Zerlegen und Ergänzen

Decomposing and completing

Mathematik Klasse 5 19 Aufgaben
GeometrieFlächeninhaltZerlegen

Für eine Figur, die kein Rechteck ist, gibt es keine fertige Formel: Man macht sie zu Rechtecken. Beim Zerlegen teilt man sie mit einer Hilfslinie und addiert die Teilrechtecke, beim Ergänzen füllt man sie zu einem großen Rechteck auf und zieht das ergänzte Stück wieder ab. Beide Wege liefern denselben Flächeninhalt, das ist die Kontrolle. Räumt aus: das ergänzte Stück dazuzuzählen, falsche Seiten einzusetzen und sich mit einem einzigen Weg zufriedenzugeben (Weigand u. a. 2018). Bereitet Sachaufgaben mit Skizze und im Kurs zu Vielecken (Jgst. 6) das Zerlegen von Dreiecken vor.

Zerlegen

Für eine L-förmige Figur gibt es keine fertige Formel; man macht aus ihr Rechtecke. Beim Zerlegen teilt man die Figur mit einer Hilfslinie. Die Figur ist 10 m lang und 7 m breit, rechts oben fehlt eine Ecke von 4 m × 3 m. Senkrecht geschnitten bleiben links 6 m × 7 m = 42 m² und rechts 4 m × 4 m = 16 m², zusammen 58 m². Waagerecht geschnitten sind es 6 · 3 + 10 · 4 = 18 + 40 = 58 m². Die Seiten der Teilrechtecke muss man aus den Maßen ableiten: 10 − 4 = 6 und 7 − 3 = 4.

Schalte zwischen den Schnitten um. Was ändert sich an den Teilen, was an der Summe?

Ergänzen und vergleichen

Man kann die Ecke auch ergänzen: Das große Rechteck hat 10 · 7 = 70 m², davon zieht man die fehlende Ecke ab: 70 − 4 · 3 = 58 m². Ergänzen heißt abziehen, nicht dazuaddieren. Alle drei Rechnungen liefern 58 m². Das ist die Kontrolle, denn eine Fläche hat nur einen Flächeninhalt. Man wählt den Weg mit den einfacheren Zahlen. Bei einem Weg um ein Beet ist das Ergänzen praktisch: das große Rechteck mit Weg minus das Beet.

Verbreitere den Weg mit dem Regler. Wie ändert sich der Flächeninhalt des Wegs?

Voraussetzungen (1)

Reihen mal Spalten
Klasse 5
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Leicht
Multiple Choice #1 40s ▶ Testen

Die Hilfslinie zerlegt die Figur in zwei Rechtecke. Welche Rechnung gibt den Flächeninhalt in m²?

  • ● 6 · 6 + 3 · 4 = 48
  • ○ 9 · 6 + 3 · 2 = 60
  • ○ 6 · 6 + 3 · 2 = 42
Links liegt ein Rechteck 6 m × 6 m = 36 m², rechts eins mit 3 m × 4 m = 12 m². Zusammen 48 m². Wer das Eckstück dazuaddiert, rechnet zu viel (60); wer rechts 2 m statt 4 m nimmt, verwendet die Höhe des fehlenden Stücks (42).
Wahr / Falsch #2 30s ▶ Testen

Mit der waagerechten Hilfslinie gilt: Der Flächeninhalt der Figur ist 9 · 4 + 6 · 2.

✓ Wahr
Unten liegt ein Rechteck 9 m × 4 m = 36 m², oben eins mit 6 m × 2 m = 12 m². Zusammen 48 m², wie beim senkrechten Schnitt.
Multiple Choice #3 40s ▶ Testen

Die Figur wird zu einem Rechteck ergänzt. Welche Rechnung gibt den Flächeninhalt der Figur in m²?

  • ● 8 · 5 − 3 · 2 = 34
  • ○ 8 · 5 + 3 · 2 = 46
  • ○ 8 · 5 − 3 · 3 = 31
Das ganze Rechteck hat 8 m × 5 m = 40 m². Das ergänzte Eckstück (3 m × 2 m = 6 m²) gehört nicht zur Figur und wird abgezogen: 34 m². Addieren ergibt zu viel, und mit 3 statt 2 m stimmt die Eckhöhe nicht.
Im Bild tippen #4 20s ▶ Testen

Tippe auf das Stück, das man nach dem Ergänzen wieder abziehen muss.

✓ Antwort: ergaenzung
Das gestrichelte Eckstück wurde nur ergänzt, damit ein Rechteck entsteht. Es gehört nicht zur Figur, also wird sein Flächeninhalt vom großen Rechteck abgezogen.
Wahr / Falsch #5 15s ▶ Testen

Um ein Becken (12 m × 6 m) läuft ein 1 m breiter Weg. Der Weg hat den Flächeninhalt 14 · 8 − 12 · 6 = 40 m².

✓ Wahr
Mit dem Weg ist das Rechteck 12 m + 2 · 1 m = 14 m lang und 6 m + 2 · 1 m = 8 m breit: 112 m². Das Becken hat 72 m². Der Weg ist der Rest: 40 m².
Multiple Choice #6 45s ▶ Testen

Anna rechnet 11 · 6 − 4 · 3. Welche Rechnung von Ben ergibt für dieselbe Figur denselben Flächeninhalt?

  • ● 7 · 6 + 4 · 3
  • ○ 7 · 6 + 4 · 6
  • ○ 11 · 3 + 4 · 3
Ben zerlegt senkrecht: links 7 · 6 = 42, rechts 4 · 3 = 12, zusammen 54, wie Anna. Rechts mit 6 statt 3 zählt die fehlende Ecke mit (66); 11 · 3 + 4 · 3 = 45 setzt für den oberen Streifen die Breite der fehlenden Ecke (4) statt 7 ein.
Wahr / Falsch #7 35s ▶ Testen

Die Rechnungen 11 · 3 + 7 · 3 und 11 · 6 − 4 · 6 ergeben denselben Flächeninhalt.

✓ Falsch
Waagerecht zerlegt: 11 · 3 + 7 · 3 = 33 + 21 = 54. Beim Ergänzen zieht man die fehlende Ecke 4 m × 3 m ab, nicht 4 m × 6 m: 11 · 6 − 4 · 3 = 66 − 12 = 54, dagegen 11 · 6 − 4 · 6 = 42.
Mittel
Zahleneingabe #1 25s ▶ Testen

Eine Figur wird in drei Rechtecke mit 18 m², 12 m² und 9 m² zerlegt. Wie groß ist die Figur in m²?

✓ Antwort: 39
Beim Zerlegen werden die Teilflächen addiert: 18 + 12 + 9 = 39 m².
Zahleneingabe #2 25s ▶ Testen

Aus einem Rechteck (12 m × 9 m) wird eine Ecke (5 m × 4 m) herausgeschnitten. Wie groß ist der Rest in m²?

✓ Antwort: 88
12 · 9 = 108 m² (das ganze Rechteck) minus 20 m² (die Ecke): 88 m².
Zahleneingabe #3 25s ▶ Testen

Eine Figur hat den Flächeninhalt 9 · 7 − 3 · 5. Wie viele m² sind das?

✓ Antwort: 48
Punkt vor Strich: 9 · 7 = 63, 3 · 5 = 15, also 63 − 15 = 48 m².
Zahleneingabe #4 25s ▶ Testen

Eine Figur besteht aus einem Rechteck mit 7 m × 4 m und einem Rechteck mit 3 m × 5 m, die nur aneinanderstoßen. Wie groß ist die Figur in m²?

✓ Antwort: 43
Zerlegen heißt Teilflächen addieren: 7 · 4 = 28 m² und 3 · 5 = 15 m², zusammen 43 m².
Zahleneingabe #5 25s ▶ Testen

Ein Bilderrahmen ist außen 30 cm × 20 cm groß, das Bild darin 24 cm × 14 cm. Wie groß ist die Fläche des Rahmens in cm²?

✓ Antwort: 264
Ganzes Rechteck minus Bild: 30 · 20 = 600 cm², 24 · 14 = 336 cm², 600 − 336 = 264 cm².
Zahleneingabe #6 25s ▶ Testen

Durch Zerlegen erhält Mia für eine Figur 6 · 4 + 2 · 3. Welchen Flächeninhalt in m² muss Ben durch Ergänzen erhalten?

✓ Antwort: 30
Beide Wege beschreiben dieselbe Figur, also dasselbe Ergebnis: 6 · 4 + 2 · 3 = 24 + 6 = 30 m².
Schwer
Zahleneingabe #1 45s ▶ Testen

Wie groß ist der Flächeninhalt der T-förmigen Figur in m²?

✓ Antwort: 33
Oben liegt ein Balken 9 m × 2 m = 18 m², darunter ein Fuß 3 m × 5 m = 15 m². Zusammen 33 m².
Zahleneingabe #2 60s ▶ Testen

Um ein Becken (20 m × 12 m) liegt ringsherum ein 2 m breiter Weg. Wie groß ist der Weg in m²?

✓ Antwort: 144
Becken und Weg zusammen: (20 + 2 · 2) m · (12 + 2 · 2) m = 24 m · 16 m = 384 m². Das Becken hat 240 m². Der Weg: 144 m².
Zahleneingabe #3 60s ▶ Testen

Von einem Grundstück (30 m × 20 m) fehlt eine Ecke (12 m × 8 m). Wie groß ist es in m²?

✓ Antwort: 504
Ergänzen: 30 · 20 − 12 · 8 = 600 − 96 = 504. Kontrolle durch Zerlegen: 18 · 20 + 12 · 12 = 360 + 144 = 504. Beide Wege stimmen.
KI-bewertete Rechnung #4 280s ▶ Testen

Ein Schulhof hat die Form eines Rechtecks (25 m × 18 m), aus dem an einer Ecke ein Rechteck (10 m × 6 m) fehlt. Zeichne eine Skizze mit allen Maßen und bestimme den Flächeninhalt auf zwei Wegen: durch Ergänzen und durch Zerlegen. Vergleiche die Ergebnisse. Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.

✓ Antwort: Skizze mit 25 m, 18 m und der fehlenden Ecke 10 m × 6 m. Ergänzen: 25 · 18 − 10 · 6 = 450 − 60 = 390 m². Zerlegen: links 15 m × 18 m = 270 m², rechts 10 m × 12 m = 120 m², zusammen 390 m². Beide Wege ergeben 390 m².
Ergänzen: 450 m² − 60 m² = 390 m². Zerlegen: 270 m² + 120 m² = 390 m². Zwei Wege, ein Ergebnis.
Zahleneingabe #5 45s ▶ Testen

Ein L-förmiges Beet: Unten liegt ein Streifen, 12 m breit und 4 m hoch. Links darauf sitzt ein Rechteck, 5 m breit, sodass die linke Seite des Beets insgesamt 10 m hoch ist. Wie groß ist das Beet in m²?

✓ Antwort: 78
Unten: 12 m × 4 m = 48 m². Das aufgesetzte Rechteck ist 10 m − 4 m = 6 m hoch: 5 m × 6 m = 30 m². Zusammen 78 m². Wer 5 · 10 nimmt, zählt das Stück 5 m × 4 m im unteren Streifen doppelt.
Zahleneingabe #6 45s ▶ Testen

Aus einem quadratischen Blatt mit 20 cm Seitenlänge werden an allen vier Ecken Quadrate mit 3 cm Seitenlänge ausgeschnitten. Wie viele cm² bleiben übrig?

✓ Antwort: 364
Das Blatt hat 20 · 20 = 400 cm². Vier Ecken mit je 3 · 3 = 9 cm² fallen weg, zusammen 36 cm²: 400 − 36 = 364 cm².