Flächen zerlegen und vergleichen
Die Figur wird durch die senkrechte Linie in ein Rechteck R und ein Trapez T zerlegt. Welche Rechnung liefert den Flächeninhalt der ganzen Figur (Kästchen 1 cm)?
Erklärung: R ist 5 cm breit und 4 cm hoch: 5 · 4 = 20 cm². T hat die parallelen Seiten 4 cm und 2 cm und die Breite 3 cm als Höhe: (4 + 2) · 3 : 2 = 9 cm². Zusammen 29 cm². Bei den anderen Rechnungen fehlt eine Trapezseite oder das Halbieren.
Die L-Figur wird in die Rechtecke 1 (6 cm × 2 cm) und 2 (3 cm × 5 cm) zerlegt. Ihr Flächeninhalt ist 12 + 15 = 27 cm².
Erklärung: Die beiden Rechtecke überlappen sich im Stück 3 cm × 2 cm, das so doppelt gezählt wird. Richtig ist eine Zerlegung ohne Überlappung: 6 · 2 + 3 · 3 = 21 cm².
Eine Figur besteht aus einem Rechteck (6 cm × 4 cm) und einem daraufgesetzten Dreieck mit der Grundseite 6 cm und der Höhe 3 cm. Wie groß ist ihr Flächeninhalt (in cm²)?
Erklärung: Rechteck: 6 · 4 = 24 cm². Dreieck: 6 · 3 : 2 = 9 cm². Zusammen 24 + 9 = 33 cm².
Die Kästchen haben die Seitenlänge 1 cm. Berechne den Flächeninhalt der Figur (in cm²).
Erklärung: Zerlegt man in ein Rechteck (8 cm breit, 2 cm hoch) und das Dreieck darüber (Grundseite 8 cm, Höhe 3 cm), gilt A = 8 · 2 + 8 · 3 : 2 = 16 + 12 = 28 cm².
Die Figur ist ein Rechteck 8 cm × 5 cm, von dem eine Ecke abgeschnitten ist (Ergänzungsstück E). Welche Rechnung liefert ihren Flächeninhalt?
Erklärung: Man ergänzt zum Rechteck 8 cm × 5 cm (40 cm²) und zieht das Dreieck E wieder ab: 3 · 2 : 2 = 3 cm². Also 40 − 3 = 37 cm². Addieren oder das Halbieren des Dreiecks vergessen wäre falsch.
Man ergänzt die L-Figur mit dem Stück E zum Rechteck 6 cm × 5 cm. Der Flächeninhalt der L-Figur ist 30 − 9 = 21 cm².
Erklärung: Das Rechteck hat 6 · 5 = 30 cm², das Ergänzungsstück E ist 3 cm × 3 cm = 9 cm² groß und gehört nicht zur Figur. Also 30 − 9 = 21 cm².
Ein Grundstück ist ein Rechteck von 10 m × 8 m, aus dem an einer Ecke ein Rechteck von 4 m × 3 m herausgeschnitten ist. Wie groß ist seine Fläche (in m²)?
Erklärung: Man ergänzt zum Rechteck 10 · 8 = 80 m² und zieht das herausgeschnittene Stück ab: 4 · 3 = 12 m². Also 80 − 12 = 68 m².
Die Kästchen haben die Seitenlänge 1 cm. Berechne den Flächeninhalt der Figur (in cm²).
Erklärung: Man ergänzt zum Rechteck 8 cm × 4 cm = 32 cm² und zieht das Dreieck der Kerbe ab (Grundseite 8 cm, Höhe 2 cm): 8 · 2 : 2 = 8 cm². Also 32 − 8 = 24 cm².
Die Punkte P, Q und R liegen auf einer Parallelen zu AB. Welche der Dreiecke ABQ und ABR haben denselben Flächeninhalt wie ABP?
Erklärung: Alle drei Dreiecke haben die Grundseite AB und dieselbe Höhe, den Abstand der Parallelen zu AB. Also haben sie denselben Flächeninhalt – auch ABR, obwohl es ganz anders aussieht.
Das Dreieck ABC hat den Flächeninhalt 15 cm². Der Punkt C wandert auf einer Parallelen zu AB. Wie groß ist der Flächeninhalt des Dreiecks danach?
Erklärung: Grundseite AB und Höhe (Abstand der Parallelen) ändern sich nicht. Weil A = g · h : 2 nur von beiden abhängt, bleibt der Flächeninhalt 15 cm².
Das Dreieck ABD hat die Grundseite AB = 8 cm, und D liegt 5 cm über der Geraden AB. Wie groß ist sein Flächeninhalt (in cm²)?
Erklärung: A = g · h : 2 = 8 · 5 : 2 = 20 cm². Liegt D irgendwo auf der Parallelen zu AB im Abstand 5 cm, ist es immer 20 cm².
Im Parallelogramm ABCD ist AB = 12 cm lang, die Höhe beträgt 5 cm. Der Punkt E liegt irgendwo auf der Seite CD. Wie groß ist das Dreieck ABE (in cm²)?
Erklärung: E liegt auf der Parallelen CD zu AB im Abstand 5 cm. Das Dreieck ABE hat also die Grundseite 12 cm und die Höhe 5 cm: A = 12 · 5 : 2 = 30 cm² – die Hälfte des Parallelogramms (60 cm²), egal wo E liegt.
Im Parallelogramm ABCD ist AB = 10 cm und die Höhe 4 cm. Mia wählt auf der Seite CD den Punkt E, Tom einen anderen Punkt F auf CD. Zeichne eine Skizze mit Hilfslinien und begründe, dass die Dreiecke ABE und ABF denselben Flächeninhalt haben. Berechne diesen Flächeninhalt.
Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.
Erklärung: E und F liegen auf CD, der Parallelen zu AB im Abstand 4 cm. Beide Dreiecke haben g = 10 cm und h = 4 cm, also A = 10 · 4 : 2 = 20 cm² – gleich groß.
Beide Rechtecke haben den Umfang 20 cm. Welches hat den größeren Flächeninhalt?
Erklärung: A: 7 · 3 = 21 cm². B: 5 · 5 = 25 cm². Beide haben zwar den Umfang 20 cm, aber B ist größer. Gleicher Umfang heißt nicht gleicher Flächeninhalt.
Zwei Rechtecke mit demselben Umfang haben immer denselben Flächeninhalt.
Erklärung: Ein Rechteck 9 cm × 1 cm und ein Quadrat 5 cm × 5 cm haben beide den Umfang 20 cm, aber 9 cm² und 25 cm². Der Umfang sagt nichts über den Flächeninhalt.
Ein Quadrat hat den Umfang 20 cm. Wie groß ist sein Flächeninhalt (in cm²)?
Erklärung: Die Seitenlänge ist 20 : 4 = 5 cm. Der Flächeninhalt ist 5 · 5 = 25 cm².
Ein Zaun von 24 m Länge umschließt entweder ein Rechteckbeet von 8 m × 4 m oder ein quadratisches Beet von 6 m × 6 m. Um wie viele m² ist das quadratische Beet größer?
Erklärung: Beide haben den Umfang 24 m. Rechteck: 8 · 4 = 32 m². Quadrat: 6 · 6 = 36 m². Der Unterschied beträgt 36 − 32 = 4 m².