Spiegeln und Reihenfolge

Reflecting and order

Mathematik Klasse 11 17 Aufgaben
FunktionenAbbildungenSymmetrieGraphen

Ein Minuszeichen spiegelt: −f(x) kippt die y-Werte (Spiegelung an der x-Achse), f(−x) kippt die x-Werte (Spiegelung an der y-Achse). Kommen mehrere Änderungen zusammen, zählt die Reihenfolge: a · f(x) + d streckt erst und verschiebt dann, und im Argument muss man ausklammern, bevor man die Verschiebung abliest: f(2x − 3) schiebt um 1,5, nicht um 3. Der Abschnitt räumt die Verwechslung der beiden Spiegelungen und die Vorzeichen- und Klammerfehler bei zusammengesetzten Termen aus (Zazkis, Liljedahl und Gadowsky 2003). Er bereitet die Zuordnung Term und Graph vor und, als innere Funktion b · (x − c), die Kettenregel.

Spiegeln an den Achsen

Ein Minuszeichen spiegelt. Steht es außerhalb, , kippen die y-Werte: Der Graph wird an der x-Achse gespiegelt, aus wird . Steht es im Argument, , kippen die x-Werte: Spiegelung an der y-Achse, P wird zu . Beides zusammen, , spiegelt am Ursprung. Fällt der gespiegelte Graph auf den ursprünglichen, ist f symmetrisch: heißt genau, dass die Spiegelung an der y-Achse nichts ändert. Die Nullstellen bleiben bei an ihrem Platz, bei wandern sie auf die andere Seite der y-Achse: Aus einer Nullstelle bei 2 wird eine bei −2.

Vergleiche P mit P₁ und P₂. Welche Koordinate wechselt bei −f(x) das Vorzeichen, welche bei f(−x)?

Reihenfolge in y-Richtung

Mehrere Änderungen ergeben nur in der richtigen Reihenfolge das, was der Term sagt. In rechnet man wie im Term: erst a, dann d. Der Graph wird also erst gestreckt und dann verschoben. Mit einer Klammer, , wird die Verschiebung mitgestreckt: , also um 6 statt um 3. Für P ergibt den y-Wert 9, aber den y-Wert 12.

Ändere d. Um wie viel liegt Punkt B über Punkt A, wenn d = 4 ist?

Reihenfolge in x-Richtung

Im Argument liest man die Verschiebung erst nach dem Ausklammern ab. Bei steht nicht „um 3 nach rechts“: Es gilt . Der Graph wird auf die halbe Breite gestaucht und um 1,5 nach rechts verschoben. Zum Vergleich verschiebt um 3. Bei P wird aus der Bildpunkt , aus der Bildpunkt . Wer einen Term einem Graphen zuordnen will, prüft deshalb erst Spiegelung und Streckung und dann die Verschiebung an einem Kennpunkt.

Ändere c. Welcher Graph wandert schneller nach rechts, und wie viel schneller?

Voraussetzungen (1)

Verschieben und Strecken
Klasse 11
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Leicht
Multiple Choice #1 20s ▶ Testen

Der Graph von f wird an der x-Achse gespiegelt. Welcher Term gehört zum Spiegelbild g?

  • ● g(x) = −f(x)
  • ○ g(x) = f(−x)
  • ○ g(x) = −f(−x)
Bei der Spiegelung an der x-Achse ändert jeder Punkt sein y-Vorzeichen: g(x) = −f(x). f(−x) spiegelt an der y-Achse, −f(−x) an beiden Achsen, also am Ursprung.
Multiple Choice #2 25s ▶ Testen

Der Graph von f wird an der x-Achse gespiegelt. Wohin wandert der markierte Punkt P?

  • ● (−1 | −3)
  • ○ (1 | 3)
  • ○ (1 | −3)
Bei der Spiegelung an der x-Achse bleibt x gleich und y wechselt das Vorzeichen: P(−1 | 3) wird zu (−1 | −3). (1 | 3) wäre die Spiegelung an der y-Achse, (1 | −3) die am Ursprung.
Multiple Choice #3 20s ▶ Testen

Der Graph von f wird an der y-Achse gespiegelt. Welcher Term gehört zum Spiegelbild g?

  • ● g(x) = f(−x)
  • ○ g(x) = −f(x)
  • ○ g(x) = −f(−x)
Bei der Spiegelung an der y-Achse ändert jede x-Koordinate ihr Vorzeichen, also steht −x im Argument: g(x) = f(−x). −f(x) spiegelt an der x-Achse.
Multiple Choice #4 25s ▶ Testen

Der Graph von f wird an der y-Achse gespiegelt. Wohin wandert der markierte Punkt R?

  • ● (−2 | 3)
  • ○ (2 | −3)
  • ○ (−2 | −3)
Bei der Spiegelung an der y-Achse wechselt x das Vorzeichen, y bleibt: R(2 | 3) wird zu (−2 | 3). (2 | −3) ist die Spiegelung an der x-Achse, (−2 | −3) die am Ursprung.
Multiple Choice #5 20s ▶ Testen

Der Graph von f wird erst mit dem Faktor 2 gestreckt und dann um 3 nach oben verschoben. Welcher Term gehört zum neuen Graphen?

  • ● g(x) = 2 · f(x) + 3
  • ○ g(x) = 2 · (f(x) + 3)
  • ○ g(x) = f(2x) + 3
Was zuerst passiert, steht innen: erst 2 · f(x), dann + 3. Bei 2 · (f(x) + 3) würde erst um 3 verschoben und dann gestreckt, also insgesamt um 6. f(2x) wäre eine Streckung in x-Richtung.
Multiple Choice #6 25s ▶ Testen

Der gestrichelte Graph gehört zu f, der durchgezogene zu g. Welcher Term gehört zu g?

  • ● g(x) = 2 · f(x) + 3
  • ○ g(x) = 2 · (f(x) + 3)
  • ○ g(x) = 2 · f(x) − 3
Der Scheitel ist von (0 | −1) nach (0 | 1) gewandert: −1 · 2 + 3 = 1. Bei 2 · (f(x) + 3) läge er bei (0 | 4), bei 2 · f(x) − 3 bei (0 | −5).
Multiple Choice #7 20s ▶ Testen

Um wie viel wird der Graph von f durch g(x) = f(2x − 6) verschoben?

  • ● um 3 nach rechts
  • ○ um 6 nach rechts
  • ○ um 3 nach links
Klammere die 2 aus: f(2x − 6) = f(2 · (x − 3)). Die Verschiebung ist 3 nach rechts. „6“ liest die Klammer ohne auszuklammern, und „links“ ist der Vorzeichenfehler.
Multiple Choice #8 25s ▶ Testen

Der gestrichelte Graph gehört zu f, der durchgezogene zu g. Welcher Term gehört zu g?

  • ● g(x) = f(2x − 3)
  • ○ g(x) = f(2 · (x − 3))
  • ○ g(x) = f(2x + 3)
Der linke Gipfel ist von (−1 | 3) nach (1 | 3) gewandert und der Graph ist halb so breit. f(2x − 3) = f(2 · (x − 1,5)) verschiebt um 1,5 und staucht, sodass der Gipfel bei 1,5 − 0,5 = 1 liegt. Mit f(2 · (x − 3)) läge er bei 2,5, mit f(2x + 3) bei −2.
Mittel
Zahleneingabe #1 25s ▶ Testen

Für f gilt f(2) = 5. Berechne g(2) für g(x) = −f(x).

✓ Antwort: -5
g(2) = −f(2) = −5. Das Minus steht vor dem Funktionswert und kippt sein Vorzeichen.
Zahleneingabe #2 25s ▶ Testen

Für f gilt f(3) = 7 und f(−3) = 4. Berechne g(3) für g(x) = f(−x).

✓ Antwort: 4
g(3) = f(−3) = 4. Bei f(−x) wird die Stelle gespiegelt: Man liest f an der Stelle −3, nicht an der Stelle 3.
Zahleneingabe #3 25s ▶ Testen

Für f gilt f(1) = 4. Berechne g(1) für g(x) = 2 · f(x) + 3.

✓ Antwort: 11
Erst mit 2 multiplizieren, dann 3 addieren: g(1) = 2 · 4 + 3 = 11. Wer erst 3 addiert, kommt auf 2 · (4 + 3) = 14.
Zahleneingabe #4 25s ▶ Testen

Für f gilt f(5) = 2. Für welches x ist g(x) = f(2x − 1) gleich f(5)?

✓ Antwort: 3
Das Argument 2x − 1 muss 5 sein: 2x = 6, also x = 3. Dort ist g(3) = f(5) = 2.
Schwer
Zahleneingabe #1 40s ▶ Testen

Der Graph von f(x) = x² − 4 wird an der x-Achse gespiegelt. Wo schneidet das Spiegelbild die y-Achse (y-Koordinate)?

✓ Antwort: 4
f(0) = −4. Das Spiegelbild g(x) = −f(x) hat g(0) = 4. Die Nullstellen ±2 bleiben, wo sie sind.
Zahleneingabe #2 40s ▶ Testen

Die markierte Nullstelle N von f liegt bei x = 2. Bei welchem x liegt die zugehörige Nullstelle des Graphen von g(x) = f(−x)?

✓ Antwort: -2
g(x) = 0 genau dann, wenn f(−x) = 0, also wenn −x = 2 ist, das heißt x = −2. Die Nullstelle wandert von 2 nach −2.
Zahleneingabe #3 40s ▶ Testen

Der Graph von f wird durch g(x) = 3 · (f(x) + 2) beschrieben. Um wie viel ist der gestreckte Graph 3 · f(x) dadurch insgesamt nach oben verschoben?

✓ Antwort: 6
Es gilt 3 · (f(x) + 2) = 3 · f(x) + 6: Die Verschiebung um 2 in der Klammer wird mit 3 gestreckt, also um 6.
Zahleneingabe #4 40s ▶ Testen

Die markierte Nullstelle N von f liegt bei x = 4. Bei welchem x liegt die zugehörige Nullstelle des Graphen von g(x) = f(2x − 3)?

✓ Antwort: 3.5
g(x) = 0 genau dann, wenn 2x − 3 = 4 ist, also 2x = 7 und x = 3,5. Kontrolle über die Zerlegung f(2 · (x − 1,5)): Die Nullstelle 4 wird halbiert (2) und um 1,5 verschoben: 3,5.
KI-bewertete Rechnung #5 240s ▶ Testen

Der Graph von g entsteht aus dem Graphen von f(x) = x³ − 3x + 1 durch g(x) = −f(2x − 4) + 1. Klammere im Argument aus und beschreibe alle vier Änderungen mit Richtung und Größe in der richtigen Reihenfolge. Bestimme den Bildpunkt von P(−1 | 3) und kontrolliere ihn durch Einsetzen in g. Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.

✓ Antwort: g(x) = −f(2 · (x − 2)) + 1. Im Argument: Stauchung in x-Richtung auf die halbe Breite (b = 2) und Verschiebung um 2 nach rechts (nicht um 4). Außen: Spiegelung an der x-Achse (Faktor −1), dann Verschiebung um 1 nach oben. Bildpunkt: x = 2 + (−1)/2 = 1,5 und y = −3 + 1 = −2, also P′(1,5 | −2). Probe: g(1,5) = −f(2 · 1,5 − 4) + 1 = −f(−1) + 1 = −3 + 1 = −2.
In f(2x − 4) klammert man die 2 aus: f(2 · (x − 2)), also Verschiebung um 2. Außen wirkt −f erst als Spiegelung, dann + 1 als Verschiebung. P(−1 | 3) wird zu P′(1,5 | −2).