Funktionstypen im Überblick

Overview of function types

Mathematik Klasse 11 17 Aufgaben

FunktionenGraphenPotenzenExponentiellPeriodisch

Jeder bekannte Funktionstyp hat ein eigenes Gesicht: Gerade, Parabel, Potenzfunktion, Hyperbel, Exponentialfunktion, Sinusfunktion. Der Abschnitt gibt zu jedem Typ ein charakteristisches Beispiel und die Eigenschaften, die man ohne Rechnung in eine Skizze schreiben kann: gerade und ungerade Exponenten, keine Nullstelle bei 2ˣ, die Schwankungsbreite von a · sin x + d. Er räumt die Verwechslung von x³ und 3ˣ aus und die Vorstellung, höhere Potenzen seien überall steiler (Leinhardt u. a. 1990: Graphen lesen). Er bereitet das Verhalten im Unendlichen, die Symmetrie am Term und später die Kurvendiskussion vor.

Typ und Term

Jeder Funktionstyp hat ein eigenes Gesicht. Eine Gerade gehört zu $y = m x + t$ , eine Parabel zu $y = a x^{2} + b x + c$ , eine Hyperbel zu $y = \frac{a}{x}$ . Bei einer Potenzfunktion $y = x^{n}$ steht die Variable in der Basis, bei einer Exponentialfunktion $y = b \cdot a^{x}$ im Exponenten. Das ist der Unterschied zwischen $x^{3}$ und $3^{x}$ : An der Stelle 4 liefert die erste 64, die zweite 81. Dazu kommen die Sinusfunktion $y = a sin x + d$ und die Logarithmusfunktion $y = lo g_{2} x$ . Wer den Typ erkennt, weiß schon viel über den Graphen.

Wähle mit dem Regler einen Typ. Welche Typen schneiden die x-Achse gar nicht?

Potenzfunktionen: gerade und ungerade

Bei $y = x^{n}$ entscheidet die Parität von n über die Gestalt. Ist n gerade (2, 4, 6), verläuft der Graph U-förmig und nie unter der x-Achse, denn $(- 2)^{4} = 16$ . Ist n ungerade (1, 3, 5), kommt der Graph von links unten und geht nach rechts oben, denn $(- 2)^{3} = - 8$ . Alle Graphen laufen durch $(0 ∣ 0)$ und $(1 ∣ 1)$ . Zwischen 0 und 1 gilt: Je größer n, desto flacher der Graph, zum Beispiel $0, 5^{2} = 0, 25$ , aber $0, 5^{4} = 0, 0625$ . Erst rechts von 1 ist die höhere Potenz die steilere.

Ändere n. Bei welchen n liegt der linke Punkt unter der x-Achse?

Wo die Werte liegen

Manche Typen schließen Werte aus. Die Exponentialfunktion $y = 2^{x}$ ist für jedes x positiv: Sie hat keine Nullstelle, und ihr Graph nähert sich links der x-Achse, ohne sie zu erreichen. Die Sinusfunktion $y = a sin x + d$ schwankt zwischen $d - ∣ a ∣$ und $d + ∣ a ∣$ : Bei $y = 3 sin x + 1$ liegen alle Werte zwischen $- 2$ und $4$ . Die Hyperbel $y = \frac{a}{x}$ hat bei $x = 0$ eine Definitionslücke, und $y = lo g_{2} x$ ist nur für $x > 0$ definiert und hat die Nullstelle 1. Solche Eigenschaften gehören in eine Skizze: Nullstellen, Wertebereich, Definitionsmenge, Verlauf an den Rändern.

Verschiebe d und ändere a. Wo liegen der höchste und der tiefste Punkt der Welle?

Leicht

Multiple Choice #1 20s ▶ Testen

Welche dieser Funktionen ist eine Exponentialfunktion?

● f(x) = 5ˣ
○ f(x) = x⁵
○ f(x) = 5x

Bei 5ˣ steht die Variable im Exponenten: Exponentialfunktion. x⁵ ist eine Potenzfunktion (Variable in der Basis), 5x eine lineare Funktion.

Multiple Choice #2 25s ▶ Testen

Welche Funktion gehört zum abgebildeten Graphen?

● f(x) = 2ˣ
○ f(x) = x²
○ f(x) = 2x

Der Graph liegt ganz über der x-Achse und steigt nach rechts immer steiler: Exponentialfunktion 2ˣ. x² wäre symmetrisch zur y-Achse, 2x eine Gerade.

Multiple Choice #3 20s ▶ Testen

Welche dieser Funktionen nimmt an der Stelle x = −2 einen negativen Wert an?

● f(x) = x³
○ f(x) = x⁴
○ f(x) = x⁶

Bei ungeradem Exponenten bleibt das Vorzeichen: (−2)³ = −8. Gerade Exponenten machen das Ergebnis positiv: (−2)⁴ = 16, (−2)⁶ = 64.

Multiple Choice #4 25s ▶ Testen

Welche Funktion gehört zum abgebildeten Graphen?

● f(x) = x⁵
○ f(x) = x⁴
○ f(x) = 5ˣ

Der Graph verläuft von links unten nach rechts oben und geht durch den Ursprung: ungerader Exponent, also x⁵. x⁴ wäre U-förmig, 5ˣ läge ganz über der x-Achse.

Multiple Choice #5 20s ▶ Testen

Welche dieser Funktionen hat keine Nullstelle?

● f(x) = 3 · 2ˣ
○ f(x) = 3 · x²
○ f(x) = 2ˣ − 3

2ˣ ist für jedes x positiv, also auch 3 · 2ˣ. 3 · x² ist bei x = 0 null, und 2ˣ − 3 wird bei 2ˣ = 3 null (x ≈ 1,58): Die Verschiebung nach unten schneidet die Achse.

Multiple Choice #6 25s ▶ Testen

Der Graph gehört zu f(x) = 3 · 0,5ˣ. Wo schneidet er die x-Achse?

● Nirgends
○ Bei etwa x = 6
○ Bei x = 0

Jede Potenz von 0,5 ist positiv, also ist f(x) > 0 für alle x. Bei x = 6 ist f(6) ≈ 0,05: nah an der Achse, aber nicht darauf. Bei x = 0 liegt der y-Achsenabschnitt 3.

Multiple Choice #7 20s ▶ Testen

Zwischen welchen Werten schwankt f(x) = 2 · sin x + 1?

● −1 und 3
○ −2 und 2
○ −1 und 1

sin x liegt zwischen −1 und 1, mal 2 zwischen −2 und 2, plus 1 zwischen −1 und 3. „−2 und 2“ vergisst d, „−1 und 1“ vergisst a.

Multiple Choice #8 25s ▶ Testen

Welche Funktion gehört zum abgebildeten Graphen?

● f(x) = 2 · sin x − 1
○ f(x) = 2 · sin x + 1
○ f(x) = sin x − 2

Der Graph schwankt zwischen −3 und 1: Die Mitte liegt bei −1 (d = −1), die Ausschläge sind 2 hoch (a = 2). Mit + 1 läge die Mitte oben, mit sin x − 2 wären die Ausschläge nur 1 hoch.

Mittel

Zahleneingabe #1 25s ▶ Testen

Für g(x) = 4ˣ: Berechne g(3).

✓ Antwort: 64

Die Variable steht im Exponenten: g(3) = 4³ = 64. Wer x⁴ liest, kommt auf 3⁴ = 81.

Zahleneingabe #2 25s ▶ Testen

Für f(x) = x⁵: Berechne f(−2).

✓ Antwort: -32

Ungerader Exponent: (−2)⁵ = −32. Das Vorzeichen bleibt, der Betrag ist 2⁵ = 32.

Zahleneingabe #3 25s ▶ Testen

Berechne f(0) für f(x) = 3 · 2ˣ.

✓ Antwort: 3

2⁰ = 1, also f(0) = 3 · 1 = 3. Das ist der Schnittpunkt mit der y-Achse (0 | 3), nicht eine Nullstelle.

Zahleneingabe #4 25s ▶ Testen

Wie groß ist der größte Funktionswert von f(x) = 4 · sin x − 3?

✓ Antwort: 1

Der größte Wert ist d + |a| = −3 + 4 = 1.

Schwer

Zahleneingabe #1 40s ▶ Testen

Vergleiche f(x) = x² und g(x) = 2ˣ an der Stelle x = 5. Um wie viel ist g(5) größer als f(5)?

✓ Antwort: 7

g(5) = 2⁵ = 32 und f(5) = 5² = 25, der Unterschied ist 7. Bei x = 3 liegt f mit 9 noch vor g mit 8: Die Exponentialfunktion überholt die Potenz erst später.

Zahleneingabe #2 40s ▶ Testen

Die Abbildung zeigt die Graphen von y = x² (grau, gestrichelt) und y = x⁴ (blau). Um wie viel liegt der blaue Graph an der Stelle x = 0,5 unter dem grauen?

✓ Antwort: 0.1875

Zwischen 0 und 1 werden Potenzen mit größerem Exponenten kleiner: 0,5² = 0,25 und 0,5⁴ = 0,0625, der Abstand ist 0,1875. Erst für x > 1 liegt x⁴ oben.

Zahleneingabe #3 40s ▶ Testen

Wie viele Nullstellen hat f(x) = 4 · 3ˣ?

✓ Antwort: 0

3ˣ > 0 für jedes x, und 4 · 3ˣ ebenso. Es gibt keine Stelle mit f(x) = 0: null Nullstellen.

Zahleneingabe #4 40s ▶ Testen

Der Wasserstand eines Sees schwankt nach h(x) = 1,5 + 2 · sin x (in m, bezogen auf Normalnull). Wie hoch ist der tiefste Wasserstand?

✓ Antwort: -0.5

Der tiefste Wert ist d − |a| = 1,5 − 2 = −0,5. Der See liegt dann 0,5 m unter Normalnull.

KI-bewertete Rechnung #5 240s ▶ Testen

Skizziere die Graphen von f(x) = x⁴ und g(x) = x⁵ für −1,5 ≤ x ≤ 1,5 in ein Koordinatensystem. Berechne dazu f und g an den Stellen −1, 0 und 1 und beschreibe den Verlauf: welche Punkte haben beide Graphen gemeinsam, wo liegt g unter der x-Achse, und welcher Graph liegt zwischen 0 und 1 höher? Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.

✓ Antwort: Wertetabelle: f(−1) = 1, f(0) = 0, f(1) = 1; g(−1) = −1, g(0) = 0, g(1) = 1. Skizze: f ist U-förmig und liegt nie unter der x-Achse, g verläuft von links unten nach rechts oben und ist für x < 0 negativ. Gemeinsame Punkte: (0 | 0) und (1 | 1). Zwischen 0 und 1 liegt f oben (z. B. 0,5⁴ = 0,0625 > 0,5⁵ = 0,03125), für x > 1 liegt g oben.

x⁴ hat einen geraden Exponenten (U-Form, nie negativ), x⁵ einen ungeraden (von links unten nach rechts oben). Beide gehen durch (0 | 0) und (1 | 1); zwischen 0 und 1 ist die höhere Potenz kleiner.