Die Funktion f(x) = x² wird auf [0 ; 2] in 4 gleich breite Streifen zerlegt. Welche Höhe hat das Untersummen-Rechteck im dritten Streifen [1 ; 1,5]?

Erklärung: Die Untersumme nimmt in jedem Streifen den kleinsten Funktionswert. f steigt, der kleinste Wert liegt links: f(1) = 1. Die Höhe 2,25 = f(1,5) gehört zur Obersumme, 1,5625 = f(1,25) zur Streifenmitte.

Die fallende Funktion f(x) = 4 − x wird auf [0 ; 4] in die zwei Streifen [0 ; 2] und [2 ; 4] zerlegt. Welche Rechteckhöhen hat die Untersumme?

Erklärung: Bei einer fallenden Funktion liegt der kleinste Wert am rechten Streifenrand: f(2) = 2 und f(4) = 0. „4 und 2“ sind die linken Randwerte (das wäre die Obersumme), „3 und 1“ die Werte in der Streifenmitte.

Für f(x) = 4 − x auf [0 ; 4] mit vier Streifen hat die Obersumme im zweiten Streifen [1 ; 2] die Rechteckhöhe 3.

Erklärung: Richtig. f fällt, der größte Wert des Streifens liegt links: f(1) = 3. Die Untersumme nähme den rechten Rand f(2) = 2.

f(x) = x² wird auf [0 ; 2] in Streifen der Breite 0,5 zerlegt. Welche Höhe hat das Obersummen-Rechteck im Streifen [1,5 ; 2]?

Erklärung: f steigt, der größte Wert liegt rechts: f(2) = 4.

f(x) = x² wird auf [−2 ; 2] in 4 gleich breite Streifen zerlegt. Welche Höhe hat das Untersummen-Rechteck im Streifen [−2 ; −1]?

Erklärung: Auf [−2 ; −1] fällt f. Der kleinste Wert liegt am rechten Rand: f(−1) = 1. Der linke Rand f(−2) = 4 gäbe die Obersumme.

Für f(x) = x² auf [0 ; 2] wird die Untersumme mit n = 2 Streifen gebildet. Wie groß ist U₂?

Erklärung: Die Streifenbreite ist (2 − 0)/2 = 1. Die Funktion steigt, die kleinsten Werte liegen links: f(0) = 0 und f(1) = 1. U₂ = 1 · 0 + 1 · 1 = 1. Mit der Breite 2 (Intervalllänge statt Streifenbreite) käme 2, mit dem Teilen durch n käme 0,5.

Das Intervall [1 ; 7] wird in 3 gleich breite Streifen zerlegt. Wie breit ist jeder Streifen?

Erklärung: Die Breite ist (7 − 1)/3 = 2. Die Zahl 6 ist die Länge des ganzen Intervalls, 3 die Anzahl der Streifen.

Für f(x) = x² auf [0 ; 2] mit n = 4 ist die Untersumme U₄ = 0 + 0,25 + 1 + 2,25 = 3,5.

Erklärung: Falsch. Die Höhen stimmen, aber jede Höhe muss noch mit der Streifenbreite 0,5 multipliziert werden: U₄ = 0,5 · 3,5 = 1,75. Die bloße Summe der Höhen ist keine Fläche.

Berechne die Untersumme U₄ von f(x) = x³ auf [0 ; 2] mit 4 Streifen.

Erklärung: Breite 0,5, f steigt, kleinste Werte links: 0,5 · (0³ + 0,5³ + 1³ + 1,5³) = 0,5 · (0 + 0,125 + 1 + 3,375) = 0,5 · 4,5 = 2,25.

Berechne die Obersumme O₄ von f(x) = 2x + 1 auf [0 ; 2] mit 4 Streifen.

Erklärung: Breite 0,5, f steigt, größte Werte rechts: 0,5 · (f(0,5) + f(1) + f(1,5) + f(2)) = 0,5 · (2 + 3 + 4 + 5) = 7.

Für f(x) = x² auf [0 ; 2] gilt U₄ = 1,75 und O₄ = 3,75. Zwischen welchen Werten liegt der Flächeninhalt A unter dem Graphen sicher?

Erklärung: Die Untersumme liegt unter dem Graphen, die Obersumme darüber: Die Fläche steckt dazwischen, 1,75 ≤ A ≤ 3,75. „A ≤ 1,75“ und „A ≥ 3,75“ nutzen nur eine der beiden Schranken und schließen die Fläche nicht ein.

Für f(x) = 4 − x auf [0 ; 4] ist O₄ = 10 und U₄ = 6. Wie groß ist O₈ − U₈?

Erklärung: O_n − U_n = (Streifenbreite) · (f(0) − f(4)) = (4/n) · 4. Bei n = 8: 0,5 · 4 = 2. Bei n = 4 sind es 4; der Abstand halbiert sich, wenn sich n verdoppelt.

Für f(x) = 4 − x auf [0 ; 4] gilt O₄ = 10. Bei doppelt so vielen Streifen ist O₈ = 11.

Erklärung: Falsch. O₈ = 0,5 · (4 + 3,5 + 3 + 2,5 + 2 + 1,5 + 1 + 0,5) = 0,5 · 18 = 9. Feinere Streifen schmiegen sich enger an den Graphen: Die Obersumme wird kleiner (10 → 9), sie wächst nicht.

f(x) = 4 − x auf [0 ; 4]. Wie groß ist O₁₆ − U₁₆?

Erklärung: O_n − U_n = (4/n) · 4 = 16/n; für n = 16 ist der Unterschied 1.

f(x) = 4 − x auf [0 ; 4]. Wie viele Streifen braucht man mindestens, damit O_n − U_n höchstens 0,1 beträgt?

Erklärung: O_n − U_n = 16/n ≤ 0,1 ⇔ n ≥ 160. Bei n = 160 ist der Unterschied genau 0,1.

Die Fläche unter dem Graphen von f(x) = x² über [0 ; 3] soll mit n = 3 Streifen eingeschlossen werden. Skizziere den Graphen mit den Rechtecken, berechne Untersumme und Obersumme und gib ein Intervall an, in dem der Flächeninhalt liegt. Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.

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Erklärung: Streifenbreite (3 − 0)/3 = 1. Untersumme 0 + 1 + 4 = 5, Obersumme 1 + 4 + 9 = 14. Die Fläche liegt in [5 ; 14] — die Schranken sind grob, feinere Streifen engen das Intervall ein.

Aufgabe 1 von 16