Verschieben und Strecken

Shifting and stretching

Mathematik Klasse 11 17 Aufgaben
FunktionenAbbildungenGraphen

Ändert man den Term einer Funktion, ändert man jeden Punkt des Graphen: Was außerhalb von f steht, wirkt auf die y-Werte (f(x) + d hebt, a · f(x) streckt), was im Argument steht, wirkt auf die x-Werte und scheinbar verkehrt herum (f(x − c) schiebt nach rechts, f(b · x) staucht für b > 1). Der Abschnitt räumt aus, dass f(x + 2) nach rechts verschiebe und f(2x) den Graphen strecke (Zazkis, Liljedahl und Gadowsky 2003); die Punktverfolgung P(−1 | 3) macht die Richtung überprüfbar. Er bereitet das Spiegeln, die Reihenfolge mehrerer Änderungen und später die Kettenregel vor.

Änderungen von außen: y-Richtung

Wir starten mit (gestrichelt). Der Punkt liegt auf dem Graphen. Was außerhalb von f steht, wirkt direkt auf die y-Werte: hebt jeden Punkt um d nach oben, multipliziert jeden y-Wert mit a. Bei a = 2 und d = 1 wird aus P der Punkt . Die x-Werte ändern sich nicht, und bei der Streckung bleiben die Nullstellen an ihrem Platz: Nur die Höhe wächst oder schrumpft.

Ändere a und d. Welche Koordinate des Bildpunkts P′ bleibt immer gleich?

Änderungen im Argument: x-Richtung

Steht die Änderung im Argument, wirkt sie auf die x-Werte, und zwar scheinbar verkehrt herum. verschiebt den Graphen um c nach rechts, denn jeder Funktionswert wird erst c später erreicht; verschiebt also nach links. staucht den Graphen in x-Richtung auf den b-ten Teil der Breite: Bei b = 2 ist er halb so breit, und aus P wird . Bei beiden Änderungen bleiben die y-Werte. Als Faustregel gilt: Außen wirkt es wie geschrieben, innen umgekehrt. So kann man einem Term den Graphen zuordnen: Man verfolgt einen Kennpunkt wie P und prüft, wohin er wandert.

Ändere c und b. Wohin wandert P′, wenn c wächst, und wohin, wenn b wächst?

Ermöglicht (1)

Spiegeln und Reihenfolge
Klasse 11
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Leicht
Multiple Choice #1 20s ▶ Testen

Der Graph von f wird um 3 nach unten verschoben. Wie lautet der Term des neuen Graphen g?

  • ● g(x) = f(x) − 3
  • ○ g(x) = f(x − 3)
  • ○ g(x) = f(x) + 3
Was außerhalb von f steht, wirkt direkt auf die y-Werte: „− 3“ senkt jeden Punkt um 3. f(x − 3) würde nach rechts schieben, f(x) + 3 nach oben.
Multiple Choice #2 25s ▶ Testen

Der gestrichelte Graph gehört zu f, der durchgezogene zu g. Wie hängt g mit f zusammen?

  • ● g(x) = f(x) + 2
  • ○ g(x) = f(x + 2)
  • ○ g(x) = 2 · f(x)
Der linke Gipfel liegt statt bei (−1 | 3) jetzt bei (−1 | 5), der y-Achsenabschnitt statt bei 1 bei 3: Alles ist um 2 nach oben gerückt. f(x + 2) läge weiter links, 2 · f(x) hätte den y-Achsenabschnitt 2.
Multiple Choice #3 20s ▶ Testen

Welcher Term beschreibt den um 4 nach rechts verschobenen Graphen von f?

  • ● g(x) = f(x − 4)
  • ○ g(x) = f(x + 4)
  • ○ g(x) = f(x) + 4
Der Graph von g soll bei x = 4 den Wert haben, den f bei x = 0 hat: g(4) = f(4 − 4). Deshalb steht − 4 in der Klammer. f(x + 4) schiebt nach links, f(x) + 4 nach oben.
Multiple Choice #4 25s ▶ Testen

Der gestrichelte Graph gehört zu f, der durchgezogene zu g. Wie hängt g mit f zusammen?

  • ● g(x) = f(x − 2)
  • ○ g(x) = f(x + 2)
  • ○ g(x) = f(x) − 2
Der linke Gipfel (−1 | 3) ist nach (1 | 3) gewandert: Der Graph liegt um 2 weiter rechts. Das ist f(x − 2). f(x + 2) läge 2 weiter links, f(x) − 2 wäre um 2 nach unten verschoben.
Multiple Choice #5 20s ▶ Testen

Der Graph von f wird in y-Richtung mit dem Faktor 3 gestreckt. Welcher Term gehört zum neuen Graphen?

  • ● g(x) = 3 · f(x)
  • ○ g(x) = f(3x)
  • ○ g(x) = f(x) + 3
Der Faktor vor f multipliziert jeden y-Wert mit 3. f(3x) streckt in x-Richtung (staucht sogar), f(x) + 3 verschiebt nur.
Multiple Choice #6 25s ▶ Testen

Der gestrichelte Graph gehört zu f, der durchgezogene zu g. Wie hängt g mit f zusammen?

  • ● g(x) = 2 · f(x)
  • ○ g(x) = f(x) + 2
  • ○ g(x) = f(2x)
Der y-Achsenabschnitt ist von 1 auf 2 gewachsen und der linke Gipfel von (−1 | 3) auf (−1 | 6): Die y-Werte sind verdoppelt. Bei f(x) + 2 wäre der y-Achsenabschnitt 3, bei f(2x) bliebe die Höhe 3.
Multiple Choice #7 20s ▶ Testen

Der Graph von f wird in x-Richtung auf die halbe Breite gestaucht. Welcher Term gehört zum neuen Graphen?

  • ● g(x) = f(2x)
  • ○ g(x) = f(x/2)
  • ○ g(x) = 0,5 · f(x)
Für f(2x) wird jeder Funktionswert schon bei der halben Stelle erreicht: Der Graph ist halb so breit. f(x/2) macht ihn doppelt so breit, 0,5 · f(x) halbiert nur die Höhe.
Multiple Choice #8 25s ▶ Testen

Der gestrichelte Graph gehört zu f, der durchgezogene zu g. Wie hängt g mit f zusammen?

  • ● g(x) = f(2x)
  • ○ g(x) = f(x/2)
  • ○ g(x) = 2 · f(x)
Der linke Gipfel (−1 | 3) ist nach (−0,5 | 3) gewandert, seine Höhe ist gleich geblieben: Der Graph ist in x-Richtung auf die Hälfte gestaucht. f(x/2) hätte den linken Gipfel bei (−2 | 3).
Mittel
Zahleneingabe #1 25s ▶ Testen

Für f gilt f(2) = 3. Berechne g(2) für g(x) = f(x) − 5.

✓ Antwort: -2
g(2) = f(2) − 5 = 3 − 5 = −2. Der Funktionswert wird um 5 kleiner, die Stelle 2 bleibt.
Zahleneingabe #2 25s ▶ Testen

Für f gilt f(1) = 4 und f(3) = 9. Berechne g(3) für g(x) = f(x − 2).

✓ Antwort: 4
g(3) = f(3 − 2) = f(1) = 4. In die Klammer geht x − 2 ein, nicht die Stelle 5.
Zahleneingabe #3 25s ▶ Testen

Für f gilt f(2) = −3. Berechne g(2) für g(x) = 2 · f(x).

✓ Antwort: -6
g(2) = 2 · f(2) = 2 · (−3) = −6. Der y-Wert wird mit 2 multipliziert, das Vorzeichen bleibt.
Zahleneingabe #4 25s ▶ Testen

Für f gilt f(2) = 3 und f(4) = 5. Berechne g(2) für g(x) = f(2x).

✓ Antwort: 5
g(2) = f(2 · 2) = f(4) = 5. Das Argument wird verdoppelt, nicht der Funktionswert.
Schwer
Zahleneingabe #1 40s ▶ Testen

Die Normalparabel f(x) = x² wird nach oben verschoben, bis sie durch den Punkt (3 | 11) geht. Um wie viel wurde verschoben?

✓ Antwort: 2
g(x) = x² + d muss bei x = 3 den Wert 11 haben: 9 + d = 11, also d = 2.
Zahleneingabe #2 40s ▶ Testen

Der Scheitel der Normalparabel f(x) = x² soll bei x = −4 liegen. Mit g(x) = f(x − c) ist das für welches c der Fall?

✓ Antwort: -4
Der Scheitel liegt dort, wo die Klammer 0 ist: x − c = 0 bei x = c. Also c = −4, und g(x) = (x + 4)².
Zahleneingabe #3 40s ▶ Testen

Die Normalparabel f(x) = x² wird mit dem Faktor a in y-Richtung gestreckt, sodass g(x) = a · f(x) durch (2 | 10) geht. Bestimme a.

✓ Antwort: 2.5
g(2) = a · 2² = 4a soll 10 sein, also a = 10 : 4 = 2,5.
Zahleneingabe #4 40s ▶ Testen

Die markierte Nullstelle N von f liegt bei x = 6. Bei welchem x liegt die zugehörige Nullstelle des Graphen von g(x) = f(2x)?

✓ Antwort: 3
g(x) = 0 genau dann, wenn f(2x) = 0, also wenn 2x = 6 ist. Das gilt für x = 3: Die Nullstelle ist auf die Hälfte gerückt.
KI-bewertete Rechnung #5 240s ▶ Testen

Der Punkt P(−1 | 3) liegt auf dem Graphen von f(x) = x³ − 3x + 1. Beschreibe, wie der Graph von g(x) = 2 · f(x − 1) + 3 aus dem Graphen von f entsteht (Richtung und Größe jeder Änderung), und bestimme den Bildpunkt P′ von P auf dem Graphen von g. Kontrolliere P′ durch Einsetzen in g. Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.

✓ Antwort: Streckung in y-Richtung mit dem Faktor 2, Verschiebung um 1 nach rechts (x − 1 in der Klammer), Verschiebung um 3 nach oben (+ 3 außen). Bildpunkt: x-Koordinate −1 + 1 = 0, y-Koordinate 2 · 3 + 3 = 9, also P′(0 | 9). Probe: g(0) = 2 · f(−1) + 3 = 2 · 3 + 3 = 9.
Die Änderungen außerhalb von f (2 · und + 3) wirken auf die y-Werte, die im Argument (x − 1) auf die x-Werte, aber nach rechts. P wandert von (−1 | 3) nach (0 | 9).