Spiegeln und Reihenfolge
Der Graph von f wird an der x-Achse gespiegelt. Welcher Term gehört zum Spiegelbild g?
Erklärung: Bei der Spiegelung an der x-Achse ändert jeder Punkt sein y-Vorzeichen: g(x) = −f(x). f(−x) spiegelt an der y-Achse, −f(−x) an beiden Achsen, also am Ursprung.
Der Graph von f wird an der x-Achse gespiegelt. Wohin wandert der markierte Punkt P?
Erklärung: Bei der Spiegelung an der x-Achse bleibt x gleich und y wechselt das Vorzeichen: P(−1 | 3) wird zu (−1 | −3). (1 | 3) wäre die Spiegelung an der y-Achse, (1 | −3) die am Ursprung.
Für f gilt f(2) = 5. Berechne g(2) für g(x) = −f(x).
Erklärung: g(2) = −f(2) = −5. Das Minus steht vor dem Funktionswert und kippt sein Vorzeichen.
Der Graph von f(x) = x² − 4 wird an der x-Achse gespiegelt. Wo schneidet das Spiegelbild die y-Achse (y-Koordinate)?
Erklärung: f(0) = −4. Das Spiegelbild g(x) = −f(x) hat g(0) = 4. Die Nullstellen ±2 bleiben, wo sie sind.
Der Graph von f wird an der y-Achse gespiegelt. Welcher Term gehört zum Spiegelbild g?
Erklärung: Bei der Spiegelung an der y-Achse ändert jede x-Koordinate ihr Vorzeichen, also steht −x im Argument: g(x) = f(−x). −f(x) spiegelt an der x-Achse.
Der Graph von f wird an der y-Achse gespiegelt. Wohin wandert der markierte Punkt R?
Erklärung: Bei der Spiegelung an der y-Achse wechselt x das Vorzeichen, y bleibt: R(2 | 3) wird zu (−2 | 3). (2 | −3) ist die Spiegelung an der x-Achse, (−2 | −3) die am Ursprung.
Für f gilt f(3) = 7 und f(−3) = 4. Berechne g(3) für g(x) = f(−x).
Erklärung: g(3) = f(−3) = 4. Bei f(−x) wird die Stelle gespiegelt: Man liest f an der Stelle −3, nicht an der Stelle 3.
Die markierte Nullstelle N von f liegt bei x = 2. Bei welchem x liegt die zugehörige Nullstelle des Graphen von g(x) = f(−x)?
Erklärung: g(x) = 0 genau dann, wenn f(−x) = 0, also wenn −x = 2 ist, das heißt x = −2. Die Nullstelle wandert von 2 nach −2.
Der Graph von f wird erst mit dem Faktor 2 gestreckt und dann um 3 nach oben verschoben. Welcher Term gehört zum neuen Graphen?
Erklärung: Was zuerst passiert, steht innen: erst 2 · f(x), dann + 3. Bei 2 · (f(x) + 3) würde erst um 3 verschoben und dann gestreckt, also insgesamt um 6. f(2x) wäre eine Streckung in x-Richtung.
Der gestrichelte Graph gehört zu f, der durchgezogene zu g. Welcher Term gehört zu g?
Erklärung: Der Scheitel ist von (0 | −1) nach (0 | 1) gewandert: −1 · 2 + 3 = 1. Bei 2 · (f(x) + 3) läge er bei (0 | 4), bei 2 · f(x) − 3 bei (0 | −5).
Für f gilt f(1) = 4. Berechne g(1) für g(x) = 2 · f(x) + 3.
Erklärung: Erst mit 2 multiplizieren, dann 3 addieren: g(1) = 2 · 4 + 3 = 11. Wer erst 3 addiert, kommt auf 2 · (4 + 3) = 14.
Der Graph von f wird durch g(x) = 3 · (f(x) + 2) beschrieben. Um wie viel ist der gestreckte Graph 3 · f(x) dadurch insgesamt nach oben verschoben?
Erklärung: Es gilt 3 · (f(x) + 2) = 3 · f(x) + 6: Die Verschiebung um 2 in der Klammer wird mit 3 gestreckt, also um 6.
Um wie viel wird der Graph von f durch g(x) = f(2x − 6) verschoben?
Erklärung: Klammere die 2 aus: f(2x − 6) = f(2 · (x − 3)). Die Verschiebung ist 3 nach rechts. „6“ liest die Klammer ohne auszuklammern, und „links“ ist der Vorzeichenfehler.
Der gestrichelte Graph gehört zu f, der durchgezogene zu g. Welcher Term gehört zu g?
Erklärung: Der linke Gipfel ist von (−1 | 3) nach (1 | 3) gewandert und der Graph ist halb so breit. f(2x − 3) = f(2 · (x − 1,5)) verschiebt um 1,5 und staucht, sodass der Gipfel bei 1,5 − 0,5 = 1 liegt. Mit f(2 · (x − 3)) läge er bei 2,5, mit f(2x + 3) bei −2.
Für f gilt f(5) = 2. Für welches x ist g(x) = f(2x − 1) gleich f(5)?
Erklärung: Das Argument 2x − 1 muss 5 sein: 2x = 6, also x = 3. Dort ist g(3) = f(5) = 2.
Die markierte Nullstelle N von f liegt bei x = 4. Bei welchem x liegt die zugehörige Nullstelle des Graphen von g(x) = f(2x − 3)?
Erklärung: g(x) = 0 genau dann, wenn 2x − 3 = 4 ist, also 2x = 7 und x = 3,5. Kontrolle über die Zerlegung f(2 · (x − 1,5)): Die Nullstelle 4 wird halbiert (2) und um 1,5 verschoben: 3,5.
Der Graph von g entsteht aus dem Graphen von f(x) = x³ − 3x + 1 durch g(x) = −f(2x − 4) + 1. Klammere im Argument aus und beschreibe alle vier Änderungen mit Richtung und Größe in der richtigen Reihenfolge. Bestimme den Bildpunkt von P(−1 | 3) und kontrolliere ihn durch Einsetzen in g.
Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.
Erklärung: In f(2x − 4) klammert man die 2 aus: f(2 · (x − 2)), also Verschiebung um 2. Außen wirkt −f erst als Spiegelung, dann + 1 als Verschiebung. P(−1 | 3) wird zu P′(1,5 | −2).