Der Hauptsatz

Ein schmaler Streifen

Im Kurs zur Ableitung hieß $f^{\prime }(x_0)$ die lokale Änderungsrate: wie schnell sich f genau an der Stelle x₀ ändert, bei $x^2$ an der Stelle 3 mit $f^{\prime }(3)=6$. Dieselbe Frage geht jetzt an die Integralfunktion: Wie schnell wächst die Bilanz, wenn die obere Grenze wandert?

Schiebt man x um h nach rechts, kommt ein Streifen der Breite h dazu; seine Fläche ist der Zuwachs $I(x+h)-I(x)$. Für kleines h ist der Streifen fast ein Rechteck mit der Höhe f(x). Bei $f(t)=t-2$ und x = 3 ist f(3) = 1: Das Rechteck hat die Fläche 1 · h, und der Streifen ist um ein Dreieck mit den Katheten h und h größer, also $h+\frac{h^2}{2}$.

Bei h = 0,1 ist der Streifen 0,105 groß, das Rechteck 0,1. Teilt man durch h, wird aus dem Zuwachs ein Differenzenquotient der Funktion I, wie im Kurs zur Sekante:

$$\begin{array}{rl}I(x+h)-I(x)& \approx f(x)\cdot h\\ \frac{I(x+h)-I(x)}{h}& \approx f(x)\end{array}$$

Bei h = 0,1 ist der Quotient 1,05, bei h = 0,01 schon 1,005. Der Rest $\frac{h^2}{2}$ wächst wie h², der Streifen wie h, und nach dem Teilen durch h bleibt vom Rest nur $\frac{h}{2}$. Bei einer gekrümmten Kurve ist der Rest kein Dreieck mehr. Er passt aber in ein Kästchen der Breite h und der Höhe |f(x + h) − f(x)|, und auch diese Höhe schrumpft mit h.

Der Hauptsatz

Für h gegen 0 wird aus dem Differenzenquotienten die Ableitung, so wie im Kurs zur Sekante aus 4 + h die Steigung 4 wurde. Der Quotient geht dabei gegen f(x). Das ist der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung:

$$I_a^{\prime }(x)=f(x)$$

Gelesen: „I a Strich von x ist gleich f von x“. Die Steigung von I an der Stelle x ist der Funktionswert f(x), nicht der Wert I(x). Im Bild liegt die Spur der Integralfunktion, jetzt mit ihrer Tangente: Bei x = 3 hat sie die Steigung 1 = f(3), und bei x = 2 ist sie waagerecht, denn f(2) = 0.

Das erklärt die Form der Integralfunktion mit der Regel aus dem Kurs zur Ableitung: Ist die Ableitung positiv, steigt der Graph; ist sie null, ist die Tangente waagerecht. Weil $I_0^{\prime }=f$ gilt, steigt I₀, wo f positiv ist, und hat ein Extremum, wo f das Vorzeichen wechselt.

Eine Funktion, deren Ableitung f ist, kennst du aus der Jahrgangsstufe 12 als Stammfunktion von f, etwa $F(x)=x^3$ zu $f(x)=3x^2$. Der Hauptsatz sagt: Jede Integralfunktion ist eine Stammfunktion. Zu f(t) = t − 2 gehört $I_0(x)=\frac{x^2}{2}-2x$, und tatsächlich ist $I_0^{\prime }(x)=x-2$. Ebenso hat $I(x)={\int }_1^x(t^3+1)dt$ die Ableitung $I^{\prime }(x)=x^3+1$, ohne dass man das Integral ausrechnet.