Welche dieser Funktionen ist eine Exponentialfunktion?

Erklärung: Bei 5ˣ steht die Variable im Exponenten: Exponentialfunktion. x⁵ ist eine Potenzfunktion (Variable in der Basis), 5x eine lineare Funktion.

Welche Funktion gehört zum abgebildeten Graphen?

Erklärung: Der Graph liegt ganz über der x-Achse und steigt nach rechts immer steiler: Exponentialfunktion 2ˣ. x² wäre symmetrisch zur y-Achse, 2x eine Gerade.

Für g(x) = 4ˣ: Berechne g(3).

Erklärung: Die Variable steht im Exponenten: g(3) = 4³ = 64. Wer x⁴ liest, kommt auf 3⁴ = 81.

Vergleiche f(x) = x² und g(x) = 2ˣ an der Stelle x = 5. Um wie viel ist g(5) größer als f(5)?

Erklärung: g(5) = 2⁵ = 32 und f(5) = 5² = 25, der Unterschied ist 7. Bei x = 3 liegt f mit 9 noch vor g mit 8: Die Exponentialfunktion überholt die Potenz erst später.

Welche dieser Funktionen nimmt an der Stelle x = −2 einen negativen Wert an?

Erklärung: Bei ungeradem Exponenten bleibt das Vorzeichen: (−2)³ = −8. Gerade Exponenten machen das Ergebnis positiv: (−2)⁴ = 16, (−2)⁶ = 64.

Welche Funktion gehört zum abgebildeten Graphen?

Erklärung: Der Graph verläuft von links unten nach rechts oben und geht durch den Ursprung: ungerader Exponent, also x⁵. x⁴ wäre U-förmig, 5ˣ läge ganz über der x-Achse.

Für f(x) = x⁵: Berechne f(−2).

Erklärung: Ungerader Exponent: (−2)⁵ = −32. Das Vorzeichen bleibt, der Betrag ist 2⁵ = 32.

Die Abbildung zeigt die Graphen von y = x² (grau, gestrichelt) und y = x⁴ (blau). Um wie viel liegt der blaue Graph an der Stelle x = 0,5 unter dem grauen?

Erklärung: Zwischen 0 und 1 werden Potenzen mit größerem Exponenten kleiner: 0,5² = 0,25 und 0,5⁴ = 0,0625, der Abstand ist 0,1875. Erst für x > 1 liegt x⁴ oben.

Welche dieser Funktionen hat keine Nullstelle?

Erklärung: 2ˣ ist für jedes x positiv, also auch 3 · 2ˣ. 3 · x² ist bei x = 0 null, und 2ˣ − 3 wird bei 2ˣ = 3 null (x ≈ 1,58): Die Verschiebung nach unten schneidet die Achse.

Der Graph gehört zu f(x) = 3 · 0,5ˣ. Wo schneidet er die x-Achse?

Erklärung: Jede Potenz von 0,5 ist positiv, also ist f(x) > 0 für alle x. Bei x = 6 ist f(6) ≈ 0,05: nah an der Achse, aber nicht darauf. Bei x = 0 liegt der y-Achsenabschnitt 3.

Berechne f(0) für f(x) = 3 · 2ˣ.

Erklärung: 2⁰ = 1, also f(0) = 3 · 1 = 3. Das ist der Schnittpunkt mit der y-Achse (0 | 3), nicht eine Nullstelle.

Wie viele Nullstellen hat f(x) = 4 · 3ˣ?

Erklärung: 3ˣ > 0 für jedes x, und 4 · 3ˣ ebenso. Es gibt keine Stelle mit f(x) = 0: null Nullstellen.

Zwischen welchen Werten schwankt f(x) = 2 · sin x + 1?

Erklärung: sin x liegt zwischen −1 und 1, mal 2 zwischen −2 und 2, plus 1 zwischen −1 und 3. „−2 und 2“ vergisst d, „−1 und 1“ vergisst a.

Welche Funktion gehört zum abgebildeten Graphen?

Erklärung: Der Graph schwankt zwischen −3 und 1: Die Mitte liegt bei −1 (d = −1), die Ausschläge sind 2 hoch (a = 2). Mit + 1 läge die Mitte oben, mit sin x − 2 wären die Ausschläge nur 1 hoch.

Wie groß ist der größte Funktionswert von f(x) = 4 · sin x − 3?

Erklärung: Der größte Wert ist d + |a| = −3 + 4 = 1.

Der Wasserstand eines Sees schwankt nach h(x) = 1,5 + 2 · sin x (in m, bezogen auf Normalnull). Wie hoch ist der tiefste Wasserstand?

Erklärung: Der tiefste Wert ist d − |a| = 1,5 − 2 = −0,5. Der See liegt dann 0,5 m unter Normalnull.

Skizziere die Graphen von f(x) = x⁴ und g(x) = x⁵ für −1,5 ≤ x ≤ 1,5 in ein Koordinatensystem. Berechne dazu f und g an den Stellen −1, 0 und 1 und beschreibe den Verlauf: welche Punkte haben beide Graphen gemeinsam, wo liegt g unter der x-Achse, und welcher Graph liegt zwischen 0 und 1 höher? Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.

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Erklärung: x⁴ hat einen geraden Exponenten (U-Form, nie negativ), x⁵ einen ungeraden (von links unten nach rechts oben). Beide gehen durch (0 | 0) und (1 | 1); zwischen 0 und 1 ist die höhere Potenz kleiner.

Aufgabe 1 von 17