Welche dieser Funktionen ist für x → ∞ konvergent?

Erklärung: Bei 3 − 2/x² strebt der Bruch gegen 0, also f gegen 3: konvergent. 3x − 2 und 3ˣ − 2 wachsen über alle Grenzen und sind divergent.

Der abgebildete Graph steigt für x > 0 ständig. Wie verhält sich f für x → ∞?

Erklärung: Der Graph steigt zwar ständig, wird aber immer flacher und läuft auf y = 4 zu: konvergent. Ständiges Steigen bedeutet nicht Divergenz, und dass 4 nie erreicht wird, ist für den Grenzwert unerheblich.

Gegen welche Zahl konvergiert f(x) = 7 + 5/x² für x → ∞?

Erklärung: Der Bruch 5/x² strebt gegen 0, also strebt f(x) gegen 7.

Ein Kaffee kühlt ab nach T(x) = 18 + 70 · 0,8ˣ (in °C, x in Zeitschritten von 10 Minuten). Gegen welche Temperatur konvergiert T für x → ∞?

Erklärung: 0,8ˣ strebt für x → ∞ gegen 0, also strebt T gegen 18 + 0 = 18: die Zimmertemperatur. Erreicht wird sie nie, konvergent ist T trotzdem.

Für f(x) = x² schreibt man lim(x→∞) f(x) = ∞. Ist f für x → ∞ konvergent?

Erklärung: Die Werte von x² wachsen über jede Schranke: bestimmte Divergenz. „lim = ∞“ ist nur die Kurzschreibweise dafür. Da ∞ keine Zahl ist, gibt es keinen Grenzwert und f ist nicht konvergent.

Der Graph gehört zu f(x) = −0,5x². Was gilt für x → ∞?

Erklärung: Die nach unten geöffnete Parabel fällt rechts über jede Schranke: bestimmte Divergenz gegen −∞. Das Vorzeichen zählt, denn −0,5x² wird negativ und immer kleiner.

Die Funktion f(x) = x² ist für x → ∞ konvergent oder divergent? Antworte mit einem Wort: ___

Erklärung: x² wächst über jede Schranke. Es gibt keine Zahl, gegen die die Werte streben: divergent (bestimmt, gegen ∞).

Für x → ∞ wächst f(x) = x² − 100x über alle Grenzen, obwohl es zuerst negativ ist. Es gilt f(x) > 0 für alle x > c. Bestimme das kleinste passende c.

Erklärung: f(x) = x · (x − 100) ist für x > 100 positiv und bleibt es. Der Term wächst zwar über jede Schranke, aber erst ab x = 100 sind die Werte auch positiv.

Bei welcher dieser Funktionen pendelt der Wert für x → ∞ hin und her, ohne sich festzulegen?

Erklärung: 2 · sin x läuft immer wieder zwischen −2 und 2. 2 − 1/x legt sich auf 2 fest (Grenzwert), −2x fällt über jede Schranke (bestimmte Divergenz gegen −∞).

Um y = 0 liegt der gestrichelte Streifen von −0,3 bis 0,3. Kann 0 der Grenzwert von f(x) = sin x für x → ∞ sein?

Erklärung: Der Grenzwert verlangt: ab einem x-Wert bleibt der Graph im Streifen. Bei sin x kehrt er bei jeder Schwingung wieder heraus. Durch 0 zu gehen genügt nicht, und die Schmalheit des Streifens hilft nicht: Jeder Streifen, der schmaler als die Schwingung ist, wird verlassen.

Gegen wie viele verschiedene Zahlen L konvergiert f(x) = sin x für x → ∞?

Erklärung: Für jede Zahl L gibt es Streifen, die der Graph immer wieder verlässt. Es gibt keinen Grenzwert, also null Zahlen L.

Um y = 1 liegt ein Streifen der Halbbreite h. Bei f(x) = 3 · sin x + 1 bleibt der Graph für alle x im Streifen, wenn h groß genug ist. Wie groß muss h mindestens sein (Rand zählt mit)?

Erklärung: f schwankt zwischen 1 − 3 = −2 und 1 + 3 = 4, also höchstens 3 von y = 1 entfernt. Ein Streifen mit Halbbreite unter 3 ist schmaler als die Schwankung (6 breit) und wird bei jeder Schwingung verlassen, wo immer er liegt: Es gibt keinen Grenzwert.

Wie verhält sich f(x) = 2ˣ an den beiden Enden?

Erklärung: Links ist 2ˣ ein kleiner positiver Bruch (2⁻¹⁰ = 1/1024) und strebt gegen 0, rechts wächst 2ˣ über jede Schranke. Die beiden Enden verhalten sich verschieden und müssen einzeln untersucht werden.

Der Graph gehört zu f(x) = x³. Wie verhält sich f an den beiden Enden?

Erklärung: Der Graph kommt von links unten und geht nach rechts oben. Für x → −∞ ist x³ negativ (z. B. (−10)³ = −1000), also strebt f gegen −∞.

Bestimme lim(x→−∞) 2ˣ.

Erklärung: Für sehr negatives x ist 2ˣ = 1/2⁻ˣ ein beliebig kleiner positiver Bruch, etwa 2⁻²⁰ ≈ 0,000001. Der Grenzwert ist 0.

Gegen welche Zahl konvergiert f(x) = 1 + 2ˣ für x → −∞?

Erklärung: 2ˣ strebt für x → −∞ gegen 0, also strebt 1 + 2ˣ gegen 1. Für x → ∞ wäre f dagegen divergent.

Untersuche f(x) = 3 − 2ˣ und g(x) = 2 · sin x für x → −∞ und für x → +∞. Berechne bei f einige Werte (etwa an den Stellen −10, −20, 10, 20), gib das Verhalten mit der Grenzwertschreibweise an und sage, ob f dort konvergent oder divergent ist. Begründe bei g mit den Werten, warum es keinen Grenzwert gibt. Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.

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Erklärung: Beide Enden getrennt: bei f konvergiert das linke Ende gegen 3, das rechte divergiert bestimmt gegen −∞. g pendelt für alle x zwischen −2 und 2 und hat an keinem Ende einen Grenzwert.

Aufgabe 1 von 17