Integrale mit Stammfunktionen
Welche Funktion ist eine Stammfunktion von f(x) = 5x⁴?
Erklärung: F ist eine Stammfunktion von f, wenn F′ = f gilt. (x⁵)′ = 5x⁴ ✓. 20x³ ist die Ableitung von f (eine Stufe zu weit), und (x⁵/5)′ = x⁴ vergisst den Faktor 5.
F(x) = x⁴ − 9 ist eine Stammfunktion von f(x) = 4x³.
Erklärung: Richtig. (x⁴ − 9)′ = 4x³; die Konstante fällt beim Ableiten weg. Zu jeder Funktion gibt es unendlich viele Stammfunktionen, die sich um eine Konstante unterscheiden.
Welche Funktion ist eine Stammfunktion von f(x) = 6x² − 10x + 3?
Erklärung: Bei jedem Summanden wird der Exponent um 1 erhöht und durch den neuen Exponenten geteilt: 6x² → 2x³, −10x → −5x², 3 → 3x. 12x − 10 ist die Ableitung, und 2x³ − 10x² + 3x vergisst beim mittleren Summanden das Teilen durch 2.
F(x) = x³ − x ist eine Stammfunktion von f. Berechne f(2).
Erklärung: f ist die Ableitung von F: f(x) = 3x² − 1, also f(2) = 3 · 4 − 1 = 11.
Bestimme die Stammfunktion F von f(x) = 4x³ + 6x mit F(0) = −1 und berechne F(1).
Erklärung: Stammfunktionen: x⁴ + 3x² + C. F(0) = C = −1. Also F(x) = x⁴ + 3x² − 1 und F(1) = 1 + 3 − 1 = 3.
Für f(x) = x² ist F(x) = x³/3 eine Stammfunktion. Wie groß ist ∫₁³ x² dx?
Erklärung: ∫₁³ x² dx = F(3) − F(1) = 27/3 − 1/3 = 26/3 ≈ 8,67. 28/3 addiert F(1) statt es abzuziehen, und 9 = F(3) vergisst die untere Grenze.
Mit F(x) = x⁴/4 gilt ∫₀² x³ dx = F(0) − F(2).
Erklärung: Falsch. Die obere Grenze kommt zuerst: ∫₀² x³ dx = F(2) − F(0) = 4 − 0 = 4. Die vertauschte Rechnung gäbe −4, ein negatives Integral für einen Graphen oberhalb der Achse.
Für f(x) = x² rechnet Ben mit der Stammfunktion F(x) = x³/3 + 5. Welchen Wert erhält er für ∫₀³ x² dx?
Erklärung: F(3) − F(0) = (9 + 5) − (0 + 5) = 9. Die Konstante 5 steht in beiden Werten und hebt sich auf; man kann C weglassen. 14 wäre nur F(3), 5 nur F(0).
Berechne ∫₀² (3x² + 1) dx.
Erklärung: F(x) = x³ + x. F(2) − F(0) = (8 + 2) − 0 = 10.
Berechne ∫₋₂¹ (3x² + 2x) dx.
Erklärung: F(x) = x³ + x². F(1) = 1 + 1 = 2, F(−2) = −8 + 4 = −4. Also 2 − (−4) = 6.
Berechne ∫₀³ (x² − 4) dx mit einer Stammfunktion. Bestimme dann die positive Nullstelle von f(x) = x² − 4, berechne die beiden Teilintegrale ∫₀² und ∫₂³ und gib den Flächeninhalt insgesamt zwischen Graph und x-Achse über [0 ; 3] an.
Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.
Erklärung: Die Stammfunktion liefert die Bilanz −3. Der Flächeninhalt insgesamt entsteht, wenn man an der Nullstelle teilt und den negativen Teil mit Betrag zählt: 16/3 + 7/3 = 23/3.
Für f(x) = x² ist F(x) = x³/3 eine Stammfunktion. Welcher Term gehört zur Integralfunktion I₂(x) = ∫₂ˣ t² dt?
Erklärung: Die Integralfunktion ist die Stammfunktion, die bei der unteren Grenze 0 ist: I₂(x) = F(x) − F(2) = x³/3 − 8/3. x³/3 ist zwar eine Stammfunktion, aber sie hat bei x = 2 den Wert 8/3. Es wird F(2) abgezogen, nicht die Zahl 2.
F(x) = x² + 5 ist eine Stammfunktion von f(x) = 2x, aber nicht die Integralfunktion I₀(x) = ∫₀ˣ 2t dt.
Erklärung: Richtig. Es gilt zwar F′ = f, aber die Integralfunktion muss bei der unteren Grenze den Wert 0 haben: I₀(0) = 0, während F(0) = 5. Es ist I₀(x) = x².
Für f(x) = 3x² ist F(x) = x³ eine Stammfunktion. Berechne I₁(3) = ∫₁³ 3t² dt.
Erklärung: I₁(3) = F(3) − F(1) = 27 − 1 = 26.
Für f(x) = 2x + 1 ist F(x) = x² + x eine Stammfunktion. Für welche positive untere Grenze a ist I_a(3) = 6?
Erklärung: I_a(3) = F(3) − F(a) = 12 − (a² + a) = 6 ⇒ a² + a − 6 = 0 ⇒ (a − 2)(a + 3) = 0, also a = 2 (positiv).