Ober- und Untersummen

Upper and lower sums

Mathematik Klasse 13 16 Aufgaben

AnalysisIntegrationRiemann-Summe

Die Fläche unter einer Kurve wird in n gleich breite Streifen zerlegt. Rechtecke mit dem kleinsten Funktionswert je Streifen ergeben die Untersumme, mit dem größten die Obersumme; die Fläche liegt dazwischen, und der Abstand schrumpft mit n. Der Abschnitt räumt drei Fehler aus: die Summe der Höhen ohne die Streifenbreite, „Obersumme = linker Rand“ (nur bei steigenden Funktionen richtig) und „die Näherung wird nie genauer“. Er bereitet das bestimmte Integral als gemeinsamen Grenzwert beider Summen vor.

Streifen und Untersumme

Für Rechtecke gibt es eine Formel, für die Fläche unter $f (x) = x^{2}$ über [0 ; 2] nicht. Also zerlegen wir die Fläche in Stücke, die eine haben: Das Intervall wird in n gleich breite Streifen geteilt, und über jedem Streifen steht ein Rechteck mit der Fläche Höhe mal Breite. Die Breite heißt wie im Kurs zur Sekante $Δ x$ ; bei einem Intervall [a ; b] ist $Δ x = \frac{b - a}{n}$ , bei n = 4 Streifen auf [0 ; 2] also 0,5.

Nimmt man als Höhe den kleinsten Funktionswert des Streifens, bleibt das Rechteck unter der Kurve; die Summe heißt Untersumme $U_{n}$ . Die Funktion steigt, die kleinsten Werte liegen also an den linken Rändern 0; 0,5; 1 und 1,5: $U_{4} = 0, 5 \cdot (0 + 0, 25 + 1 + 2, 25) = 1, 75$ . Die Breite gehört in jeden Summanden. Wer nur die Höhen addiert, erhält 3,5, doppelt so viel: Das wären Rechtecke der Breite 1, nicht 0,5.

Lies bei n = 4 die vier Höhen an den linken Rändern ab und prüfe U₄ = 1,75. Erhöhe dann n: Wird die Untersumme größer oder kleiner?

Die Obersumme

Nimmt man in jedem Streifen den größten Funktionswert, ragen die Rechtecke über die Kurve hinaus: Obersumme $O_{n}$ . Für $x^{2}$ auf [0 ; 2] liegen die größten Werte rechts: $O_{4} = 0, 5 \cdot (0, 25 + 1 + 2, 25 + 4) = 3, 75$ . Die Fläche liegt also zwischen 1,75 und 3,75. Vorsicht: „kleinster Wert“ heißt nicht immer „linker Rand“. Bei einer fallenden Funktion liegt der kleinste Wert rechts, und die Obersumme nimmt die linken Ränder.

Ändere die Streifenzahl n. Wie viele Streifen braucht die Obersumme, um unter 3,2 zu fallen?

Feiner zerlegen

Mit mehr Streifen rücken beide Summen zusammen. Schiebt man die Zusatzstücke zwischen Unter- und Obersumme in eine Spalte übereinander, füllen sie bei einer steigenden Funktion genau ein Rechteck der Breite Δx und der Höhe f(b) − f(a). Bei $x^{2}$ auf [0 ; 2] ist diese Höhe 4 − 0 = 4 und $Δ x = \frac{2}{n}$ , der Abstand also $O_{n} - U_{n} = \frac{8}{n}$ : 2 bei n = 4, nur 0,2 bei n = 40. Für jede monotone Funktion gilt $O_{n} - U_{n} = Δ x \cdot ∣ f (b) - f (a) ∣$ .

Erhöhe n und beobachte O − U. Ab welchem n ist der Abstand kleiner als 0,5, und zwischen welchen Werten liegt die Fläche dann?

Der Abstand wird beliebig klein. Zwischen allen Untersummen und allen Obersummen bleibt deshalb genau eine Zahl eingeschlossen. Bisher lag die Parabel ganz über der x-Achse, und jede Höhe war positiv. Die Summen rechnen aber mit Funktionswerten, nicht mit Längen. Was zählen sie, wenn die Kurve unter die Achse taucht?

Ermöglicht (2)

Das bestimmte Integral

Leicht

Multiple Choice #1 25s ▶ Testen

Die Funktion f(x) = x² wird auf [0 ; 2] in 4 gleich breite Streifen zerlegt. Welche Höhe hat das Untersummen-Rechteck im dritten Streifen [1 ; 1,5]?

● 1
○ 2,25
○ 1,5625

Die Untersumme nimmt in jedem Streifen den kleinsten Funktionswert. f steigt, der kleinste Wert liegt links: f(1) = 1. Die Höhe 2,25 = f(1,5) gehört zur Obersumme, 1,5625 = f(1,25) zur Streifenmitte.

Multiple Choice #2 25s ▶ Testen

Die fallende Funktion f(x) = 4 − x wird auf [0 ; 4] in die zwei Streifen [0 ; 2] und [2 ; 4] zerlegt. Welche Rechteckhöhen hat die Untersumme?

● 2 und 0
○ 4 und 2
○ 3 und 1

Bei einer fallenden Funktion liegt der kleinste Wert am rechten Streifenrand: f(2) = 2 und f(4) = 0. „4 und 2“ sind die linken Randwerte (das wäre die Obersumme), „3 und 1“ die Werte in der Streifenmitte.

Wahr / Falsch #3 15s ▶ Testen

Für f(x) = 4 − x auf [0 ; 4] mit vier Streifen hat die Obersumme im zweiten Streifen [1 ; 2] die Rechteckhöhe 3.

✓ Wahr

Richtig. f fällt, der größte Wert des Streifens liegt links: f(1) = 3. Die Untersumme nähme den rechten Rand f(2) = 2.

Multiple Choice #4 25s ▶ Testen

Für f(x) = x² auf [0 ; 2] wird die Untersumme mit n = 2 Streifen gebildet. Wie groß ist U₂?

● 1
○ 2
○ 0,5

Die Streifenbreite ist (2 − 0)/2 = 1. Die Funktion steigt, die kleinsten Werte liegen links: f(0) = 0 und f(1) = 1. U₂ = 1 · 0 + 1 · 1 = 1. Mit der Breite 2 (Intervalllänge statt Streifenbreite) käme 2, mit dem Teilen durch n käme 0,5.

Multiple Choice #5 20s ▶ Testen

Das Intervall [1 ; 7] wird in 3 gleich breite Streifen zerlegt. Wie breit ist jeder Streifen?

● 2
○ 6
○ 3

Die Breite ist (7 − 1)/3 = 2. Die Zahl 6 ist die Länge des ganzen Intervalls, 3 die Anzahl der Streifen.

Wahr / Falsch #6 15s ▶ Testen

Für f(x) = x² auf [0 ; 2] mit n = 4 ist die Untersumme U₄ = 0 + 0,25 + 1 + 2,25 = 3,5.

✓ Falsch

Falsch. Die Höhen stimmen, aber jede Höhe muss noch mit der Streifenbreite 0,5 multipliziert werden: U₄ = 0,5 · 3,5 = 1,75. Die bloße Summe der Höhen ist keine Fläche.

Multiple Choice #7 25s ▶ Testen

Für f(x) = x² auf [0 ; 2] gilt U₄ = 1,75 und O₄ = 3,75. Zwischen welchen Werten liegt der Flächeninhalt A unter dem Graphen sicher?

● 1,75 ≤ A ≤ 3,75
○ A ≤ 1,75
○ A ≥ 3,75

Die Untersumme liegt unter dem Graphen, die Obersumme darüber: Die Fläche steckt dazwischen, 1,75 ≤ A ≤ 3,75. „A ≤ 1,75“ und „A ≥ 3,75“ nutzen nur eine der beiden Schranken und schließen die Fläche nicht ein.

Multiple Choice #8 25s ▶ Testen

Für f(x) = 4 − x auf [0 ; 4] ist O₄ = 10 und U₄ = 6. Wie groß ist O₈ − U₈?

● 2
○ 4
○ 1

O_n − U_n = (Streifenbreite) · (f(0) − f(4)) = (4/n) · 4. Bei n = 8: 0,5 · 4 = 2. Bei n = 4 sind es 4; der Abstand halbiert sich, wenn sich n verdoppelt.

Wahr / Falsch #9 15s ▶ Testen

Für f(x) = 4 − x auf [0 ; 4] gilt O₄ = 10. Bei doppelt so vielen Streifen ist O₈ = 11.

✓ Falsch

Falsch. O₈ = 0,5 · (4 + 3,5 + 3 + 2,5 + 2 + 1,5 + 1 + 0,5) = 0,5 · 18 = 9. Feinere Streifen schmiegen sich enger an den Graphen: Die Obersumme wird kleiner (10 → 9), sie wächst nicht.

Mittel

Zahleneingabe #1 20s ▶ Testen

f(x) = x² wird auf [0 ; 2] in Streifen der Breite 0,5 zerlegt. Welche Höhe hat das Obersummen-Rechteck im Streifen [1,5 ; 2]?

✓ Antwort: 4

f steigt, der größte Wert liegt rechts: f(2) = 4.

Zahleneingabe #2 35s ▶ Testen

Berechne die Untersumme U₄ von f(x) = x³ auf [0 ; 2] mit 4 Streifen.

✓ Antwort: 2.25

Breite 0,5, f steigt, kleinste Werte links: 0,5 · (0³ + 0,5³ + 1³ + 1,5³) = 0,5 · (0 + 0,125 + 1 + 3,375) = 0,5 · 4,5 = 2,25.

Zahleneingabe #3 30s ▶ Testen

f(x) = 4 − x auf [0 ; 4]. Wie groß ist O₁₆ − U₁₆?

✓ Antwort: 1

O_n − U_n = (4/n) · 4 = 16/n; für n = 16 ist der Unterschied 1.

Schwer

Zahleneingabe #1 30s ▶ Testen

f(x) = x² wird auf [−2 ; 2] in 4 gleich breite Streifen zerlegt. Welche Höhe hat das Untersummen-Rechteck im Streifen [−2 ; −1]?

✓ Antwort: 1

Auf [−2 ; −1] fällt f. Der kleinste Wert liegt am rechten Rand: f(−1) = 1. Der linke Rand f(−2) = 4 gäbe die Obersumme.

Zahleneingabe #2 40s ▶ Testen

Berechne die Obersumme O₄ von f(x) = 2x + 1 auf [0 ; 2] mit 4 Streifen.

✓ Antwort: 7

Breite 0,5, f steigt, größte Werte rechts: 0,5 · (f(0,5) + f(1) + f(1,5) + f(2)) = 0,5 · (2 + 3 + 4 + 5) = 7.

Zahleneingabe #3 40s ▶ Testen

f(x) = 4 − x auf [0 ; 4]. Wie viele Streifen braucht man mindestens, damit O_n − U_n höchstens 0,1 beträgt?

✓ Antwort: 160

O_n − U_n = 16/n ≤ 0,1 ⇔ n ≥ 160. Bei n = 160 ist der Unterschied genau 0,1.

KI-bewertete Rechnung #4 240s ▶ Testen

Die Fläche unter dem Graphen von f(x) = x² über [0 ; 3] soll mit n = 3 Streifen eingeschlossen werden. Skizziere den Graphen mit den Rechtecken, berechne Untersumme und Obersumme und gib ein Intervall an, in dem der Flächeninhalt liegt. Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.

✓ Antwort: Streifenbreite 1. Untersumme (linke Werte, f steigt): 1 · (0 + 1 + 4) = 5. Obersumme (rechte Werte): 1 · (1 + 4 + 9) = 14. Also 5 ≤ A ≤ 14.

Streifenbreite (3 − 0)/3 = 1. Untersumme 0 + 1 + 4 = 5, Obersumme 1 + 4 + 9 = 14. Die Fläche liegt in [5 ; 14] — die Schranken sind grob, feinere Streifen engen das Intervall ein.