Verhalten im Unendlichen

Behaviour at infinity

Mathematik Klasse 11 17 Aufgaben

FunktionenGrenzwerteKonvergenzGraphen

Das Grenzverhalten für x → +∞ fragt, wohin die Funktionswerte laufen. Am Graphen liest man den Grenzwert L als waagrechte Gerade ab, die Streifenvorstellung präzisiert das: Um y = L liegt ein beliebig schmaler Streifen, den der Graph ab einem x-Wert nicht mehr verlässt. Am Term genügt oft, dass 1/x gegen 0 strebt. Der Abschnitt räumt aus, ein Grenzwert werde „nie erreicht“ oder sei eine Schranke (Tall und Vinner 1981: Konzeptbild gegen Definition; Greefrath u. a. 2016: Umgebungsvorstellung). Er bereitet Konvergenz und Divergenz, die waagrechte Asymptote und den Grenzübergang zur Ableitung vor.

Wohin strebt der Graph?

Für große x nähert sich der Graph mancher Funktionen einer waagrechten Geraden. Bei $f (x) = \frac{2 x ^{2} + 4 x}{x ^{2} + 1}$ ist das die Gerade y = 2. Man schreibt $lim_{x \to \infty} f (x) = 2$ und liest: Der Grenzwert von f für x gegen unendlich ist 2. Das linke Ende, $x \to - \infty$ , betrachtet man getrennt; hier führt es ebenfalls zu 2. Dass der Graph die Gerade zwischendurch schneidet, stört nicht: Bei $x = 0, 5$ ist $f (x) = 2$ . Entscheidend ist nur, wo der Graph am Ende bleibt, nicht, wo er unterwegs war.

Ziehe P nach rechts und nach links. Bei welchem x liegt P genau auf der roten Geraden?

Der Streifen um den Grenzwert

Was heißt „nähert sich“ genau? Man legt einen Streifen um die Gerade $y = L$ , seine Halbbreite ε darf beliebig klein sein. L ist der Grenzwert, wenn der Graph für jeden solchen Streifen ab einem x-Wert nicht mehr herausläuft. Beispiel $f (x) = 2 + \frac{1}{x}$ : Der Abstand zu 2 ist $\frac{1}{x}$ , und der ist kleiner als ε, sobald $x > \frac{1}{ε}$ gilt. Für ε = 0,5 ist das ab x = 2 so, für ε = 0,1 ab x = 10. Der Term zeigt den Grenzwert auch direkt: $\frac{1}{x}$ strebt gegen 0, also strebt $2 + \frac{1}{x}$ gegen 2. Ob der Graph die Gerade je trifft (hier nie), ist gleichgültig.

Mache den Streifen schmaler. Wie verändert sich die Stelle N, ab der der Graph im Streifen bleibt?

Ermöglicht (1)

Konvergenz und Divergenz

Klasse 11

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Leicht

Multiple Choice #1 20s ▶ Testen

Für große x nähert sich der Graph von f immer mehr der waagrechten Geraden y = 2. Was gilt dann?

● lim(x→∞) f(x) = 2
○ lim(x→2) f(x) = ∞
○ lim(x→∞) f(x) = 0

Der Grenzwert ist der y-Wert, dem der Graph für x → ∞ zustrebt: 2. Die 2 gehört zu y, nicht zu x, und die x-Achse (y = 0) ist nicht die Gerade, auf die der Graph zuläuft.

Multiple Choice #2 25s ▶ Testen

Wohin läuft der abgebildete Graph für x → +∞?

● auf y = 2 zu
○ auf y = 3,2 zu (dem höchsten Punkt)
○ auf y = 0 zu (der x-Achse)

Rechts fällt der Graph nach dem höchsten Punkt (etwa 3,2) langsam wieder ab und schmiegt sich an die Gerade y = 2 an. Der höchste Punkt ist kein Grenzwert, und die x-Achse liegt rechts weit unter dem Graphen.

Multiple Choice #3 25s ▶ Testen

Welchen Grenzwert hat f für x → +∞, wenn der abgebildete Graph zu f gehört?

● −1
○ 0
○ 2

Am rechten Ende läuft der Graph auf die waagrechte Gerade y = −1 zu, die unter der x-Achse liegt. Die 0 ist die x-Achse, die der Graph bei x ≈ 1,6 durchquert, und 2 ist nur der y-Achsenabschnitt.

Multiple Choice #4 20s ▶ Testen

Für f gilt lim(x→∞) f(x) = 3. Um y = 3 liegt ein Streifen von 2,9 bis 3,1. Was folgt daraus?

● Ab einem x-Wert liegt der Graph dauerhaft im Streifen.
○ Der Graph erreicht y = 3 nie.
○ Der Graph liegt für alle x im Streifen.

Der Grenzwert 3 bedeutet: Für jeden Streifen gibt es ein x, ab dem der Graph drin bleibt. „Für alle x“ verlangt zu viel, „nie erreichen“ wird nicht verlangt: Der Graph darf 3 sogar treffen.

Multiple Choice #5 25s ▶ Testen

Der Graph gehört zu f(x) = 2 + 1/x. Bei welchem x tritt er in den gestrichelten Streifen von 1,5 bis 2,5 ein und bleibt danach darin?

● bei x = 2
○ bei x = 1
○ bei x = 0,5

Bei x = 2 ist f(2) = 2,5: Dort erreicht der Graph den oberen Rand des Streifens und sinkt danach nur noch, bleibt aber über 2. Bei x = 1 ist f(1) = 3 und bei x = 0,5 ist f(0,5) = 4, beides außerhalb.

Wahr / Falsch #6 15s ▶ Testen

Der Graph von f(x) = 2 + 1/x trifft die Gerade y = 2 nie. Deshalb ist 2 nicht der Grenzwert.

✓ Falsch

Ob der Graph die Gerade trifft, ist für den Grenzwert unerheblich. Entscheidend ist der Streifen: Für jede Breite liegt der Graph ab einem x-Wert darin. Bei 2 + 1/x ist das für x > 1/ε der Fall.

Wahr / Falsch #7 15s ▶ Testen

Bei f(x) = 2 + 1/x liegt der Graph schon ab x = 1 dauerhaft im gestrichelten Streifen von 1,5 bis 2,5.

✓ Falsch

Bei x = 1 ist f(1) = 3, das liegt über dem Streifen. Erst ab x = 2 ist f(x) ≤ 2,5: Der Streifen wird ab 1/ε = 1/0,5 = 2 dauerhaft erreicht.

Multiple Choice #8 20s ▶ Testen

Welchen Grenzwert hat f(x) = 4 + 1/x für x → ∞?

● 4
○ 0
○ 5

1/x strebt gegen 0, also strebt 4 + 1/x gegen 4. „0“ beachtet nur den Bruch, „5“ setzt x = 1 ein.

Multiple Choice #9 20s ▶ Testen

Welche dieser Funktionen strebt für x → ∞ gegen 0?

● f(x) = 1/x²
○ f(x) = x²
○ f(x) = 2ˣ

Im Nenner wächst x² über alle Grenzen, der Bruch wird beliebig klein. x² und 2ˣ wachsen selbst über alle Grenzen.

Multiple Choice #10 25s ▶ Testen

Der abgebildete Graph gehört zu f(x) = 1/x² (rechter Ast). Welchen Grenzwert hat f für x → ∞?

● 0
○ 1
○ keinen, weil der Graph die x-Achse nie erreicht

Im Nenner wächst x² über alle Grenzen, der Bruch wird beliebig klein: Der Grenzwert ist 0. Die 1 ist nur der Wert bei x = 1, und „nie erreichen“ spricht nicht gegen einen Grenzwert.

Mittel

Zahleneingabe #1 25s ▶ Testen

Für x = 10, 100, 1000, 10000 hat f die Werte 2,1; 2,01; 2,001; 2,0001. Welchen Grenzwert hat f(x) für x → ∞?

✓ Antwort: 2

Die Werte laufen auf 2 zu, jeweils nur noch 1/x entfernt. Der Grenzwert ist 2.

Zahleneingabe #2 25s ▶ Testen

Für f(x) = 2 + 1/x soll |f(x) − 2| < 0,1 gelten, also der Graph im Streifen 2 ± 0,1 liegen. Das ist für alle x > c der Fall. Bestimme das kleinste passende c.

✓ Antwort: 10

Der Abstand zu 2 ist 1/x. Er ist kleiner als 0,1, sobald x > 1/0,1 = 10 gilt.

Zahleneingabe #3 25s ▶ Testen

Gib den Grenzwert von f(x) = 5 − 1/x für x → ∞ an.

✓ Antwort: 5

1/x strebt gegen 0, also strebt 5 − 1/x gegen 5 − 0 = 5.

Schwer

Zahleneingabe #1 40s ▶ Testen

Ein Graph läuft für x → −∞ auf die Gerade y = −1 zu und für x → +∞ auf die Gerade y = 4. Wie groß ist die Summe der beiden Grenzwerte?

✓ Antwort: 3

Die Enden betrachtet man getrennt: lim(x→−∞) f(x) = −1 und lim(x→∞) f(x) = 4. Die Summe ist −1 + 4 = 3.

Zahleneingabe #2 40s ▶ Testen

Für f(x) = 3 + 2/x soll |f(x) − 3| < 0,01 gelten. Das ist für alle x > c der Fall. Bestimme das kleinste passende c.

✓ Antwort: 200

Der Abstand zu 3 ist 2/x. 2/x < 0,01 gilt für x > 2/0,01 = 200.

Zahleneingabe #3 40s ▶ Testen

Bestimme den Grenzwert von f(x) = (3x + 1)/x für x → ∞. Tipp: Teile den Bruch auf.

✓ Antwort: 3

(3x + 1)/x = 3 + 1/x, und 1/x strebt gegen 0. Der Grenzwert ist 3.

KI-bewertete Rechnung #4 240s ▶ Testen

Zeige für f(x) = 2 + 1/x mit der Streifenvorstellung, dass lim(x→∞) f(x) = 2 gilt. Bestimme, ab welchem x der Graph für ε = 0,05 im Streifen 2 ± ε bleibt, und gib allgemein an, ab welchem x er für beliebiges ε im Streifen bleibt. Erkläre, warum der Graph die Gerade y = 2 nie trifft und warum das dem Grenzwert nicht widerspricht. Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.

✓ Antwort: Abstand zu 2: |f(x) − 2| = 1/x. Für ε = 0,05: 1/x < 0,05 genau für x > 20, ab x = 20 liegt f(x) zwischen 2 und 2,05. Allgemein: 1/x < ε genau für x > 1/ε. Also gibt es zu jedem Streifen ein N = 1/ε, ab dem der Graph im Streifen bleibt: lim(x→∞) f(x) = 2. Der Graph trifft y = 2 nie, weil 1/x ≠ 0 ist; das ist unerheblich, denn die Streifenbedingung verlangt nur, dass der Abstand beliebig klein wird.

Der Abstand des Graphen zu y = 2 ist 1/x. Er unterschreitet jede Schranke ε ab x = 1/ε: das ist die Streifenbedingung, und sie stimmt für jedes ε.