Oberfläche zusammengesetzter Körper
Das Netz gehört zu einem Körper. Aus wie vielen Flächen besteht seine Oberfläche?
Erklärung: Im Netz zählt man jede Fläche einmal: drei Rechtecke und zwei Dreiecke, zusammen 5 Flächen. Der Körper ist ein Prisma mit einem Dreieck als Grundfläche.
Ein Quader ist 4 cm lang, 3 cm breit und 2 cm hoch. Wie viele verschieden große Rechtecke enthält sein Netz?
Erklärung: Ein Quader hat sechs Flächen, aber je zwei sind gleich groß: 4 × 3, 4 × 2 und 3 × 2. Das sind 3 verschiedene Größen.
Aus wie vielen Flächen besteht die Oberfläche eines Prismas mit einem Dreieck als Grundfläche?
Erklärung: Zwei dreieckige Grundflächen und drei rechteckige Mantelflächen: 2 + 3 = 5 Flächen.
Ein Würfel hat die Kantenlänge 4 cm. Wie groß ist seine Oberfläche (in cm²)?
Erklärung: Das Netz besteht aus 6 Quadraten mit je 4 · 4 = 16 cm². Also O = 6 · 16 = 96 cm².
Welche Rechnung liefert die Oberfläche dieses Quaders?
Erklärung: Die drei verschiedenen Rechtecke (4 × 3, 4 × 2, 3 × 2) kommen je zweimal vor: 2 · (12 + 8 + 6) = 52 cm². 4 · 3 · 2 wäre das Volumen, und ohne den Faktor 2 zählt man nur die halbe Oberfläche.
Ein Quader ist 6 cm lang, 4 cm breit und 3 cm hoch. Welche Fläche ist genauso groß wie die Grundfläche (unten, 6 cm × 4 cm)?
Erklärung: Gegenüberliegende Flächen sind gleich groß. Zur Grundfläche gehört die Deckfläche, ebenfalls 6 cm × 4 cm. Die Vorderseite (6 × 3) und die Seitenfläche (4 × 3) sind kleiner.
Ein Quader ist 6 cm lang, 4 cm breit und 2 cm hoch. Wie groß ist seine Oberfläche (in cm²)?
Erklärung: O = 2 · (6 · 4 + 6 · 2 + 4 · 2) = 2 · (24 + 12 + 8) = 2 · 44 = 88 cm².
Ein Karton ohne Deckel ist 30 cm lang, 20 cm breit und 10 cm hoch. Wie viele cm² Pappe braucht man (in cm²)?
Erklärung: Boden: 30 · 20 = 600 cm². Vorder- und Rückseite: 2 · 30 · 10 = 600 cm². Beide Seitenwände: 2 · 20 · 10 = 400 cm². Zusammen 600 + 600 + 400 = 1600 cm².
Die Grundfläche des Prismas ist ein Dreieck mit den Seiten 6 cm, 5 cm und 5 cm und der Höhe 4 cm; das Prisma ist 10 cm lang. Welche Rechnung liefert seine Oberfläche?
Erklärung: Grundfläche: 6 · 4 : 2 = 12 cm², es gibt zwei davon. Der Mantel ist so breit wie der Umfang (6 + 5 + 5 = 16 cm) und 10 cm hoch: 160 cm². O = 24 + 160 = 184 cm². Bei den anderen fehlt eine Grundfläche oder der Mantel ist nur ein Rechteck.
Aus wie vielen Rechtecken besteht der Mantel eines Prismas mit einem Dreieck als Grundfläche?
Erklärung: Zu jeder der drei Dreiecksseiten gehört ein Rechteck als Seitenfläche. Zusammen bilden sie den Mantel; dazu kommen die beiden Dreiecke als Grundflächen.
Ein Prisma hat die Grundfläche 12 cm² und den Mantel 160 cm². Wie groß ist seine Oberfläche (in cm²)?
Erklärung: O = 2 · Grundfläche + Mantel = 2 · 12 + 160 = 184 cm².
Ein Prisma hat die abgebildete Trapez-Grundfläche und ist 6 cm hoch (lang). Wie groß ist seine Oberfläche (in cm²)?
Erklärung: Grundfläche: (10 + 4) · 4 : 2 = 28 cm², zweimal 56 cm². Umfang: 10 + 5 + 4 + 5 = 24 cm, Mantel 24 · 6 = 144 cm². O = 56 + 144 = 200 cm².
Zwei Würfel mit der Kante 2 cm werden Fläche an Fläche zusammengeklebt. Wie groß ist die Oberfläche des entstandenen Körpers?
Erklärung: Ein Würfel hat 6 · 4 = 24 cm². Zwei Würfel: 48 cm². Die Klebefläche (4 cm²) verschwindet an jedem Würfel einmal: 48 − 2 · 4 = 40 cm². 48 cm² zählt die verdeckten Flächen mit, 44 cm² zieht sie nur einmal ab.
Auf die Oberseite eines Würfels mit der Kante 3 cm wird mittig ein kleiner Würfel mit der Kante 1 cm gesetzt. Wie groß ist die Oberfläche jetzt?
Erklärung: Großer Würfel: 6 · 9 = 54 cm². Der kleine Würfel deckt 1 cm² der Oberseite zu und bringt 5 neue Quadrate von 1 cm² dazu: 54 − 1 + 5 = 58 cm². Wer die Klebefläche nicht abzieht, kommt auf 59 cm²; 60 cm² zählt die ganze Oberfläche des kleinen Würfels dazu.
Zwei Quader werden an je einer Fläche zusammengeklebt. Wie viele Rechteckflächen verschwinden dabei insgesamt aus der Oberfläche?
Erklärung: An jedem der beiden Quader wird eine Fläche verdeckt: zusammen 2 Flächen.
Drei Würfel mit der Kante 2 cm werden in einer Reihe zusammengeklebt. Wie groß ist die Oberfläche des entstandenen Quaders (in cm²)?
Erklärung: Der Quader ist 6 cm lang, 2 cm breit und 2 cm hoch: O = 2 · (6 · 2 + 6 · 2 + 2 · 2) = 2 · 28 = 56 cm². (Oder: 3 · 24 − 4 · 4 = 56.)
Ein Körper besteht aus einem Quader (8 cm × 4 cm × 3 cm) und einem Würfel mit der Kante 2 cm, der ganz auf der Oberseite des Quaders steht. Zeichne ein Schrägbild, berechne die Oberfläche planvoll in einer Tabelle und begründe, welche Flächen wegfallen.
Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.
Erklärung: Quader 136 cm² + Würfel 24 cm² = 160 cm². Die Klebefläche 4 cm² fällt zweimal weg (Quader oben, Würfel unten): 160 − 8 = 152 cm².