Integrale mit Stammfunktionen

Stammfunktionen bilden

Die Regel aus der Jahrgangsstufe 12: Bei ganzrationalen Termen erhöht man jeden Exponenten um 1 und teilt durch den neuen Exponenten, $x^n\to \frac{x^{n+1}}{n+1}$. Für $f(x)=3x^2$ ist $F(x)=x^3$, für $4x^3-6x$ ist es $x^4-3x^2$, für $x-2$ ist es $\frac{x^2}{2}-2x$. Man darf jede Konstante addieren, denn sie fällt beim Ableiten weg.

Zur Kontrolle leitet man ab, mit der Potenzregel aus dem Kurs zur Ableitung: Mit $F(x)=2x^3+x^2+5$ ist $F^{\prime }(x)=6x^2+2x$. Die Konstante 5 fällt weg, sie könnte also jeden Wert haben.

F(b) − F(a)

Nach dem Hauptsatz ist die Integralfunktion eine Stammfunktion, und zwei Stammfunktionen unterscheiden sich nur um eine Konstante. Für jede Stammfunktion F gilt daher $I_a(x)=F(x)-F(a)$. Setzt man x = b ein, wird das Integral zur Differenz zweier Funktionswerte, F(b) minus F(a), kurz mit eckigen Klammern geschrieben:

$${\int }_a^{b}f(x)dx=F(b)-F(a)=[F(x){]}_a^b$$

Die Konstante hebt sich auf. Der Grenzwert der Summen ist jetzt eine Zeile: ${\int }_0^2{x}^{2}dx=[\frac{x^3}{3}{]}_0^2=\frac{8}{3}$, zwischen den Schranken 1,75 und 3,75 der Streifensummen. Ebenso die Bilanz der Geraden: ${\int }_0^6(x-2)dx=[\frac{x^2}{2}-2x{]}_0^6=6$. Die obere Grenze steht zuerst; eine negative Grenze setzt man in Klammern ein.

Stammfunktion oder Integralfunktion?

Nicht jede Stammfunktion ist eine Integralfunktion. Die Integralfunktion $I_a$ ist die eine Stammfunktion, die bei x = a den Wert 0 hat: $I_a(x)=F(x)-F(a)$. Zu $f(x)=x-2$ gehören alle $F(x)=\frac{x^2}{2}-2x+C$; die Wahl C = 0 ist die Integralfunktion I₀, im Bild gestrichelt.

Nur bei C = 2 ist F(2) = 2 − 4 + 2 = 0: Diese Kurve ist I₂. Die Funktion $\frac{x^2}{2}-2x+3$ ist auch eine Stammfunktion, aber bei x = 2 hat sie den Wert 1 statt 0. Die Wahl von a legt also genau eine Stammfunktion fest; wechselt man a, wechselt man die Konstante C.

Rückblick

Die Fläche unter $x^2$ über [0 ; 2] aus der Einleitung ist jetzt auf drei Wegen dieselbe Zahl: eingeschlossen von 1,75 und 3,75 bei vier Streifen, als Grenzwert der Summen 8/3 ≈ 2,667 und in einer Zeile als Differenz einer Stammfunktion. Daneben lief die Gerade x − 2 mit: Ihre Rechtecke hingen unter der Achse, ihr Integral ist eine Bilanz, ihre Integralfunktion $\frac{x^2}{2}-2x$ hat bei der Nullstelle 2 von f ihren Tiefpunkt, und ihre Steigung ist überall f.

Vereinfacht wurde einiges: nur gleich breite Streifen, nur stetige Funktionen auf abgeschlossenen Intervallen, nur ganzrationale Stammfunktionen. Weitere Integrationsregeln, die Fläche zwischen zwei Graphen und unbeschränkte Intervalle folgen im nächsten Kurs. Dort kommt auch die Deutung, die der Hauptsatz nahelegt: War die Ableitung die lokale Änderungsrate einer Größe, so ist das Integral einer Änderungsrate die Gesamtänderung. Fließt Wasser mit f(t) Litern pro Minute zu, ist ${\int }_a^{b}f(t)dt$ die Wassermenge, die zwischen den Minuten a und b dazukommt.