Verhalten im Unendlichen
Für große x nähert sich der Graph von f immer mehr der waagrechten Geraden y = 2. Was gilt dann?
Erklärung: Der Grenzwert ist der y-Wert, dem der Graph für x → ∞ zustrebt: 2. Die 2 gehört zu y, nicht zu x, und die x-Achse (y = 0) ist nicht die Gerade, auf die der Graph zuläuft.
Wohin läuft der abgebildete Graph für x → +∞?
Erklärung: Rechts fällt der Graph nach dem höchsten Punkt (etwa 3,2) langsam wieder ab und schmiegt sich an die Gerade y = 2 an. Der höchste Punkt ist kein Grenzwert, und die x-Achse liegt rechts weit unter dem Graphen.
Welchen Grenzwert hat f für x → +∞, wenn der abgebildete Graph zu f gehört?
Erklärung: Am rechten Ende läuft der Graph auf die waagrechte Gerade y = −1 zu, die unter der x-Achse liegt. Die 0 ist die x-Achse, die der Graph bei x ≈ 1,6 durchquert, und 2 ist nur der y-Achsenabschnitt.
Für x = 10, 100, 1000, 10000 hat f die Werte 2,1; 2,01; 2,001; 2,0001. Welchen Grenzwert hat f(x) für x → ∞?
Erklärung: Die Werte laufen auf 2 zu, jeweils nur noch 1/x entfernt. Der Grenzwert ist 2.
Ein Graph läuft für x → −∞ auf die Gerade y = −1 zu und für x → +∞ auf die Gerade y = 4. Wie groß ist die Summe der beiden Grenzwerte?
Erklärung: Die Enden betrachtet man getrennt: lim(x→−∞) f(x) = −1 und lim(x→∞) f(x) = 4. Die Summe ist −1 + 4 = 3.
Für f gilt lim(x→∞) f(x) = 3. Um y = 3 liegt ein Streifen von 2,9 bis 3,1. Was folgt daraus?
Erklärung: Der Grenzwert 3 bedeutet: Für jeden Streifen gibt es ein x, ab dem der Graph drin bleibt. „Für alle x“ verlangt zu viel, „nie erreichen“ wird nicht verlangt: Der Graph darf 3 sogar treffen.
Der Graph gehört zu f(x) = 2 + 1/x. Bei welchem x tritt er in den gestrichelten Streifen von 1,5 bis 2,5 ein und bleibt danach darin?
Erklärung: Bei x = 2 ist f(2) = 2,5: Dort erreicht der Graph den oberen Rand des Streifens und sinkt danach nur noch, bleibt aber über 2. Bei x = 1 ist f(1) = 3 und bei x = 0,5 ist f(0,5) = 4, beides außerhalb.
Der Graph von f(x) = 2 + 1/x trifft die Gerade y = 2 nie. Deshalb ist 2 nicht der Grenzwert.
Erklärung: Ob der Graph die Gerade trifft, ist für den Grenzwert unerheblich. Entscheidend ist der Streifen: Für jede Breite liegt der Graph ab einem x-Wert darin. Bei 2 + 1/x ist das für x > 1/ε der Fall.
Bei f(x) = 2 + 1/x liegt der Graph schon ab x = 1 dauerhaft im gestrichelten Streifen von 1,5 bis 2,5.
Erklärung: Bei x = 1 ist f(1) = 3, das liegt über dem Streifen. Erst ab x = 2 ist f(x) ≤ 2,5: Der Streifen wird ab 1/ε = 1/0,5 = 2 dauerhaft erreicht.
Für f(x) = 2 + 1/x soll |f(x) − 2| < 0,1 gelten, also der Graph im Streifen 2 ± 0,1 liegen. Das ist für alle x > c der Fall. Bestimme das kleinste passende c.
Erklärung: Der Abstand zu 2 ist 1/x. Er ist kleiner als 0,1, sobald x > 1/0,1 = 10 gilt.
Für f(x) = 3 + 2/x soll |f(x) − 3| < 0,01 gelten. Das ist für alle x > c der Fall. Bestimme das kleinste passende c.
Erklärung: Der Abstand zu 3 ist 2/x. 2/x < 0,01 gilt für x > 2/0,01 = 200.
Welchen Grenzwert hat f(x) = 4 + 1/x für x → ∞?
Erklärung: 1/x strebt gegen 0, also strebt 4 + 1/x gegen 4. „0“ beachtet nur den Bruch, „5“ setzt x = 1 ein.
Welche dieser Funktionen strebt für x → ∞ gegen 0?
Erklärung: Im Nenner wächst x² über alle Grenzen, der Bruch wird beliebig klein. x² und 2ˣ wachsen selbst über alle Grenzen.
Der abgebildete Graph gehört zu f(x) = 1/x² (rechter Ast). Welchen Grenzwert hat f für x → ∞?
Erklärung: Im Nenner wächst x² über alle Grenzen, der Bruch wird beliebig klein: Der Grenzwert ist 0. Die 1 ist nur der Wert bei x = 1, und „nie erreichen“ spricht nicht gegen einen Grenzwert.
Gib den Grenzwert von f(x) = 5 − 1/x für x → ∞ an.
Erklärung: 1/x strebt gegen 0, also strebt 5 − 1/x gegen 5 − 0 = 5.
Bestimme den Grenzwert von f(x) = (3x + 1)/x für x → ∞. Tipp: Teile den Bruch auf.
Erklärung: (3x + 1)/x = 3 + 1/x, und 1/x strebt gegen 0. Der Grenzwert ist 3.
Zeige für f(x) = 2 + 1/x mit der Streifenvorstellung, dass lim(x→∞) f(x) = 2 gilt. Bestimme, ab welchem x der Graph für ε = 0,05 im Streifen 2 ± ε bleibt, und gib allgemein an, ab welchem x er für beliebiges ε im Streifen bleibt. Erkläre, warum der Graph die Gerade y = 2 nie trifft und warum das dem Grenzwert nicht widerspricht.
Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.
Erklärung: Der Abstand des Graphen zu y = 2 ist 1/x. Er unterschreitet jede Schranke ε ab x = 1/ε: das ist die Streifenbedingung, und sie stimmt für jedes ε.