Zerlegen und Ergänzen
Die Hilfslinie zerlegt die Figur in zwei Rechtecke. Welche Rechnung gibt den Flächeninhalt in m²?
Erklärung: Links liegt ein Rechteck 6 m × 6 m = 36 m², rechts eins mit 3 m × 4 m = 12 m². Zusammen 48 m². Wer das Eckstück dazuaddiert, rechnet zu viel (60); wer rechts 2 m statt 4 m nimmt, verwendet die Höhe des fehlenden Stücks (42).
Mit der waagerechten Hilfslinie gilt: Der Flächeninhalt der Figur ist 9 · 4 + 6 · 2.
Erklärung: Unten liegt ein Rechteck 9 m × 4 m = 36 m², oben eins mit 6 m × 2 m = 12 m². Zusammen 48 m², wie beim senkrechten Schnitt.
Eine Figur wird in drei Rechtecke mit 18 m², 12 m² und 9 m² zerlegt. Wie groß ist die Figur in m²?
Erklärung: Beim Zerlegen werden die Teilflächen addiert: 18 + 12 + 9 = 39 m².
Wie groß ist der Flächeninhalt der T-förmigen Figur in m²?
Erklärung: Oben liegt ein Balken 9 m × 2 m = 18 m², darunter ein Fuß 3 m × 5 m = 15 m². Zusammen 33 m².
Die Figur wird zu einem Rechteck ergänzt. Welche Rechnung gibt den Flächeninhalt der Figur in m²?
Erklärung: Das ganze Rechteck hat 8 m × 5 m = 40 m². Das ergänzte Eckstück (3 m × 2 m = 6 m²) gehört nicht zur Figur und wird abgezogen: 34 m². Addieren ergibt zu viel, und mit 3 statt 2 m stimmt die Eckhöhe nicht.
Tippe auf das Stück, das man nach dem Ergänzen wieder abziehen muss.
Erklärung: Das gestrichelte Eckstück wurde nur ergänzt, damit ein Rechteck entsteht. Es gehört nicht zur Figur, also wird sein Flächeninhalt vom großen Rechteck abgezogen.
Um ein Becken (12 m × 6 m) läuft ein 1 m breiter Weg. Der Weg hat den Flächeninhalt 14 · 8 − 12 · 6 = 40 m².
Erklärung: Mit dem Weg ist das Rechteck 12 m + 2 · 1 m = 14 m lang und 6 m + 2 · 1 m = 8 m breit: 112 m². Das Becken hat 72 m². Der Weg ist der Rest: 40 m².
Aus einem Rechteck (12 m × 9 m) wird eine Ecke (5 m × 4 m) herausgeschnitten. Wie groß ist der Rest in m²?
Erklärung: 12 · 9 = 108 m² (das ganze Rechteck) minus 20 m² (die Ecke): 88 m².
Um ein Becken (20 m × 12 m) liegt ringsherum ein 2 m breiter Weg. Wie groß ist der Weg in m²?
Erklärung: Becken und Weg zusammen: (20 + 2 · 2) m · (12 + 2 · 2) m = 24 m · 16 m = 384 m². Das Becken hat 240 m². Der Weg: 144 m².
Anna rechnet 11 · 6 − 4 · 3. Welche Rechnung von Ben ergibt für dieselbe Figur denselben Flächeninhalt?
Erklärung: Ben zerlegt senkrecht: links 7 · 6 = 42, rechts 4 · 3 = 12, zusammen 54, wie Anna. Rechts mit 6 statt 3 zählt die fehlende Ecke mit (66); 11 · 3 + 4 · 3 = 45 setzt für den oberen Streifen die Breite der fehlenden Ecke (4) statt 7 ein.
Die Rechnungen 11 · 3 + 7 · 3 und 11 · 6 − 4 · 6 ergeben denselben Flächeninhalt.
Erklärung: Waagerecht zerlegt: 11 · 3 + 7 · 3 = 33 + 21 = 54. Beim Ergänzen zieht man die fehlende Ecke 4 m × 3 m ab, nicht 4 m × 6 m: 11 · 6 − 4 · 3 = 66 − 12 = 54, dagegen 11 · 6 − 4 · 6 = 42.
Eine Figur hat den Flächeninhalt 9 · 7 − 3 · 5. Wie viele m² sind das?
Erklärung: Punkt vor Strich: 9 · 7 = 63, 3 · 5 = 15, also 63 − 15 = 48 m².
Von einem Grundstück (30 m × 20 m) fehlt eine Ecke (12 m × 8 m). Wie groß ist es in m²?
Erklärung: Ergänzen: 30 · 20 − 12 · 8 = 600 − 96 = 504. Kontrolle durch Zerlegen: 18 · 20 + 12 · 12 = 360 + 144 = 504. Beide Wege stimmen.
Ein Schulhof hat die Form eines Rechtecks (25 m × 18 m), aus dem an einer Ecke ein Rechteck (10 m × 6 m) fehlt. Zeichne eine Skizze mit allen Maßen und bestimme den Flächeninhalt auf zwei Wegen: durch Ergänzen und durch Zerlegen. Vergleiche die Ergebnisse.
Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.
Erklärung: Ergänzen: 450 m² − 60 m² = 390 m². Zerlegen: 270 m² + 120 m² = 390 m². Zwei Wege, ein Ergebnis.
Eine Figur besteht aus einem Rechteck mit 7 m × 4 m und einem Rechteck mit 3 m × 5 m, die nur aneinanderstoßen. Wie groß ist die Figur in m²?
Erklärung: Zerlegen heißt Teilflächen addieren: 7 · 4 = 28 m² und 3 · 5 = 15 m², zusammen 43 m².
Ein L-förmiges Beet: Unten liegt ein Streifen, 12 m breit und 4 m hoch. Links darauf sitzt ein Rechteck, 5 m breit, sodass die linke Seite des Beets insgesamt 10 m hoch ist. Wie groß ist das Beet in m²?
Erklärung: Unten: 12 m × 4 m = 48 m². Das aufgesetzte Rechteck ist 10 m − 4 m = 6 m hoch: 5 m × 6 m = 30 m². Zusammen 78 m². Wer 5 · 10 nimmt, zählt das Stück 5 m × 4 m im unteren Streifen doppelt.
Ein Bilderrahmen ist außen 30 cm × 20 cm groß, das Bild darin 24 cm × 14 cm. Wie groß ist die Fläche des Rahmens in cm²?
Erklärung: Ganzes Rechteck minus Bild: 30 · 20 = 600 cm², 24 · 14 = 336 cm², 600 − 336 = 264 cm².
Aus einem quadratischen Blatt mit 20 cm Seitenlänge werden an allen vier Ecken Quadrate mit 3 cm Seitenlänge ausgeschnitten. Wie viele cm² bleiben übrig?
Erklärung: Das Blatt hat 20 · 20 = 400 cm². Vier Ecken mit je 3 · 3 = 9 cm² fallen weg, zusammen 36 cm²: 400 − 36 = 364 cm².
Durch Zerlegen erhält Mia für eine Figur 6 · 4 + 2 · 3. Welchen Flächeninhalt in m² muss Ben durch Ergänzen erhalten?
Erklärung: Beide Wege beschreiben dieselbe Figur, also dasselbe Ergebnis: 6 · 4 + 2 · 3 = 24 + 6 = 30 m².