Welches Integral gibt den Inhalt der markierten Fläche unter dem Graphen von f(x) = x² über [1 ; 3] an?

Erklärung: Die untere Grenze 1 steht unten, die obere 3 oben, der Integrand ist f(x) = x², und dx nennt die Variable x. Bei ∫₃¹ sind die Grenzen vertauscht (Vorzeichen −), bei ∫₁³ x dx wäre der Integrand die falsche Funktion.

Die Integrale ∫₀³ x² dx und ∫₀³ t² dt haben denselben Wert.

Erklärung: Richtig. Das dx bzw. dt nennt nur den Namen der Variablen, über die integriert wird; er kann beliebig gewählt werden. Beide Integrale sind die Fläche unter der Parabel über [0 ; 3], nämlich 9.

Im Integral ∫₂⁵ f(x) dx ist die untere Grenze ___ .

Erklärung: Die untere Grenze steht unten am Integralzeichen: 2. Die obere Grenze 5 steht oben.

Wie lang ist das Integrationsintervall des Integrals ∫₋₁⁵ x³ dx?

Erklärung: Die Grenzen sind −1 und 5, die Länge ist 5 − (−1) = 6.

Wie groß ist ∫₀³ 2x dx?

Erklärung: Das Integral ist der Inhalt des Dreiecks unter der Geraden: Grundseite 3, Höhe f(3) = 6, also 3 · 6 / 2 = 9. Wer die Höhe mal die Grundseite nimmt, erhält 18 (das Rechteck).

Es gilt ∫₀³ (x − 3) dx = 4,5.

Erklärung: Falsch. Der Graph verläuft über [0 ; 3] unterhalb der x-Achse, das Dreieck (3 · 3 / 2 = 4,5 FE) geht negativ ein: ∫₀³ (x − 3) dx = −4,5.

Berechne ∫₁⁵ 3 dx.

Erklärung: Die konstante Funktion f(x) = 3 begrenzt über [1 ; 5] ein Rechteck der Breite 4 und der Höhe 3: 4 · 3 = 12.

Berechne ∫₂⁵ (x − 1) dx mithilfe der Trapezfläche.

Erklärung: Bei x = 2 ist f = 1, bei x = 5 ist f = 4. Das Trapez hat die parallelen Seiten 1 und 4 und die Breite 3: (1 + 4)/2 · 3 = 7,5.

Die Gerade f(x) = 2x − 4 schneidet die x-Achse bei x = 2. Skizziere den Graphen über [0 ; 5], berechne ∫₀⁵ (2x − 4) dx mit Dreiecksflächen und gib ∫₅⁰ (2x − 4) dx an. Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.

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Erklärung: Bilanz der beiden Dreiecke: 9 − 4 = 5. Vertauscht man die Grenzen, so wechselt das Vorzeichen: −5.

Es gilt ∫₀⁴ f(x) dx = 7. Wie groß ist ∫₄⁰ f(x) dx?

Erklärung: Vertauscht man die Grenzen, so wechselt das Vorzeichen: ∫₄⁰ f = −∫₀⁴ f = −7. Der Wert 7 ignoriert die Richtung, 0 gilt nur bei gleichen Grenzen.

Es gilt ∫₀² f(x) dx = 3 und ∫₂⁵ f(x) dx = 4. Wie groß ist ∫₀⁵ f(x) dx?

Erklärung: Das Intervall [0 ; 5] besteht aus [0 ; 2] und [2 ; 5]: Die Bilanzen addieren sich, 3 + 4 = 7. Das Produkt 12 oder die Differenz 1 sind keine Bilanz.

Es gilt ∫₃³ (x² + 5) dx = 0.

Erklärung: Richtig. Das Intervall [3 ; 3] hat die Länge 0, es liegt keine Fläche zwischen den Grenzen — unabhängig vom Integranden.

Es gilt ∫₁³ f(x) dx = 2,5 und ∫₁⁶ f(x) dx = 8. Berechne ∫₃⁶ f(x) dx.

Erklärung: [1 ; 6] besteht aus [1 ; 3] und [3 ; 6]: 8 = 2,5 + ∫₃⁶ f. Also ∫₃⁶ f = 8 − 2,5 = 5,5.

Es gilt ∫₀³ (x − 3) dx = −4,5 und ∫₀⁵ (x − 3) dx = −2,5. Berechne ∫₅³ (x − 3) dx.

Erklärung: ∫₃⁵ = ∫₀⁵ − ∫₀³ = −2,5 − (−4,5) = 2. Bei vertauschten Grenzen (von 5 nach 3) wechselt das Vorzeichen: ∫₅³ = −2.

Es gilt ∫₀² f(x) dx = 5. Wie groß ist ∫₀² 3·f(x) dx?

Erklärung: Ein konstanter Faktor lässt sich vor das Integral ziehen: ∫ 3f = 3 · ∫ f = 15. Die Summe 8 addiert den Faktor, 5 ignoriert ihn.

Für f(x) = 1 und g(x) = 1 gilt ∫₀² f(x)·g(x) dx = ∫₀² f(x) dx · ∫₀² g(x) dx.

Erklärung: Falsch. Links ist ∫₀² 1 dx = 2, rechts 2 · 2 = 4. Das Integral eines Produkts ist nicht das Produkt der Integrale; nur Faktoren und Summen zerlegen sich.

Es gilt ∫₂⁷ f(x) dx = −1,5. Berechne ∫₂⁷ (−4·f(x)) dx.

Erklärung: Der Faktor −4 kommt vor das Integral: −4 · (−1,5) = 6.

Es gilt ∫₁⁵ f(x) dx = 9 und ∫₁⁵ g(x) dx = 4. Berechne ∫₁⁵ (2f(x) − g(x)) dx.

Erklärung: Summe und Faktor einzeln: 2 · 9 − 4 = 14.

Für f(x) = x² auf [0 ; 2] ist U₁₀₀ = 2,6268 und O₁₀₀ = 2,7068. Welche Zahl ist ∫₀² x² dx?

Erklärung: Das Integral ist der gemeinsame Grenzwert der Summen, hier 8/3 ≈ 2,6667. Jede einzelne Summe schließt es nur ein: Der Mittelwert 2,6668 liegt nah dran, ist aber eine Näherung, und die Obersumme ist immer zu groß.

Mit genügend vielen Streifen wird die Untersumme von x² auf [0 ; 2] genau gleich ∫₀² x² dx.

Erklärung: Falsch. Jedes Untersummen-Rechteck bleibt unter der Kurve, also ist U_n für jedes n kleiner als 8/3 (U₁₀₀ = 2,6268). Erst der Grenzwert für n → ∞ ist das Integral.

Für f(x) = x − 2 auf [0 ; 2] bildet man Unter- und Obersummen mit immer mehr Streifen. Auf welche Zahl laufen beide zu?

Erklärung: Die Gerade liegt auf [0 ; 2] unter der Achse, das Dreieck hat Grundseite 2 und Höhe 2, also 2 FE. Die Summen zählen es negativ: Grenzwert −2 = ∫₀² (x − 2) dx.

Für f(x) = 3 − x auf [0 ; 3] gilt Uₙ = 4,5 − 4,5/n und Oₙ = 4,5 + 4,5/n. Wie groß ist ∫₀³ (3 − x) dx?

Erklärung: Für n → ∞ gehen 4,5/n gegen 0, beide Summen laufen auf 4,5 zu. Probe mit dem Dreieck: Grundseite 3, Höhe 3, also 3 · 3 / 2 = 4,5.

Aufgabe 1 von 22