Der Hauptsatz
Eine Funktion f hat bei x = 4 den Wert f(4) = 3. Wie groà ist die Fläche des schmalen Streifens zwischen x = 4 und x = 4,01 ungefähr?
Erklärung: Der Streifen ist fast ein Rechteck der HĂśhe f(4) = 3 und der Breite 0,01: Fläche â 3 ¡ 0,01 = 0,03. Die 3 ist nur die HĂśhe, 300 wäre 3 : 0,01.
Ein Streifen der Breite h = 0,02 ab der Stelle x hat die Fläche 0,062. Welchen Wert hat f(x) ungefähr?
Erklärung: Fläche â f(x) ¡ h, also f(x) â 0,062 / 0,02 = 3,1. Die Fläche selbst (0,062) ist nicht die HĂśhe; das Produkt 0,062 ¡ 0,02 = 0,00124 wäre der falsche Weg.
Fßr f(t) = t²/4 ist die Fläche des Streifens von x = 3 bis x = 3,5 genau f(3) ¡ 0,5.
Erklärung: Falsch, nur ungefähr. f(3) ¡ 0,5 = 1,125 ist das Rechteck, der Streifen ist 1,323 groĂ, weil f rechts hĂśher wird. Erst fĂźr h â 0 verschwindet der Unterschied im Verhältnis zur Breite.
Der Funktionswert f(x) ist 8. Wie groà ist die Fläche eines Streifens der Breite h = 0,05 ab x ungefähr?
Erklärung: 8 ¡ 0,05 = 0,4.
Fßr eine Integralfunktion I gilt I(2) = 5 und I(2,1) = 5,37. Bestimme f(2) näherungsweise.
Erklärung: Der Streifen von 2 bis 2,1 hat die Fläche I(2,1) â I(2) = 0,37. Fläche â f(2) ¡ 0,1, also f(2) â 0,37 / 0,1 = 3,7.
Es sei f(t) = 0,5t + 1 und I(x) eine Integralfunktion von f. Der Streifen von x = 2 bis x = 2 + h ist ein Trapez. Berechne seine Fläche in Abhängigkeit von h, teile durch h und lass h gegen 0 gehen. Was fällt dir auf?
Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.
Erklärung: Streifenfläche 2h + 0,25h², Quotient 2 + 0,25h â 2 = f(2). Die Fläche wächst an der Stelle 2 mit der Rate f(2) â das ist die Aussage des Hauptsatzes.
Es sei f(t) = t²/2 â 2 und Iâ(x) = âŤâËŁ f(t) dt. Welche Steigung hat der Graph von Iâ an der Stelle x = 2?
Erklärung: Die Steigung der Integralfunktion ist der Funktionswert: Iââ˛(2) = f(2) = 2 â 2 = 0 â dort liegt eine waagerechte Tangente. â2,67 ist der Wert Iâ(2) (die HĂśhe des Graphen), 2 ist fâ˛(2), die Steigung von f.
Es sei F(x) = âŤâËŁ 2t dt = x². Dann gilt Fâ˛(x) = x².
Erklärung: Falsch. Fâ˛(x) = (x²)Ⲡ= 2x, das ist der Integrand f(x) = 2x. Der Term x² ist F(x) selbst, nicht seine Ableitung.
Im Bild ist der Graph von f(t) = t â 2 gezeigt. Bei welchem x hat die Integralfunktion Iâ eine waagerechte Tangente?
Erklärung: Die Steigung von Iâ ist f(x). Sie ist 0, wo f(x) = 0 gilt, also bei der Nullstelle x = 2. Bei x = 0 ist f(0) = â2: Dort fällt Iâ mit der Steigung â2.
Es sei f(t) = 5 â t und Iâ(x) = âŤâËŁ f(t) dt. Welche Steigung hat Iâ an der Stelle x = 3?
Erklärung: Iââ˛(3) = f(3) = 5 â 3 = 2.
Es sei f(t) = t²/2 â 2 und Iâ(x) = âŤâËŁ f(t) dt. FĂźr welches x > 0 hat Iâ die Steigung 6?
Erklärung: Iââ˛(x) = f(x) = 6 â x²/2 â 2 = 6 â x² = 16, also x = 4 (x > 0).
Es sei I(x) = âŤâËŁ (t² + 3t) dt. Welche Ableitung hat I?
Erklärung: Nach dem Hauptsatz ist die Ableitung der Integralfunktion der Integrand an der Stelle x: Iâ˛(x) = x² + 3x. 2x + 3 wäre die Ableitung des Integranden, xÂł/3 + 3x²/2 eine Stammfunktion des Integranden â beides liegt eine Stufe daneben.
Die Integralfunktionen Iâ(x) = âŤâËŁ f(t) dt und Iâ
(x) = âŤâ
ËŁ f(t) dt haben dieselbe Ableitung.
Erklärung: Richtig. Beide haben die Ableitung f(x); die untere Grenze verschiebt nur den Graphen von I um eine Konstante, und Konstanten fallen beim Ableiten weg.
Es sei I(x) = âŤâËŁ (3t² + 1) dt. Berechne Iâ˛(2).
Erklärung: Iâ˛(x) = 3x² + 1, also Iâ˛(2) = 3 ¡ 4 + 1 = 13. Die untere Grenze 2 spielt fĂźr die Ableitung keine Rolle.
Es sei I(x) = âŤâËŁ (t² â 4) dt. An welcher Stelle x > 0 hat I ein Extremum?
Erklärung: Ein Extremum braucht Iâ˛(x) = x² â 4 = 0, also x = 2 (x > 0). Dort wechselt der Integrand das Vorzeichen.