Das bestimmte Integral

The definite integral

Mathematik Klasse 13 22 Aufgaben

AnalysisIntegrationBestimmtes Integral

Das bestimmte Integral ∫ₐᵇ f(x) dx ist der gemeinsame Grenzwert von Ober- und Untersummen und liest sich als Flächenbilanz. Der Abschnitt klärt die Schreibweise (Grenzen, Integrand, dx als Platzhalter), berechnet Integrale von Geraden aus Rechteck, Dreieck und Trapez und stellt die Rechenregeln auf: Grenzen vertauschen, Intervalle zerlegen, Faktoren und Summen herausziehen. Er räumt aus, dass sich das Integral eines Produkts in das Produkt der Integrale zerlegt. Er bereitet die Integralfunktion und die Berechnung mit Stammfunktionen vor.

Der Grenzwert der Summen

Im Kurs zur Sekante wurde der Abstand der beiden Punkte immer kleiner, bis aus der Sekantensteigung die Tangentensteigung wurde: bei $x^{2}$ an der Stelle 2 aus $4 + h$ für h gegen 0 die Zahl 4. Dasselbe geschieht jetzt mit den Streifen. Für $x^{2}$ auf [0 ; 2] ist $Δ x = \frac{2}{n}$ , und der Abstand zwischen Untersumme und Obersumme, 8/n, geht mit wachsendem n gegen 0.

Erhöhe n bis 100. Zwischen welchen Werten liegt die Fläche dann, und auf welche Zahl laufen beide Summen zu?

Bei n = 10 liegen die Summen bei 2,28 und 3,08, bei n = 100 bei 2,6268 und 2,7068. Beide laufen auf dieselbe Zahl zu, auf $\frac{8}{3} \approx 2, 667$ , und das ist weniger als die 4 aus der Einleitung. Diese Zahl heißt bestimmtes Integral von x² über [0 ; 2]:

$\int_{0}^{2} x^{2} d x = \frac{8}{3}$

Gelesen: „Integral von 0 bis 2 über x² dx“. Die Zahlen 0 und 2 sind die Grenzen, x² ist der Integrand, und dx nennt die Variable. Sie ist nur ein Platzhalter: $\int_{0}^{2} x^{2} d x = \int_{0}^{2} t^{2} d t$ . Das Wort „bestimmt“ meint: Die Grenzen sind fest, das Ergebnis ist eine Zahl.

Liegt der Graph teilweise unter der Achse, gilt dieselbe Definition, nur enthalten die Summen negative Beiträge. Für x − 2 auf [0 ; 2] liefen sie bei der Flächenbilanz auf −⁠2 zu, also ist $\int_{0}^{2} (x - 2) d x = - 2$ . Das Integral ist die Flächenbilanz, nicht der Flächeninhalt.

Integrale aus Flächen

Bei Geraden braucht man keine Summen: Das Integral ist der Inhalt von Rechteck, Dreieck oder Trapez, mit Vorzeichen, wie bei den Dreiecken von x − 2. Für $f (x) = 2 x$ ist $\int_{0}^{b} 2 x d x$ ein Dreieck mit der Grundseite b und der Höhe 2b.

Stelle die Grenze b auf 1, 2 und 3 und lies den Chip ab. Welcher Term in b liefert alle drei Werte?

Der Chip zeigt 1, 4 und 9: Das Dreieck hat den Inhalt $\frac{b \cdot 2 b}{2} = b^{2}$ . Ein Trapez liest man ebenso: $\int_{1}^{3} (x + 1) d x$ hat die parallelen Seiten 2 und 4 und die Breite 2, also $\frac{2 + 4}{2} \cdot 2 = 6$ .

Rechenregeln

Weil das Integral eine Bilanz ist, darf man zerlegen. Im Bild teilt der Punkt c das Intervall [0 ; 6] unter x − 2 in zwei Stücke, und die beiden Teile ergeben zusammen das Ganze: $\int_{0}^{6} f = \int_{0}^{c} f + \int_{c}^{6} f$ .

Verschiebe c zwischen 0 und 6. Wie ändern sich die beiden Teile, und welcher Chip bleibt gleich?

Bei c = 4 zerfällt die Bilanz 6 in 0 und 6, bei c = 2 in −⁠2 und 8. Allgemein gilt $\int_{a}^{c} f = \int_{a}^{b} f + \int_{b}^{c} f$ . Vertauscht man die Grenzen, wechselt das Vorzeichen: $\int_{6}^{4} (x - 2) d x = - 6$ , allgemein $\int_{b}^{a} f = - \int_{a}^{b} f$ , und bei gleichen Grenzen ist $\int_{a}^{a} f = 0$ .

Faktoren und Summen zerlegen sich ebenfalls. Wird die Kurve k-mal so hoch, wird jedes Rechteck der Summen k-mal so hoch, und das Integral auch: $\int k \cdot f = k \int f$ . Ebenso gilt $\int (f + g) = \int f + \int g$ . So ist $\int_{0}^{2} 3 x^{2} d x = 3 \cdot \frac{8}{3} = 8$ .

Verändere k. Gestrichelt bleibt x² stehen: Um welchen Faktor wächst die Fläche, wenn die Kurve k-mal so hoch wird?

Für Produkte gilt das nicht: $\int_{0}^{2} x \cdot x d x = \frac{8}{3}$ , aber $\int_{0}^{2} x d x \cdot \int_{0}^{2} x d x = 2 \cdot 2 = 4$ .

Voraussetzungen (2)

Flächen als Bilanz

Klasse 13

›

Ober- und Untersummen

Klasse 13

›

Ermöglicht (1)

Die Integralfunktion

Klasse 13

›

Leicht

Multiple Choice #1 25s ▶ Testen

Welches Integral gibt den Inhalt der markierten Fläche unter dem Graphen von f(x) = x² über [1 ; 3] an?

● ∫₁³ x² dx
○ ∫₃¹ x² dx
○ ∫₁³ x dx

Die untere Grenze 1 steht unten, die obere 3 oben, der Integrand ist f(x) = x², und dx nennt die Variable x. Bei ∫₃¹ sind die Grenzen vertauscht (Vorzeichen −), bei ∫₁³ x dx wäre der Integrand die falsche Funktion.

Wahr / Falsch #2 15s ▶ Testen

Die Integrale ∫₀³ x² dx und ∫₀³ t² dt haben denselben Wert.

✓ Wahr

Richtig. Das dx bzw. dt nennt nur den Namen der Variablen, über die integriert wird; er kann beliebig gewählt werden. Beide Integrale sind die Fläche unter der Parabel über [0 ; 3], nämlich 9.

Multiple Choice #3 25s ▶ Testen

Wie groß ist ∫₀³ 2x dx?

● 9
○ 18
○ 6

Das Integral ist der Inhalt des Dreiecks unter der Geraden: Grundseite 3, Höhe f(3) = 6, also 3 · 6 / 2 = 9. Wer die Höhe mal die Grundseite nimmt, erhält 18 (das Rechteck).

Wahr / Falsch #4 15s ▶ Testen

Es gilt ∫₀³ (x − 3) dx = 4,5.

✓ Falsch

Falsch. Der Graph verläuft über [0 ; 3] unterhalb der x-Achse, das Dreieck (3 · 3 / 2 = 4,5 FE) geht negativ ein: ∫₀³ (x − 3) dx = −4,5.

Multiple Choice #5 20s ▶ Testen

Es gilt ∫₀⁴ f(x) dx = 7. Wie groß ist ∫₄⁰ f(x) dx?

● −7
○ 7
○ 0

Vertauscht man die Grenzen, so wechselt das Vorzeichen: ∫₄⁰ f = −∫₀⁴ f = −7. Der Wert 7 ignoriert die Richtung, 0 gilt nur bei gleichen Grenzen.

Multiple Choice #6 20s ▶ Testen

Es gilt ∫₀² f(x) dx = 3 und ∫₂⁵ f(x) dx = 4. Wie groß ist ∫₀⁵ f(x) dx?

● 7
○ 12
○ 1

Das Intervall [0 ; 5] besteht aus [0 ; 2] und [2 ; 5]: Die Bilanzen addieren sich, 3 + 4 = 7. Das Produkt 12 oder die Differenz 1 sind keine Bilanz.

Wahr / Falsch #7 15s ▶ Testen

Es gilt ∫₃³ (x² + 5) dx = 0.

✓ Wahr

Richtig. Das Intervall [3 ; 3] hat die Länge 0, es liegt keine Fläche zwischen den Grenzen — unabhängig vom Integranden.

Multiple Choice #8 20s ▶ Testen

Es gilt ∫₀² f(x) dx = 5. Wie groß ist ∫₀² 3·f(x) dx?

● 15
○ 8
○ 5

Ein konstanter Faktor lässt sich vor das Integral ziehen: ∫ 3f = 3 · ∫ f = 15. Die Summe 8 addiert den Faktor, 5 ignoriert ihn.

Wahr / Falsch #9 15s ▶ Testen

Für f(x) = 1 und g(x) = 1 gilt ∫₀² f(x)·g(x) dx = ∫₀² f(x) dx · ∫₀² g(x) dx.

✓ Falsch

Falsch. Links ist ∫₀² 1 dx = 2, rechts 2 · 2 = 4. Das Integral eines Produkts ist nicht das Produkt der Integrale; nur Faktoren und Summen zerlegen sich.

Multiple Choice #10 25s ▶ Testen

Für f(x) = x² auf [0 ; 2] ist U₁₀₀ = 2,6268 und O₁₀₀ = 2,7068. Welche Zahl ist ∫₀² x² dx?

● die Zahl, auf die U_n und O_n beide zulaufen, wenn n wächst
○ der Mittelwert 2,6668 von U₁₀₀ und O₁₀₀
○ die Obersumme 2,7068, weil sie die ganze Fläche überdeckt

Das Integral ist der gemeinsame Grenzwert der Summen, hier 8/3 ≈ 2,6667. Jede einzelne Summe schließt es nur ein: Der Mittelwert 2,6668 liegt nah dran, ist aber eine Näherung, und die Obersumme ist immer zu groß.

Wahr / Falsch #11 20s ▶ Testen

Mit genügend vielen Streifen wird die Untersumme von x² auf [0 ; 2] genau gleich ∫₀² x² dx.

✓ Falsch

Falsch. Jedes Untersummen-Rechteck bleibt unter der Kurve, also ist U_n für jedes n kleiner als 8/3 (U₁₀₀ = 2,6268). Erst der Grenzwert für n → ∞ ist das Integral.

Mittel

Lückentext #1 10s ▶ Testen

Im Integral ∫₂⁵ f(x) dx ist die untere Grenze ___ .

✓ Antwort: 2

Die untere Grenze steht unten am Integralzeichen: 2. Die obere Grenze 5 steht oben.

Zahleneingabe #2 15s ▶ Testen

Berechne ∫₁⁵ 3 dx.

✓ Antwort: 12

Die konstante Funktion f(x) = 3 begrenzt über [1 ; 5] ein Rechteck der Breite 4 und der Höhe 3: 4 · 3 = 12.

Zahleneingabe #3 25s ▶ Testen

Es gilt ∫₁³ f(x) dx = 2,5 und ∫₁⁶ f(x) dx = 8. Berechne ∫₃⁶ f(x) dx.

✓ Antwort: 5.5

[1 ; 6] besteht aus [1 ; 3] und [3 ; 6]: 8 = 2,5 + ∫₃⁶ f. Also ∫₃⁶ f = 8 − 2,5 = 5,5.

Zahleneingabe #4 25s ▶ Testen

Es gilt ∫₂⁷ f(x) dx = −1,5. Berechne ∫₂⁷ (−4·f(x)) dx.

✓ Antwort: 6

Der Faktor −4 kommt vor das Integral: −4 · (−1,5) = 6.

Zahleneingabe #5 25s ▶ Testen

Für f(x) = x − 2 auf [0 ; 2] bildet man Unter- und Obersummen mit immer mehr Streifen. Auf welche Zahl laufen beide zu?

✓ Antwort: -2

Die Gerade liegt auf [0 ; 2] unter der Achse, das Dreieck hat Grundseite 2 und Höhe 2, also 2 FE. Die Summen zählen es negativ: Grenzwert −2 = ∫₀² (x − 2) dx.

Schwer

Zahleneingabe #1 15s ▶ Testen

Wie lang ist das Integrationsintervall des Integrals ∫₋₁⁵ x³ dx?

✓ Antwort: 6

Die Grenzen sind −1 und 5, die Länge ist 5 − (−1) = 6.

Zahleneingabe #2 40s ▶ Testen

Berechne ∫₂⁵ (x − 1) dx mithilfe der Trapezfläche.

✓ Antwort: 7.5

Bei x = 2 ist f = 1, bei x = 5 ist f = 4. Das Trapez hat die parallelen Seiten 1 und 4 und die Breite 3: (1 + 4)/2 · 3 = 7,5.

KI-bewertete Rechnung #3 240s ▶ Testen

Die Gerade f(x) = 2x − 4 schneidet die x-Achse bei x = 2. Skizziere den Graphen über [0 ; 5], berechne ∫₀⁵ (2x − 4) dx mit Dreiecksflächen und gib ∫₅⁰ (2x − 4) dx an. Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.

✓ Antwort: Skizze mit Nullstelle x = 2. Unten Dreieck über [0 ; 2] mit Höhe 4: 2 · 4 / 2 = 4, zählt −4. Oben Dreieck über [2 ; 5] mit Höhe 6: 3 · 6 / 2 = 9. ∫₀⁵ (2x − 4) dx = 9 − 4 = 5. Bei vertauschten Grenzen wechselt das Vorzeichen: ∫₅⁰ (2x − 4) dx = −5.

Bilanz der beiden Dreiecke: 9 − 4 = 5. Vertauscht man die Grenzen, so wechselt das Vorzeichen: −5.

Zahleneingabe #4 40s ▶ Testen

Es gilt ∫₀³ (x − 3) dx = −4,5 und ∫₀⁵ (x − 3) dx = −2,5. Berechne ∫₅³ (x − 3) dx.

✓ Antwort: -2

∫₃⁵ = ∫₀⁵ − ∫₀³ = −2,5 − (−4,5) = 2. Bei vertauschten Grenzen (von 5 nach 3) wechselt das Vorzeichen: ∫₅³ = −2.

Zahleneingabe #5 30s ▶ Testen

Es gilt ∫₁⁵ f(x) dx = 9 und ∫₁⁵ g(x) dx = 4. Berechne ∫₁⁵ (2f(x) − g(x)) dx.

✓ Antwort: 14

Summe und Faktor einzeln: 2 · 9 − 4 = 14.

Zahleneingabe #6 30s ▶ Testen

Für f(x) = 3 − x auf [0 ; 3] gilt Uₙ = 4,5 − 4,5/n und Oₙ = 4,5 + 4,5/n. Wie groß ist ∫₀³ (3 − x) dx?

✓ Antwort: 4.5

Für n → ∞ gehen 4,5/n gegen 0, beide Summen laufen auf 4,5 zu. Probe mit dem Dreieck: Grundseite 3, Höhe 3, also 3 · 3 / 2 = 4,5.