Flächen zerlegen und vergleichen
Decomposing and Comparing Areas
Zusammengesetzte Flächen berechnet man, indem man sie in Rechtecke, Dreiecke, Parallelogramme oder Trapeze zerlegt und die Teile addiert, oder indem man sie zu einem Rechteck ergänzt und das Ergänzungsstück abzieht. Mit einer Hilfslinie parallel zur Grundseite sieht man, dass Dreiecke mit gleicher Grundseite und Höhe gleich groß sind. Räumt aus: Teile überlappen oder fehlen, das Ergänzungsstück wird addiert, und gleicher Umfang bedeute gleichen Flächeninhalt. Bereitet Flächen in Sachsituationen vor und später das geometrische Beweisen.
Zerlegen und Ergänzen
Viele Flächen sind aus einfachen Figuren zusammengesetzt. Beim Zerlegen teilt man sie in Rechtecke,
Dreiecke oder Trapeze, berechnet jede
Hilfslinien
Auch Vergleiche gelingen mit Hilfslinien. Zwei Dreiecke mit derselben
Vergleichen ohne Messen
Zum Vergleichen taugt der Umfang nicht: Gleicher Umfang bedeutet nicht gleicher Flächeninhalt. Ein Quadrat mit 4 cm Seitenlänge und ein Rechteck von 2 cm × 6 cm haben beide den Umfang 16 cm, aber die Flächeninhalte 16 cm² und 12 cm². Um zwei Flächen zu vergleichen, berechnet man ihre Flächeninhalte oder begründet mit Hilfslinien. Manchmal führt Ergänzen schneller zum Ziel als Zerlegen – probiere beide Wege und vergleiche die Ergebnisse. Das Auge täuscht dabei leicht: Die schmale, lange Figur wirkt größer, als sie ist.
Voraussetzungen (1)
Ermöglicht (1)
Die Figur wird durch die senkrechte Linie in ein Rechteck R und ein Trapez T zerlegt. Welche Rechnung liefert den Flächeninhalt der ganzen Figur (Kästchen 1 cm)?
Die L-Figur wird in die Rechtecke 1 (6 cm × 2 cm) und 2 (3 cm × 5 cm) zerlegt. Ihr Flächeninhalt ist 12 + 15 = 27 cm².
Die Figur ist ein Rechteck 8 cm × 5 cm, von dem eine Ecke abgeschnitten ist (Ergänzungsstück E). Welche Rechnung liefert ihren Flächeninhalt?
Man ergänzt die L-Figur mit dem Stück E zum Rechteck 6 cm × 5 cm. Der Flächeninhalt der L-Figur ist 30 − 9 = 21 cm².
Die Punkte P, Q und R liegen auf einer Parallelen zu AB. Welche der Dreiecke ABQ und ABR haben denselben Flächeninhalt wie ABP?
Das Dreieck ABC hat den Flächeninhalt 15 cm². Der Punkt C wandert auf einer Parallelen zu AB. Wie groß ist der Flächeninhalt des Dreiecks danach?
Beide Rechtecke haben den Umfang 20 cm. Welches hat den größeren Flächeninhalt?
Zwei Rechtecke mit demselben Umfang haben immer denselben Flächeninhalt.
Eine Figur besteht aus einem Rechteck (6 cm × 4 cm) und einem daraufgesetzten Dreieck mit der Grundseite 6 cm und der Höhe 3 cm. Wie groß ist ihr Flächeninhalt (in cm²)?
Ein Grundstück ist ein Rechteck von 10 m × 8 m, aus dem an einer Ecke ein Rechteck von 4 m × 3 m herausgeschnitten ist. Wie groß ist seine Fläche (in m²)?
Das Dreieck ABD hat die Grundseite AB = 8 cm, und D liegt 5 cm über der Geraden AB. Wie groß ist sein Flächeninhalt (in cm²)?
Ein Quadrat hat den Umfang 20 cm. Wie groß ist sein Flächeninhalt (in cm²)?
Die Kästchen haben die Seitenlänge 1 cm. Berechne den Flächeninhalt der Figur (in cm²).
Die Kästchen haben die Seitenlänge 1 cm. Berechne den Flächeninhalt der Figur (in cm²).
Im Parallelogramm ABCD ist AB = 12 cm lang, die Höhe beträgt 5 cm. Der Punkt E liegt irgendwo auf der Seite CD. Wie groß ist das Dreieck ABE (in cm²)?
Im Parallelogramm ABCD ist AB = 10 cm und die Höhe 4 cm. Mia wählt auf der Seite CD den Punkt E, Tom einen anderen Punkt F auf CD. Zeichne eine Skizze mit Hilfslinien und begründe, dass die Dreiecke ABE und ABF denselben Flächeninhalt haben. Berechne diesen Flächeninhalt. Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.
Ein Zaun von 24 m Länge umschließt entweder ein Rechteckbeet von 8 m × 4 m oder ein quadratisches Beet von 6 m × 6 m. Um wie viele m² ist das quadratische Beet größer?