Konvergenz und Divergenz

Convergence and divergence

Mathematik Klasse 11 17 Aufgaben
FunktionenGrenzwerteKonvergenzGraphen

Konvergent heißt eine Funktion, wenn sie für x → ∞ gegen eine Zahl strebt; sonst ist sie divergent, und zwar entweder bestimmt (die Werte wachsen über jede Schranke, Kurzschreibweise ∞) oder ohne Grenzwert (sin x pendelt). Der Abschnitt räumt aus, dass ∞ ein Grenzwert sei, dass Beschränktheit Konvergenz sichere und dass ständiges Steigen Divergenz bedeute (Tall und Vinner 1981: Konzeptbild gegen Definition). Beide Enden, x → −∞ und x → +∞, werden getrennt untersucht. Er bereitet Polstellen und Asymptoten, die Frage nach der Existenz eines Grenzwerts beim Ableiten und später uneigentliche Integrale vor.

Konvergent oder divergent?

Strebt f für gegen eine Zahl L, heißt f dort konvergent, sonst divergent. Konvergent sind zum Beispiel (gegen 3) und (gegen 0). Divergent kann eine Funktion auf zwei Arten sein. ist bestimmt divergent: Die Werte wachsen über jede Schranke, man schreibt . Das ist nur eine Kurzschreibweise: ∞ ist keine Zahl und kein Grenzwert im Sinn des Streifens. Auch ist bestimmt divergent, gegen . Ständiges Steigen heißt dabei nicht Divergenz: Auch steigt ständig und konvergiert gegen 4. Auch der Tee vom Anfang konvergiert: Bei (in °C, x in Schritten von zehn Minuten) strebt T gegen 20 °C. Die Zimmertemperatur wird im Modell nie erreicht, und trotzdem ist 20 der Grenzwert.

Ändere n. Wie verhalten sich die beiden Punkte bei geradem, wie bei ungeradem n?

Kein Grenzwert, zwei Enden

Die zweite Art: wächst nicht, sondern pendelt zwischen −1 und 1. Für jede Zahl L verlässt der Graph jeden Streifen der Halbbreite unter 1 um immer wieder: Es gibt keinen Grenzwert. Beschränkt zu sein genügt für Konvergenz also nicht. Beide Enden untersucht man einzeln: strebt für gegen 0 und wächst für über alle Grenzen; geht links nach , rechts nach . Ein Grenzwert am linken Ende sagt nichts über das rechte: konvergiert für gegen 1, ist aber für divergent.

Verschiebe den Streifen mit L. Gibt es eine Lage, in der der Graph dauerhaft im Streifen bleibt?

Voraussetzungen (1)

Verhalten im Unendlichen
Klasse 11
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Leicht
Multiple Choice #1 20s ▶ Testen

Welche dieser Funktionen ist für x → ∞ konvergent?

  • ● f(x) = 3 − 2/x²
  • ○ f(x) = 3x − 2
  • ○ f(x) = 3ˣ − 2
Bei 3 − 2/x² strebt der Bruch gegen 0, also f gegen 3: konvergent. 3x − 2 und 3ˣ − 2 wachsen über alle Grenzen und sind divergent.
Multiple Choice #2 25s ▶ Testen

Der abgebildete Graph steigt für x > 0 ständig. Wie verhält sich f für x → ∞?

  • ● konvergent mit dem Grenzwert 4
  • ○ divergent, denn der Graph steigt immer weiter
  • ○ divergent, denn der Graph erreicht 4 nie
Der Graph steigt zwar ständig, wird aber immer flacher und läuft auf y = 4 zu: konvergent. Ständiges Steigen bedeutet nicht Divergenz, und dass 4 nie erreicht wird, ist für den Grenzwert unerheblich.
Multiple Choice #3 20s ▶ Testen

Für f(x) = x² schreibt man lim(x→∞) f(x) = ∞. Ist f für x → ∞ konvergent?

  • ● Nein, f ist divergent (∞ ist keine Zahl).
  • ○ Ja, der Grenzwert ist ∞.
  • ○ Ja, gegen eine sehr große Zahl.
Die Werte von x² wachsen über jede Schranke: bestimmte Divergenz. „lim = ∞“ ist nur die Kurzschreibweise dafür. Da ∞ keine Zahl ist, gibt es keinen Grenzwert und f ist nicht konvergent.
Multiple Choice #4 25s ▶ Testen

Der Graph gehört zu f(x) = −0,5x². Was gilt für x → ∞?

  • ● lim(x→∞) f(x) = −∞
  • ○ lim(x→∞) f(x) = ∞
  • ○ lim(x→∞) f(x) = 0
Die nach unten geöffnete Parabel fällt rechts über jede Schranke: bestimmte Divergenz gegen −∞. Das Vorzeichen zählt, denn −0,5x² wird negativ und immer kleiner.
Multiple Choice #5 20s ▶ Testen

Bei welcher dieser Funktionen pendelt der Wert für x → ∞ hin und her, ohne sich festzulegen?

  • ● f(x) = 2 · sin x
  • ○ f(x) = 2 − 1/x
  • ○ f(x) = −2x
2 · sin x läuft immer wieder zwischen −2 und 2. 2 − 1/x legt sich auf 2 fest (Grenzwert), −2x fällt über jede Schranke (bestimmte Divergenz gegen −∞).
Multiple Choice #6 25s ▶ Testen

Um y = 0 liegt der gestrichelte Streifen von −0,3 bis 0,3. Kann 0 der Grenzwert von f(x) = sin x für x → ∞ sein?

  • ● Nein, der Graph verlässt den Streifen immer wieder.
  • ○ Ja, der Graph geht immer wieder durch 0.
  • ○ Ja, der Streifen ist ja schmal.
Der Grenzwert verlangt: ab einem x-Wert bleibt der Graph im Streifen. Bei sin x kehrt er bei jeder Schwingung wieder heraus. Durch 0 zu gehen genügt nicht, und die Schmalheit des Streifens hilft nicht: Jeder Streifen, der schmaler als die Schwingung ist, wird verlassen.
Multiple Choice #7 20s ▶ Testen

Wie verhält sich f(x) = 2ˣ an den beiden Enden?

  • ● Für x → −∞ strebt f gegen 0, für x → ∞ wächst f über alle Grenzen.
  • ○ Für x → −∞ wächst f über alle Grenzen, für x → ∞ strebt f gegen 0.
  • ○ Für x → −∞ und x → ∞ strebt f gegen 0.
Links ist 2ˣ ein kleiner positiver Bruch (2⁻¹⁰ = 1/1024) und strebt gegen 0, rechts wächst 2ˣ über jede Schranke. Die beiden Enden verhalten sich verschieden und müssen einzeln untersucht werden.
Multiple Choice #8 25s ▶ Testen

Der Graph gehört zu f(x) = x³. Wie verhält sich f an den beiden Enden?

  • ● x → −∞: f → −∞ und x → ∞: f → ∞
  • ○ x → −∞: f → ∞ und x → ∞: f → ∞
  • ○ x → −∞: f → ∞ und x → ∞: f → −∞
Der Graph kommt von links unten und geht nach rechts oben. Für x → −∞ ist x³ negativ (z. B. (−10)³ = −1000), also strebt f gegen −∞.
Mittel
Zahleneingabe #1 25s ▶ Testen

Gegen welche Zahl konvergiert f(x) = 7 + 5/x² für x → ∞?

✓ Antwort: 7
Der Bruch 5/x² strebt gegen 0, also strebt f(x) gegen 7.
Lückentext #2 20s ▶ Testen

Die Funktion f(x) = x² ist für x → ∞ konvergent oder divergent? Antworte mit einem Wort: ___

✓ Antwort: divergent
x² wächst über jede Schranke. Es gibt keine Zahl, gegen die die Werte streben: divergent (bestimmt, gegen ∞).
Zahleneingabe #3 25s ▶ Testen

Gegen wie viele verschiedene Zahlen L konvergiert f(x) = sin x für x → ∞?

✓ Antwort: 0
Für jede Zahl L gibt es Streifen, die der Graph immer wieder verlässt. Es gibt keinen Grenzwert, also null Zahlen L.
Zahleneingabe #4 25s ▶ Testen

Bestimme lim(x→−∞) 2ˣ.

✓ Antwort: 0
Für sehr negatives x ist 2ˣ = 1/2⁻ˣ ein beliebig kleiner positiver Bruch, etwa 2⁻²⁰ ≈ 0,000001. Der Grenzwert ist 0.
Schwer
Zahleneingabe #1 40s ▶ Testen

Ein Kaffee kühlt ab nach T(x) = 18 + 70 · 0,8ˣ (in °C, x in Zeitschritten von 10 Minuten). Gegen welche Temperatur konvergiert T für x → ∞?

✓ Antwort: 18
0,8ˣ strebt für x → ∞ gegen 0, also strebt T gegen 18 + 0 = 18: die Zimmertemperatur. Erreicht wird sie nie, konvergent ist T trotzdem.
Zahleneingabe #2 40s ▶ Testen

Für x → ∞ wächst f(x) = x² − 100x über alle Grenzen, obwohl es zuerst negativ ist. Es gilt f(x) > 0 für alle x > c. Bestimme das kleinste passende c.

✓ Antwort: 100
f(x) = x · (x − 100) ist für x > 100 positiv und bleibt es. Der Term wächst zwar über jede Schranke, aber erst ab x = 100 sind die Werte auch positiv.
Zahleneingabe #3 40s ▶ Testen

Um y = 1 liegt ein Streifen der Halbbreite h. Bei f(x) = 3 · sin x + 1 bleibt der Graph für alle x im Streifen, wenn h groß genug ist. Wie groß muss h mindestens sein (Rand zählt mit)?

✓ Antwort: 3
f schwankt zwischen 1 − 3 = −2 und 1 + 3 = 4, also höchstens 3 von y = 1 entfernt. Ein Streifen mit Halbbreite unter 3 ist schmaler als die Schwankung (6 breit) und wird bei jeder Schwingung verlassen, wo immer er liegt: Es gibt keinen Grenzwert.
Zahleneingabe #4 40s ▶ Testen

Gegen welche Zahl konvergiert f(x) = 1 + 2ˣ für x → −∞?

✓ Antwort: 1
2ˣ strebt für x → −∞ gegen 0, also strebt 1 + 2ˣ gegen 1. Für x → ∞ wäre f dagegen divergent.
KI-bewertete Rechnung #5 240s ▶ Testen

Untersuche f(x) = 3 − 2ˣ und g(x) = 2 · sin x für x → −∞ und für x → +∞. Berechne bei f einige Werte (etwa an den Stellen −10, −20, 10, 20), gib das Verhalten mit der Grenzwertschreibweise an und sage, ob f dort konvergent oder divergent ist. Begründe bei g mit den Werten, warum es keinen Grenzwert gibt. Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.

✓ Antwort: f: 2ˣ strebt für x → −∞ gegen 0. Werte: f(−10) ≈ 2,999, f(−20) ≈ 3,000. Also lim(x→−∞) f(x) = 3: konvergent. Für x → ∞ wächst 2ˣ über alle Grenzen: f(10) = −1021, f(20) = −1048573, also lim(x→∞) f(x) = −∞: divergent (bestimmt). g: 2 · sin x schwankt immer wieder zwischen −2 und 2 (zum Beispiel g(π/2) = 2 und g(3π/2) = −2, wiederholt alle 2π); für jede Zahl L verlässt der Graph jeden Streifen der Halbbreite kleiner als 2 immer wieder, also gibt es an beiden Enden keinen Grenzwert.
Beide Enden getrennt: bei f konvergiert das linke Ende gegen 3, das rechte divergiert bestimmt gegen −∞. g pendelt für alle x zwischen −2 und 2 und hat an keinem Ende einen Grenzwert.