Das markierte Flächenstück (3 Flächeneinheiten, FE) liegt unterhalb der x-Achse. Welchen Beitrag liefert es zur Flächenbilanz?

Erklärung: Unterhalb der x-Achse zählt ein Stück negativ: Es trägt −3 FE bei. Wer +3 nimmt, behandelt die Bilanz wie einen reinen Flächeninhalt; 0 FE würde heißen, dass das Stück gar nicht zählt.

Welches der drei Flächenstücke geht mit negativem Vorzeichen in die Bilanz ein?

Erklärung: A₂ liegt unterhalb der x-Achse und zählt deshalb negativ. A₁ und A₃ liegen oberhalb und zählen positiv.

Liegt der Graph von f auf [1 ; 4] unterhalb der x-Achse und schließt dort 5 FE mit ihr ein, so liefert dieses Stück den Beitrag −5 FE zur Bilanz.

Erklärung: Richtig. Unterhalb der Achse zählt das Stück negativ: −5 FE. Der Betrag 5 FE ist sein Flächeninhalt, der Beitrag zur Bilanz trägt das Vorzeichen.

Ein Flächenstück mit 7 FE liegt unterhalb der x-Achse. Welchen Beitrag (in FE) liefert es zur Bilanz?

Erklärung: Unterhalb der x-Achse gilt das Vorzeichen −: Beitrag −7 FE.

Die Funktion f hat den konstanten Wert f(x) = −3. Wie groß ist die Bilanz über dem Intervall [1 ; 5] (in FE)?

Erklärung: Das Rechteck hat die Breite 5 − 1 = 4 und die Höhe 3, liegt aber unterhalb der Achse: Bilanz −3 · 4 = −12 FE.

Zwischen dem Graphen von f und der x-Achse liegen oberhalb der Achse 6 FE und unterhalb 2 FE. Wie groß ist die Bilanz?

Erklärung: Bilanz = Fläche oberhalb − Fläche unterhalb = 6 − 2 = 4 FE. Die Summe 8 wäre der Flächeninhalt insgesamt; −4 vertauscht die Reihenfolge.

Die Gerade f(x) = x − 2 schließt über [0 ; 5] mit der x-Achse zwei Dreiecke ein. Wie groß ist die Bilanz?

Erklärung: Unten liegt ein Dreieck mit Grundseite 2 und Höhe 2 (2 FE), oben eines mit Grundseite 3 und Höhe 3 (4,5 FE). Bilanz 4,5 − 2 = 2,5 FE. 6,5 FE wäre die Summe, 4,5 FE ließe das untere Dreieck weg.

Oberhalb der x-Achse liegen 9,5 FE, unterhalb 12 FE. Wie groß ist die Bilanz (in FE)?

Erklärung: 9,5 − 12 = −2,5 FE: Unterhalb liegt mehr Fläche, die Bilanz ist negativ.

Die Gerade f(x) = 2x − 4 schneidet die x-Achse bei x = 2. Wie groß ist die Bilanz über [0 ; 5] (in FE)?

Erklärung: Unten: Dreieck über [0 ; 2] mit Höhe 4, Inhalt 2 · 4 / 2 = 4 FE. Oben: Dreieck über [2 ; 5] mit Höhe 6, Inhalt 3 · 6 / 2 = 9 FE. Bilanz 9 − 4 = 5 FE.

Die Gerade f(x) = 2x − 6 begrenzt über [0 ; 5] zwei Flächenstücke mit der x-Achse. Skizziere den Graphen, berechne beide Stücke mit der Dreiecksformel und gib die Bilanz sowie den Flächeninhalt insgesamt an. Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.

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Erklärung: Die Nullstelle x = 3 teilt die Fläche in zwei Dreiecke. Für die Bilanz wird das untere Stück abgezogen (4 − 9 = −5 FE), für den Flächeninhalt insgesamt addiert (13 FE).

Für f(x) = x − 2 ist die Bilanz über [0 ; 4] gleich 0. Wie groß ist der Flächeninhalt zwischen Graph und x-Achse insgesamt?

Erklärung: Zwei Dreiecke mit je 2 FE gleichen sich in der Bilanz aus (2 − 2 = 0); der Flächeninhalt ist 2 + 2 = 4 FE. Bilanz 0 heißt Ausgleich, nicht „keine Fläche“. 2 FE beachtet nur ein Dreieck.

Die Bilanz von f(x) = x³ über [−1 ; 1] ist 0. Daraus folgt, dass f(x) = 0 für alle x aus [−1 ; 1] gilt.

Erklärung: Falsch. f(0,5) = 0,125 ≠ 0. Die Stücke links (unterhalb) und rechts (oberhalb) sind gleich groß und gleichen sich aus, obwohl der Graph nicht auf der Achse liegt.

Über [0 ; 6] liegen 3 FE oberhalb und 3 FE unterhalb der x-Achse. Wie groß ist der Flächeninhalt insgesamt (in FE)?

Erklärung: Der Flächeninhalt addiert die Beträge: 3 + 3 = 6 FE. Die Bilanz wäre 3 − 3 = 0.

Die Gerade f(x) = x − 1 schneidet die x-Achse bei x = 1. Wie groß ist der Flächeninhalt insgesamt zwischen dem Graphen und der x-Achse über [0 ; 5] (in FE)?

Erklärung: Unten: 1 · 1 / 2 = 0,5 FE über [0 ; 1]. Oben: 4 · 4 / 2 = 8 FE über [1 ; 5]. Gesamt 0,5 + 8 = 8,5 FE (die Bilanz wäre 8 − 0,5 = 7,5).

Der Graph von f(x) = x³ schließt über [0 ; 2] mit der x-Achse 4 FE ein. Wie groß ist die Bilanz über [−2 ; 2]?

Erklärung: Der Graph ist punktsymmetrisch zum Ursprung: Das Stück über [−2 ; 0] liegt unterhalb der Achse und ist ebenfalls 4 FE groß. Bilanz 4 − 4 = 0 FE. 8 FE wäre der Flächeninhalt insgesamt.

Für f(x) = x² ist die Bilanz über [−3 ; 3] gleich 0.

Erklärung: Falsch. x² ist nie negativ, beide Hälften liegen oberhalb der Achse und addieren sich: Bilanz 2 · 9 = 18 FE. Der Ausgleich klappt nur bei punktsymmetrischen Graphen, nicht bei achsensymmetrischen.

Die Funktion f(x) = x⁵ − x ist punktsymmetrisch zum Ursprung. Wie groß ist die Bilanz über [−4 ; 4]?

Erklärung: Zu jedem Stück links gibt es rechts ein gleich großes Stück mit entgegengesetztem Vorzeichen: Die Bilanz ist 0.

f ist punktsymmetrisch zum Ursprung, und über [0 ; 3] liegt der Graph oberhalb der x-Achse und schließt dort 4,5 FE ein. Wie groß ist der Flächeninhalt insgesamt zwischen Graph und x-Achse über [−3 ; 3] (in FE)?

Erklärung: Rechts 4,5 FE oberhalb, links spiegelt sich das Stück unterhalb der Achse mit ebenfalls 4,5 FE. Bilanz 0, aber Flächeninhalt 4,5 + 4,5 = 9 FE.

Aufgabe 1 von 18