Oberfläche zusammengesetzter Körper

Surface of Composite Solids

Mathematik Klasse 6 17 Aufgaben

GeometrieOberfläche

Die Oberfläche eines Körpers ist die Summe aller Begrenzungsflächen; das Netz legt sie flach nebeneinander. Beim Quader sind es drei Paare gleicher Rechtecke, beim Prisma zwei Grundflächen (Dreieck, Trapez, ...) und ein Mantel aus Rechtecken. Setzt man Körper zusammen, verschwinden die Klebeflächen im Inneren. Räumt aus: verdeckte Flächen mitzählen, den Mantel als ein einziges Rechteck oder Oberfläche und Volumen zu verwechseln. Die Rechnung plant man mit Skizze und Tabelle. Bereitet das Volumen zusammengesetzter Körper vor.

Vom Körper zum Netz

Die Oberfläche eines Körpers besteht aus allen seinen Begrenzungsflächen. Das Netz legt sie flach nebeneinander: Man berechnet jede Fläche und addiert. Ein Quader hat sechs Rechtecke, je zwei gleich große. Für die Kompostkiste mit 3 m × 2 m × 1 m ist $O = 2 \cdot (3 \cdot 2 + 3 \cdot 1 + 2 \cdot 1) = 22 m^{2}$ . Im Netz kommt jede Fläche genau einmal vor: 3 · 2, 3 · 1 und 2 · 1, jeweils doppelt. Fehlt eine, ist die Oberfläche zu klein; zählt man eine doppelt, ist sie zu groß.

Das Netz der Kompostkiste: drei Paare gleicher Rechtecke, zusammen 22 m².

Prisma: Grundfläche und Mantel

Ein Prisma hat zwei gleiche Grundflächen und einen Mantel aus Rechtecken. Beim Zelt ist die Grundfläche ein Dreieck mit den Seiten 8 m, 5 m, 5 m und der Höhe 3 m, das Zelt ist 6 m lang. Jede Grundfläche hat $8 \cdot 3 : 2 = 12 m^{2}$ . Der Mantel ist im Netz ein langes Rechteck aus drei Rechtecken: so breit wie der Umfang der Grundfläche (18 m) und 6 m hoch, also 108 m². Zusammen ist $O = 2 \cdot 12 + 108 = 132 m^{2}$ .

Das Netz des Zelts: zwei Dreiecke und drei Rechtecke, die den Mantel bilden.

Zusammengesetzte Körper

Setzt man Körper zusammen, verschwinden Flächen im Inneren. Das Hochbeet besteht aus zwei Quadern: unten 4 m × 2 m × 1 m mit 28 m², darauf 2 m × 2 m × 1 m mit 16 m². Die Klebefläche (2 m × 2 m = 4 m²) fällt an jedem der beiden Körper weg: $O = 28 + 16 - 2 \cdot 4 = 36 m^{2}$ . Plane die Rechnung Fläche für Fläche, dann zählt keine doppelt. Zu jeder Antwort gehört die Einheit m². Das Volumen kommt später: Es misst, wie viel in den Körper hineinpasst, die Oberfläche dagegen nur seine Hülle.

Das Hochbeet: Wo die Quader aneinanderliegen, liegt die Klebefläche.

Voraussetzungen (1)

Das Trapez

Klasse 6

›

Leicht

Multiple Choice #1 20s ▶ Testen

Das Netz gehört zu einem Körper. Aus wie vielen Flächen besteht seine Oberfläche?

● 5
○ 6
○ 4

Im Netz zählt man jede Fläche einmal: drei Rechtecke und zwei Dreiecke, zusammen 5 Flächen. Der Körper ist ein Prisma mit einem Dreieck als Grundfläche.

Multiple Choice #2 20s ▶ Testen

Ein Quader ist 4 cm lang, 3 cm breit und 2 cm hoch. Wie viele verschieden große Rechtecke enthält sein Netz?

● 3
○ 6
○ 2

Ein Quader hat sechs Flächen, aber je zwei sind gleich groß: 4 × 3, 4 × 2 und 3 × 2. Das sind 3 verschiedene Größen.

Multiple Choice #3 20s ▶ Testen

Welche Rechnung liefert die Oberfläche dieses Quaders?

● 2 · (4 · 3 + 4 · 2 + 3 · 2)
○ 4 · 3 · 2
○ 4 · 3 + 4 · 2 + 3 · 2

Die drei verschiedenen Rechtecke (4 × 3, 4 × 2, 3 × 2) kommen je zweimal vor: 2 · (12 + 8 + 6) = 52 cm². 4 · 3 · 2 wäre das Volumen, und ohne den Faktor 2 zählt man nur die halbe Oberfläche.

Multiple Choice #4 20s ▶ Testen

Ein Quader ist 6 cm lang, 4 cm breit und 3 cm hoch. Welche Fläche ist genauso groß wie die Grundfläche (unten, 6 cm × 4 cm)?

● die Deckfläche (oben)
○ die Vorderseite
○ die linke Seitenfläche

Gegenüberliegende Flächen sind gleich groß. Zur Grundfläche gehört die Deckfläche, ebenfalls 6 cm × 4 cm. Die Vorderseite (6 × 3) und die Seitenfläche (4 × 3) sind kleiner.

Multiple Choice #5 20s ▶ Testen

Die Grundfläche des Prismas ist ein Dreieck mit den Seiten 6 cm, 5 cm und 5 cm und der Höhe 4 cm; das Prisma ist 10 cm lang. Welche Rechnung liefert seine Oberfläche?

● 2 · 12 + (6 + 5 + 5) · 10
○ 12 + (6 + 5 + 5) · 10
○ 2 · 12 + 6 · 10

Grundfläche: 6 · 4 : 2 = 12 cm², es gibt zwei davon. Der Mantel ist so breit wie der Umfang (6 + 5 + 5 = 16 cm) und 10 cm hoch: 160 cm². O = 24 + 160 = 184 cm². Bei den anderen fehlt eine Grundfläche oder der Mantel ist nur ein Rechteck.

Multiple Choice #6 20s ▶ Testen

Aus wie vielen Rechtecken besteht der Mantel eines Prismas mit einem Dreieck als Grundfläche?

● 3
○ 2
○ 5

Zu jeder der drei Dreiecksseiten gehört ein Rechteck als Seitenfläche. Zusammen bilden sie den Mantel; dazu kommen die beiden Dreiecke als Grundflächen.

Multiple Choice #7 20s ▶ Testen

Zwei Würfel mit der Kante 2 cm werden Fläche an Fläche zusammengeklebt. Wie groß ist die Oberfläche des entstandenen Körpers?

● 40 cm²
○ 48 cm²
○ 44 cm²

Ein Würfel hat 6 · 4 = 24 cm². Zwei Würfel: 48 cm². Die Klebefläche (4 cm²) verschwindet an jedem Würfel einmal: 48 − 2 · 4 = 40 cm². 48 cm² zählt die verdeckten Flächen mit, 44 cm² zieht sie nur einmal ab.

Multiple Choice #8 20s ▶ Testen

Auf die Oberseite eines Würfels mit der Kante 3 cm wird mittig ein kleiner Würfel mit der Kante 1 cm gesetzt. Wie groß ist die Oberfläche jetzt?

● 58 cm²
○ 59 cm²
○ 60 cm²

Großer Würfel: 6 · 9 = 54 cm². Der kleine Würfel deckt 1 cm² der Oberseite zu und bringt 5 neue Quadrate von 1 cm² dazu: 54 − 1 + 5 = 58 cm². Wer die Klebefläche nicht abzieht, kommt auf 59 cm²; 60 cm² zählt die ganze Oberfläche des kleinen Würfels dazu.

Mittel

Zahleneingabe #1 30s ▶ Testen

Aus wie vielen Flächen besteht die Oberfläche eines Prismas mit einem Dreieck als Grundfläche?

✓ Antwort: 5

Zwei dreieckige Grundflächen und drei rechteckige Mantelflächen: 2 + 3 = 5 Flächen.

Zahleneingabe #2 30s ▶ Testen

Ein Quader ist 6 cm lang, 4 cm breit und 2 cm hoch. Wie groß ist seine Oberfläche (in cm²)?

✓ Antwort: 88

O = 2 · (6 · 4 + 6 · 2 + 4 · 2) = 2 · (24 + 12 + 8) = 2 · 44 = 88 cm².

Zahleneingabe #3 30s ▶ Testen

Ein Prisma hat die Grundfläche 12 cm² und den Mantel 160 cm². Wie groß ist seine Oberfläche (in cm²)?

✓ Antwort: 184

O = 2 · Grundfläche + Mantel = 2 · 12 + 160 = 184 cm².

Zahleneingabe #4 30s ▶ Testen

Zwei Quader werden an je einer Fläche zusammengeklebt. Wie viele Rechteckflächen verschwinden dabei insgesamt aus der Oberfläche?

✓ Antwort: 2

An jedem der beiden Quader wird eine Fläche verdeckt: zusammen 2 Flächen.

Schwer

Zahleneingabe #1 30s ▶ Testen

Ein Würfel hat die Kantenlänge 4 cm. Wie groß ist seine Oberfläche (in cm²)?

✓ Antwort: 96

Das Netz besteht aus 6 Quadraten mit je 4 · 4 = 16 cm². Also O = 6 · 16 = 96 cm².

Zahleneingabe #2 30s ▶ Testen

Ein Karton ohne Deckel ist 30 cm lang, 20 cm breit und 10 cm hoch. Wie viele cm² Pappe braucht man (in cm²)?

✓ Antwort: 1600

Boden: 30 · 20 = 600 cm². Vorder- und Rückseite: 2 · 30 · 10 = 600 cm². Beide Seitenwände: 2 · 20 · 10 = 400 cm². Zusammen 600 + 600 + 400 = 1600 cm².

Zahleneingabe #3 30s ▶ Testen

Ein Prisma hat die abgebildete Trapez-Grundfläche und ist 6 cm hoch (lang). Wie groß ist seine Oberfläche (in cm²)?

✓ Antwort: 200

Grundfläche: (10 + 4) · 4 : 2 = 28 cm², zweimal 56 cm². Umfang: 10 + 5 + 4 + 5 = 24 cm, Mantel 24 · 6 = 144 cm². O = 56 + 144 = 200 cm².

Zahleneingabe #4 30s ▶ Testen

Drei Würfel mit der Kante 2 cm werden in einer Reihe zusammengeklebt. Wie groß ist die Oberfläche des entstandenen Quaders (in cm²)?

✓ Antwort: 56

Der Quader ist 6 cm lang, 2 cm breit und 2 cm hoch: O = 2 · (6 · 2 + 6 · 2 + 2 · 2) = 2 · 28 = 56 cm². (Oder: 3 · 24 − 4 · 4 = 56.)

KI-bewertete Rechnung #5 240s ▶ Testen

Ein Körper besteht aus einem Quader (8 cm × 4 cm × 3 cm) und einem Würfel mit der Kante 2 cm, der ganz auf der Oberseite des Quaders steht. Zeichne ein Schrägbild, berechne die Oberfläche planvoll in einer Tabelle und begründe, welche Flächen wegfallen. Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.

✓ Antwort: Schrägbild mit dem Würfel auf dem Quader. Quader: 2 · (8 · 4 + 8 · 3 + 4 · 3) = 2 · 68 = 136 cm². Würfel: 6 · 4 = 24 cm². Die Klebefläche 2 · 2 = 4 cm² liegt auf dem Quader und unter dem Würfel und fällt bei beiden weg: O = 136 + 24 − 2 · 4 = 152 cm².

Quader 136 cm² + Würfel 24 cm² = 160 cm². Die Klebefläche 4 cm² fällt zweimal weg (Quader oben, Würfel unten): 160 − 8 = 152 cm².