Flächen als Bilanz
Areas as a balance
Die Summen aus dem ersten Abschnitt rechnen Höhe mal Breite. Taucht der Graph unter die x-Achse, werden die Höhen negativ und die Summen auch: Stücke oberhalb zählen positiv, Stücke unterhalb negativ. Diese Summe mit Vorzeichen ist die Flächenbilanz, die Summe der Beträge der Flächeninhalt insgesamt. Der Abschnitt räumt zwei Fehlvorstellungen aus: „Ein Integral ist immer ein Flächeninhalt“ und „Bilanz 0 heißt keine Fläche“, und er nutzt die Punktsymmetrie als Argument, ohne zu rechnen. Er bereitet das bestimmte Integral als Grenzwert der Summen mit Vorzeichen und später die Fläche zwischen Graphen vor, bei der man an Nullstellen zerlegt.
Rechtecke unter der Achse
Nimm statt der Parabel die Gerade
Bei b = 2 und n = 4 hat die Untersumme die Höhen −2; −1,5; −1 und −0,5, also
Daraus wird eine Regel. Ein Stück
Bilanz und Flächeninhalt
Schiebt man die
Bei b = 4 gleichen sich die beiden Dreiecke aus, jedes hat 2 FE: Die Bilanz ist 0, die Fläche insgesamt 4 FE. „Bilanz 0“ heißt also nicht „keine Fläche“.
Symmetrie als Argument
Ist der Graph punktsymmetrisch zum Ursprung, etwa bei
Punktsymmetrie heißt
Bei
Voraussetzungen (1)
Ermöglicht (1)
Das markierte Flächenstück (3 Flächeneinheiten, FE) liegt unterhalb der x-Achse. Welchen Beitrag liefert es zur Flächenbilanz?
Welches der drei Flächenstücke geht mit negativem Vorzeichen in die Bilanz ein?
Liegt der Graph von f auf [1 ; 4] unterhalb der x-Achse und schließt dort 5 FE mit ihr ein, so liefert dieses Stück den Beitrag −5 FE zur Bilanz.
Zwischen dem Graphen von f und der x-Achse liegen oberhalb der Achse 6 FE und unterhalb 2 FE. Wie groß ist die Bilanz?
Die Gerade f(x) = x − 2 schließt über [0 ; 5] mit der x-Achse zwei Dreiecke ein. Wie groß ist die Bilanz?
Für f(x) = x − 2 ist die Bilanz über [0 ; 4] gleich 0. Wie groß ist der Flächeninhalt zwischen Graph und x-Achse insgesamt?
Die Bilanz von f(x) = x³ über [−1 ; 1] ist 0. Daraus folgt, dass f(x) = 0 für alle x aus [−1 ; 1] gilt.
Der Graph von f(x) = x³ schließt über [0 ; 2] mit der x-Achse 4 FE ein. Wie groß ist die Bilanz über [−2 ; 2]?
Für f(x) = x² ist die Bilanz über [−3 ; 3] gleich 0.
Ein Flächenstück mit 7 FE liegt unterhalb der x-Achse. Welchen Beitrag (in FE) liefert es zur Bilanz?
Oberhalb der x-Achse liegen 9,5 FE, unterhalb 12 FE. Wie groß ist die Bilanz (in FE)?
Über [0 ; 6] liegen 3 FE oberhalb und 3 FE unterhalb der x-Achse. Wie groß ist der Flächeninhalt insgesamt (in FE)?
Die Funktion f(x) = x⁵ − x ist punktsymmetrisch zum Ursprung. Wie groß ist die Bilanz über [−4 ; 4]?
Die Funktion f hat den konstanten Wert f(x) = −3. Wie groß ist die Bilanz über dem Intervall [1 ; 5] (in FE)?
Die Gerade f(x) = 2x − 4 schneidet die x-Achse bei x = 2. Wie groß ist die Bilanz über [0 ; 5] (in FE)?
Die Gerade f(x) = 2x − 6 begrenzt über [0 ; 5] zwei Flächenstücke mit der x-Achse. Skizziere den Graphen, berechne beide Stücke mit der Dreiecksformel und gib die Bilanz sowie den Flächeninhalt insgesamt an. Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.
Die Gerade f(x) = x − 1 schneidet die x-Achse bei x = 1. Wie groß ist der Flächeninhalt insgesamt zwischen dem Graphen und der x-Achse über [0 ; 5] (in FE)?
f ist punktsymmetrisch zum Ursprung, und über [0 ; 3] liegt der Graph oberhalb der x-Achse und schließt dort 4,5 FE ein. Wie groß ist der Flächeninhalt insgesamt zwischen Graph und x-Achse über [−3 ; 3] (in FE)?