Verschieben und Strecken
Der Graph von f wird um 3 nach unten verschoben. Wie lautet der Term des neuen Graphen g?
Erklärung: Was außerhalb von f steht, wirkt direkt auf die y-Werte: „− 3“ senkt jeden Punkt um 3. f(x − 3) würde nach rechts schieben, f(x) + 3 nach oben.
Der gestrichelte Graph gehört zu f, der durchgezogene zu g. Wie hängt g mit f zusammen?
Erklärung: Der linke Gipfel liegt statt bei (−1 | 3) jetzt bei (−1 | 5), der y-Achsenabschnitt statt bei 1 bei 3: Alles ist um 2 nach oben gerückt. f(x + 2) läge weiter links, 2 · f(x) hätte den y-Achsenabschnitt 2.
Für f gilt f(2) = 3. Berechne g(2) für g(x) = f(x) − 5.
Erklärung: g(2) = f(2) − 5 = 3 − 5 = −2. Der Funktionswert wird um 5 kleiner, die Stelle 2 bleibt.
Die Normalparabel f(x) = x² wird nach oben verschoben, bis sie durch den Punkt (3 | 11) geht. Um wie viel wurde verschoben?
Erklärung: g(x) = x² + d muss bei x = 3 den Wert 11 haben: 9 + d = 11, also d = 2.
Welcher Term beschreibt den um 4 nach rechts verschobenen Graphen von f?
Erklärung: Der Graph von g soll bei x = 4 den Wert haben, den f bei x = 0 hat: g(4) = f(4 − 4). Deshalb steht − 4 in der Klammer. f(x + 4) schiebt nach links, f(x) + 4 nach oben.
Der gestrichelte Graph gehört zu f, der durchgezogene zu g. Wie hängt g mit f zusammen?
Erklärung: Der linke Gipfel (−1 | 3) ist nach (1 | 3) gewandert: Der Graph liegt um 2 weiter rechts. Das ist f(x − 2). f(x + 2) läge 2 weiter links, f(x) − 2 wäre um 2 nach unten verschoben.
Für f gilt f(1) = 4 und f(3) = 9. Berechne g(3) für g(x) = f(x − 2).
Erklärung: g(3) = f(3 − 2) = f(1) = 4. In die Klammer geht x − 2 ein, nicht die Stelle 5.
Der Scheitel der Normalparabel f(x) = x² soll bei x = −4 liegen. Mit g(x) = f(x − c) ist das für welches c der Fall?
Erklärung: Der Scheitel liegt dort, wo die Klammer 0 ist: x − c = 0 bei x = c. Also c = −4, und g(x) = (x + 4)².
Der Graph von f wird in y-Richtung mit dem Faktor 3 gestreckt. Welcher Term gehört zum neuen Graphen?
Erklärung: Der Faktor vor f multipliziert jeden y-Wert mit 3. f(3x) streckt in x-Richtung (staucht sogar), f(x) + 3 verschiebt nur.
Der gestrichelte Graph gehört zu f, der durchgezogene zu g. Wie hängt g mit f zusammen?
Erklärung: Der y-Achsenabschnitt ist von 1 auf 2 gewachsen und der linke Gipfel von (−1 | 3) auf (−1 | 6): Die y-Werte sind verdoppelt. Bei f(x) + 2 wäre der y-Achsenabschnitt 3, bei f(2x) bliebe die Höhe 3.
Für f gilt f(2) = −3. Berechne g(2) für g(x) = 2 · f(x).
Erklärung: g(2) = 2 · f(2) = 2 · (−3) = −6. Der y-Wert wird mit 2 multipliziert, das Vorzeichen bleibt.
Die Normalparabel f(x) = x² wird mit dem Faktor a in y-Richtung gestreckt, sodass g(x) = a · f(x) durch (2 | 10) geht. Bestimme a.
Erklärung: g(2) = a · 2² = 4a soll 10 sein, also a = 10 : 4 = 2,5.
Der Graph von f wird in x-Richtung auf die halbe Breite gestaucht. Welcher Term gehört zum neuen Graphen?
Erklärung: Für f(2x) wird jeder Funktionswert schon bei der halben Stelle erreicht: Der Graph ist halb so breit. f(x/2) macht ihn doppelt so breit, 0,5 · f(x) halbiert nur die Höhe.
Der gestrichelte Graph gehört zu f, der durchgezogene zu g. Wie hängt g mit f zusammen?
Erklärung: Der linke Gipfel (−1 | 3) ist nach (−0,5 | 3) gewandert, seine Höhe ist gleich geblieben: Der Graph ist in x-Richtung auf die Hälfte gestaucht. f(x/2) hätte den linken Gipfel bei (−2 | 3).
Für f gilt f(2) = 3 und f(4) = 5. Berechne g(2) für g(x) = f(2x).
Erklärung: g(2) = f(2 · 2) = f(4) = 5. Das Argument wird verdoppelt, nicht der Funktionswert.
Die markierte Nullstelle N von f liegt bei x = 6. Bei welchem x liegt die zugehörige Nullstelle des Graphen von g(x) = f(2x)?
Erklärung: g(x) = 0 genau dann, wenn f(2x) = 0, also wenn 2x = 6 ist. Das gilt für x = 3: Die Nullstelle ist auf die Hälfte gerückt.
Der Punkt P(−1 | 3) liegt auf dem Graphen von f(x) = x³ − 3x + 1. Beschreibe, wie der Graph von g(x) = 2 · f(x − 1) + 3 aus dem Graphen von f entsteht (Richtung und Größe jeder Änderung), und bestimme den Bildpunkt P′ von P auf dem Graphen von g. Kontrolliere P′ durch Einsetzen in g.
Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.
Erklärung: Die Änderungen außerhalb von f (2 · und + 3) wirken auf die y-Werte, die im Argument (x − 1) auf die x-Werte, aber nach rechts. P wandert von (−1 | 3) nach (0 | 9).