?

● 1
○ 2
○ nicht definiert

Die Bedingung x ≤ 1 schließt die Stelle 1 ein, also gilt die Formel x²: f(1) = 1. Die Formel 3 − x würde 2 liefern, gilt aber erst für x > 1. Auf jeder Stelle gilt genau eine Formel, f(1) ist definiert.

Multiple Choice #2 25s ▶ Testen

Der abgebildete Graph gehört zu einer Funktion mit x² für x ≤ 1. Welche Formel beschreibt den rechten Teil (x > 1)?

● f(x) = 3 − x
○ f(x) = x − 1
○ f(x) = x²

Der rechte Teil fällt, er geht durch (2 | 1) und (3 | 0): Das passt zu 3 − x. x − 1 würde steigen, und x² gilt schon links von der Nahtstelle.

Multiple Choice #3 20s ▶ Testen

Bei welcher dieser Beschreibungen ist der Graph an der Stelle x = 2 nicht stetig?

● Bei x = 2 springt der Graph von der Höhe 3 auf die Höhe 4.
○ Bei x = 2 ändert der Graph abrupt seine Richtung, bleibt aber auf gleicher Höhe.
○ Bei x = 2 steigt der Graph sehr steil an.

Ein Sprung ändert die Höhe: Der Stift muss von 3 nach 4 versetzt werden. Ein abrupter Richtungswechsel auf gleicher Höhe ist ein Knick, und ein steiler Anstieg ist zusammenhängend: beides lässt sich in einem Zug zeichnen.

Multiple Choice #4 25s ▶ Testen

Der Graph gehört zu f(x) = x + 1 für x ≤ 2 und f(x) = 2x für x > 2. Wie verhält sich f an der Stelle x = 2?

● Nicht stetig: Der Graph springt von 3 auf 4.
○ Stetig, denn f(2) = 3 ist definiert.
○ Stetig, aber mit einem Knick bei x = 2.

Links endet der Graph bei (2 | 3), rechts beginnt er bei (2 | 4): ein Sprung um 1. Dass f(2) definiert ist, sagt nichts über den Anschluss, und ein Knick hätte keine Lücke.

Multiple Choice #5 20s ▶ Testen

Der Graph von f(x) = |x| hat bei x = 0 einen Knick. Ist f bei x = 0 stetig?

● Ja, man kann den Graphen ohne Absetzen zeichnen.
○ Nein, der Graph ist dort nicht glatt.
○ Nein, |x| besteht aus zwei Formeln.

Stetig bedeutet: kein Sprung, nicht: glatt. |x| ist −x für x < 0 und x für x ≥ 0; beide Teile treffen sich bei (0 | 0). Ein Knick ändert die Richtung, nicht die Höhe.

Multiple Choice #6 25s ▶ Testen

Der Graph gehört zu f(x) = −x für x ≤ 0 und f(x) = 2x für x > 0. Wie verhält sich f an der Stelle x = 0?

● Stetig, aber mit einem Knick bei x = 0.
○ Nicht stetig, weil der Graph bei x = 0 einen Knick hat.
○ Nicht stetig, es gibt bei x = 0 einen Sprung.

Beide Teile treffen sich in (0 | 0): −0 = 0 und 2 · 0 = 0. Es gibt keine Lücke, nur eine Richtungsänderung. Damit ist f stetig.

Multiple Choice #7 20s ▶ Testen

Es sei f(x) = 2x für x ≤ 3 und f(x) = x + 3 für x > 3. Was gilt an der Nahtstelle x = 3?

● Kein Sprung, denn 2 · 3 = 6 und 3 + 3 = 6.
○ Ein Sprung, denn 2x und x + 3 sind verschiedene Terme.
○ Ein Sprung, denn f(3) = 6, aber f(4) = 7.

An der Nahtstelle vergleicht man die beiden Terme an derselben Stelle x = 3: beide liefern 6, die Stücke schließen aneinander an. Dass die Terme verschieden sind, und dass f(4) ≠ f(3) ist, gilt auch bei stetigen Graphen.

Multiple Choice #8 25s ▶ Testen

Der abgebildete Graph besteht aus zwei Stücken, die an der Nahtstelle x = 1 aufeinandertreffen. Wie groß ist der Sprung an dieser Stelle?

● 1
○ 2
○ 3

Links endet der Graph bei (1 | 1) (gefüllter Punkt), rechts beginnt er bei (1 | 2) (offener Kreis). Der Sprung ist 2 − 1 = 1. Die 2 ist nur der rechte Wert, und 3 ist die Stelle, an der der rechte Ast die x-Achse schneidet.

Wahr / Falsch #9 15s ▶ Testen

Bei f(x) = x² für x ≤ 3 und f(x) = 4x − 3 für x > 3 liefern die beiden Teilterme an der Stelle 3 denselben Wert.

✓ Wahr

Man setzt dieselbe Stelle in beide Terme ein: 3² = 9 und 4 · 3 − 3 = 9. Die Stücke schließen aneinander an, es gibt keinen Sprung.

Mittel

Zahleneingabe #1 25s ▶ Testen

Es sei f(x) = 2x für x < 0 und f(x) = x² + 1 für x ≥ 0. Berechne f(0).

✓ Antwort: 1

Die Bedingung x ≥ 0 schließt die 0 ein: f(0) = 0² + 1 = 1. Die Formel 2x liefert dort 0, gilt aber nur für x < 0.

Zahleneingabe #2 25s ▶ Testen

Die Abbildung zeigt einen Porto-Tarif in Abhängigkeit vom Gewicht. An wie vielen Stellen ist der Graph nicht stetig?

✓ Antwort: 3

Der Graph hat vier waagrechte Stufen und dazwischen drei Sprünge, bei x = 1, 2 und 3. An diesen drei Stellen müsste man den Stift absetzen.

Zahleneingabe #3 25s ▶ Testen

Die Betragsfunktion ist |x| = −x für x < 0 und |x| = x für x ≥ 0. Wie groß ist der Sprung an der Stelle x = 0?

✓ Antwort: 0

Beide Terme haben bei x = 0 den Wert 0: −0 = 0 und 0 = 0. Der Sprung ist 0, es gibt nur einen Knick.

Zahleneingabe #4 25s ▶ Testen

Es sei f(x) = x² für x ≤ 2 und f(x) = 2x für x > 2. Setze x = 2 in beide Teilterme ein und berechne die Differenz x² − 2x an dieser Stelle.

✓ Antwort: 0

x² = 4 und 2x = 4 an der Stelle 2, die Differenz ist 0: Die Stücke schließen aneinander an, es gibt keinen Sprung.

Schwer

Zahleneingabe #1 40s ▶ Testen

Ein Parkhaus verlangt K(t) = 5 (in €) für t ≤ 2 Stunden und K(t) = 5 + 3 · (t − 2) für t > 2. Was kostet eine Parkdauer von 4 Stunden (in €)?

✓ Antwort: 11

Wegen t = 4 > 2 gilt die untere Formel: K(4) = 5 + 3 · (4 − 2) = 5 + 6 = 11.

Zahleneingabe #2 40s ▶ Testen

Es sei f(x) = x + 1 für x ≤ 2 und f(x) = 2x für x > 2. Um wie viel springt der Graph an der Stelle x = 2?

✓ Antwort: 1

Links ist f(2) = 2 + 1 = 3, rechts geht der Graph mit 2 · 2 = 4 weiter. Der Sprung ist 4 − 3 = 1.

Zahleneingabe #3 40s ▶ Testen

Der Graph von g(x) = |x − 4| hat einen Knick, aber keinen Sprung. Bei welchem x liegt der Knick?

✓ Antwort: 4

Der Knick liegt dort, wo der Term im Betrag 0 wird: x − 4 = 0, also x = 4. Dort treffen sich die Teile 4 − x und x − 4 im Wert 0.

Zahleneingabe #4 40s ▶ Testen

Es sei f(x) = 2x für x ≤ 3 und f(x) = x + c für x > 3. Für welches c hat der Graph an der Nahtstelle x = 3 keinen Sprung?

✓ Antwort: 3

Links liefert 2x den Wert 6, rechts liefert x + c den Wert 3 + c. Gleichsetzen: 3 + c = 6, also c = 3.

KI-bewertete Rechnung #5 240s ▶ Testen

Gegeben ist f(x) = x² für x ≤ 1 und f(x) = c − x für x > 1. Berechne beide Teilterme an der Nahtstelle x = 1 und bestimme c so, dass der Graph keinen Sprung hat. Zeichne den Graphen für dieses c im Bereich −1 ≤ x ≤ 3 mit einer Wertetabelle und begründe, ob er an der Nahtstelle einen Knick hat. Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.

✓ Antwort: Links: 1² = 1. Rechts: c − 1. Kein Sprung genau dann, wenn c − 1 = 1, also c = 2. Wertetabelle: f(−1) = 1, f(0) = 0, f(1) = 1, f(2) = 0, f(3) = −1. Der Graph ist links eine Parabel bis (1 | 1), rechts die fallende Gerade 2 − x ab (1 | 1). Es gibt einen Knick: links steigt der Graph bei x = 1 mit der Steigung 2, rechts fällt er mit der Steigung −1.

Bei x = 1 liefert der linke Term 1 und der rechte c − 1; für c = 2 sind beide gleich, der Graph schließt an. Die Richtung ändert sich dort trotzdem: ein Knick, aber kein Sprung.